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2019-2020年高考《考試大綱》調(diào)研卷理科數(shù)學(xué)（第四模擬）試卷含解析 一、填空題：共14題 1．設(shè)全集U=[-2,2],若集合A滿足?UA=[1,2),則A=　　　　. 【答案】[-2,1)∪{2} 【解析】本題主要考查考生對(duì)補(bǔ)集的理解,考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況.在數(shù)軸上分別作出全集U與?UA,根據(jù)補(bǔ)集的概念可得A=[-2,1)∪{2}. 2．在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=+i2 016(i為虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第　　　　象限. 【答案】一 【解析】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,結(jié)合i4=1,對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn),從而判斷z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.∵z=+1=+1=+,∴z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是第一象限. 3．某校有甲、乙、丙3個(gè)高三文科班,其中甲班有47人,乙班有51人,丙班有49人.現(xiàn)分析3個(gè)班的某一次數(shù)學(xué)考試成績(jī),計(jì)算得甲班的平均成績(jī)是90分,乙班的平均成績(jī)是90分,丙班的平均成績(jī)是87分,則該校這3個(gè)高三文科班的數(shù)學(xué)平均成績(jī)是　　　　分. 【答案】89 【解析】本題考查統(tǒng)計(jì)中的平均數(shù),考查考生的運(yùn)算求解能力.由題意知,3個(gè)高三文科班的數(shù)學(xué)平均成績(jī)=89. 4．已知向量a=(2,-1),2b=(-4,6),則(a-b)(a+b)=　　　　. 【答案】-8 【解析】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積等知識(shí),考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況. 解法一　因?yàn)橄蛄縜=(2,-1),2b=(-4,6),所以b=(-2,3),a+b=(0,2),a-b=(4,-4),所以(a-b)(a+b)=(4,-4)(0,2)=0-8=-8. 解法二　因?yàn)橄蛄縜=(2,-1),2b=(-4,6),所以a2=5,b=(-2,3),b2=13,所以(a-b)(a+b)=a2-b2=5-13=-8. 5．已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),且,,a2成等差數(shù)列,則=　　　　. 【答案】9 【解析】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí),意在考查考生的運(yùn)算求解能力.破解此題的關(guān)鍵是活用等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì).設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),因?yàn)?,a2成等差數(shù)列,所以+a2,所以q2=3+2q,所以q=3或q=-1(舍去),所以=9. 6．已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且2b=a+c,若sinB=,cosB=,則b的值為　　　　. 【答案】4 【解析】本題考查余弦定理、同角三角函數(shù)的關(guān)系等知識(shí)的綜合運(yùn)用.∵2b=a+c,sinB=,cosB=,sin2B+cos2B=1,∴ac=15,∴b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-48=4b2-48,得b=4. 7．從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字,則剩下兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概率是　　　　. 【答案】 【解析】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算公式.解題的關(guān)鍵是正確列出總的基本事件及所求事件包含的基本事件.通解　由題意知,從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字的情況有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10種,其中剩下兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的情況有(1,2,4),(2,3,4),(2,4,5),共3種,故所求概率為.優(yōu)解　由題意知,事件“從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字,剩下兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)”的概率與事件“從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)字,這兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)”的概率相等,又從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)字的情況(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10種,其中抽取的兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的情況有(1,3),(1,5),(3,5),共3種,故所求概率為. 8．已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-<φ<0)的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)為(,),其圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為,則φ=　　　　. 【答案】- 【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查考生的運(yùn)算求解能力.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為,故函數(shù)的最小正周期為T=π,所以ω==2,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象的最高點(diǎn)為(,),所以2+φ=2kπ+(k∈Z),φ=2kπ-(k∈Z),因?yàn)?<φ<0,所以φ=-. 9．定義[x]為不超過x的最大整數(shù),例如[1.3]=1.執(zhí)行如圖所示的算法流程圖,當(dāng)輸入x的值為4.7時(shí),則輸出y的值為　　　　. 【答案】10.2 【解析】本題考查算法流程圖的基礎(chǔ)知識(shí),考查考生分析問題、解決問題的能力.求解時(shí)注意準(zhǔn)確判斷條件是否滿足,決定程序執(zhí)行的方向. 由輸入的x為4.7,執(zhí)行第一個(gè)條件判斷框后,執(zhí)行否方向,而4.7-[4.7]=0.7,即4.7-[4.7]不等于0,因而仍執(zhí)行否方向,得到y(tǒng)=7+([4.7-3]+1)1.6=10.2,故輸出y的值為10.2. 10．已知正三棱錐P-ABC的體積為,底面邊長(zhǎng)為2,則側(cè)棱PA的長(zhǎng)為　　　　. 【答案】2 【解析】本題考查空間幾何體的體積,一方面要牢記空間幾何體的體積公式,另一方面要掌握常見幾何體中的基本數(shù)量關(guān)系.設(shè)底面正三角形ABC的中心為O,又底面邊長(zhǎng)為2,故OA=,由VP-ABC=POS△ABC,得PO22,PO=,所以PA==2. 11．已知周期為4的函數(shù)f(x)=,則方程3f(x)=x的根的個(gè)數(shù)為　　　　. 【答案】3 【解析】本題考查分段函數(shù)、方程的根等知識(shí).先畫出函數(shù)f(x)一個(gè)周期的圖象,再向左、向右擴(kuò)展,數(shù)形結(jié)合可得出兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),從而得解.作出函數(shù)y=f(x)的圖象及直線y=如圖所示,則兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,即方程的根的個(gè)數(shù)為 3. 12．在平面直角坐標(biāo)系中,不等式組(a為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積為4,則x2+y的最小值為　　　　　. 【答案】- 【解析】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域等知識(shí).要注意z=x2+y不是一次型函數(shù),而是二次型函數(shù),故不一定在可行域的邊界點(diǎn)處取得最值.由題意作出可行域如圖中陰影部分所示,因?yàn)槠矫鎱^(qū)域的面積為4,易得A(2,2),B(2,-2),把A,B,O三個(gè)邊界點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入x2+y,得在這三點(diǎn)處的最小值為0. 令x2+y=0,即y=-x2,y=-2x,當(dāng)拋物線y=-x2平移到與直線y=-x相切時(shí),y=-2x=-1,得x=,即切點(diǎn)P(,-),代入x2+y,得x2+y=-=-,所以x2+y的最小值為-. 13．已知雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,過點(diǎn)F1作圓x2+y2=a2的一條切線分別交雙曲線的左、右兩支于B、C兩點(diǎn),與雙曲線的漸近線在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)D,且|CD|=|CF2|,則雙曲線的離心率為　　　　. 【答案】 【解析】本題主要考查雙曲線的定義、幾何性質(zhì),直線與圓、雙曲線的位置關(guān)系等知識(shí),考查考生分析問題、解決問題的能力.由雙曲線的定義可知,-=2a,又,所以=2a.因?yàn)辄c(diǎn)F1的坐標(biāo)為(-c,0),直線DF1與圓x2+y2=a2相切,且圓的半徑為a,所以直線DF1的方程為y=(x+c),又直線OD的方程為y=-x,聯(lián)立得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-,),所以(-+c)2+()2=4a2,得,所以雙曲線的離心率為. 14．若關(guān)于x的不等式(ax-1)(lnx+ax)≥0在(0,+∞)上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　　. 【答案】(-∞,-]∪{e} 【解析】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能力和分類討論思想.　(ax-1)(lnx+ax)≥0?(a-)(a+)≥0?或. 設(shè)函數(shù)f(x)=,g(x)=-,在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出它們的圖象如圖所示, 由圖象可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-]∪{e}. 二、解答題：共12題 15．已知銳角α滿足cos(α+)=. (1)求sin 2α的值; (2)求tan(α-)的值. 【答案】(1)因?yàn)閏os(α+)=,所以cosα-sinα=>0,所以1-sin 2α=,解得sin 2α=. (2)因?yàn)閟in 2α==2sinαcosα=,即有7tan2α-50tanα+7=0,解得tanα=或tanα=7.因?yàn)閏osα-sinα>0,所以0n,求證:≥em-n. 【答案】(1)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象與g(x)的圖象相切于M(t,),由f(x)=,則f(t)==a,且=at-a, 消去a得,(2t-1)lnt-t+1=0.設(shè)h(t)=(2t-1)lnt-t+1,則h(t)=2lnt+-1=2lnt-+1. 設(shè)φ(t)=2lnt-+1,則φ(t)=+>0,所以φ(t)=2lnt-+1單調(diào)遞增,即h(t)=2lnt-+1單調(diào)遞增, 又h(1)=0,所以當(dāng)t∈(0,1)時(shí),h(t)<0,h(t)單調(diào)遞減, 當(dāng)t∈(1,+∞)時(shí),h(t)>0,h(t)單調(diào)遞增,所以h(t)的最小值為h(1)=0, 所以(2t-1)lnt-t+1=0僅有一解t=1,此時(shí)a==1,切點(diǎn)為M(1,0). (2)要證≥em-n,即證ln()≥m-n,即證-≥m-n,即證-m≥-n.設(shè)p(x)=-x,因?yàn)閙,n∈(0,1],m>n,所以只要證p(x)為(0,1]上的增函數(shù)即可.因?yàn)閜(x)=-1=,又x∈(0,1],所以p(x)≥0,所以p(x)為(0,1]上的增函數(shù),從而得證. 【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線、不等式的證明,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 【備注】對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查,在高考題中多以對(duì)數(shù)、指數(shù)形式出現(xiàn),而且屬于壓軸題,對(duì)考生能力的要求很高,意在提高區(qū)分度.題目可能是從含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、曲線的交點(diǎn)等進(jìn)行設(shè)計(jì),解題時(shí)由于對(duì)參數(shù)的討論比較復(fù)雜,因而有提升的價(jià)值,也可能是從切線等角度入手,看似簡(jiǎn)單,但如果對(duì)數(shù)學(xué)思想方法不能做到運(yùn)用自如,則很難達(dá)到預(yù)期效果.因此,在復(fù)習(xí)過程中對(duì)于常規(guī)函數(shù)的性質(zhì)及圖象要力爭(zhēng)做到了如指掌. 20．已知數(shù)列{an},{bn}滿足bn=an+1-an,其中n=1,2,3,…. (1)若a1=1,bn=n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若bn+1bn-1=bn(n≥2),且b1=1,b2=2. (i)記cn=a6n-1,求證:數(shù)列{cn}為等差數(shù)列; (ii)若數(shù)列{}中任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次,求a1應(yīng)滿足的條件. 【答案】(1)當(dāng)n≥2時(shí),有 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+b1+b2+…+bn-1=1+-+1.又a1=1也滿足上式,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-+1. (2)(i)因?yàn)閷?duì)任意的n∈N*,有bn+6==bn, 所以cn+1-cn=a6n+5-a6n-1=b6n-1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=1+2+2+1++=7(n≥1), 所以數(shù)列{cn}為等差數(shù)列. (ii)設(shè)dm=a6m+i(m≥0,i為常數(shù)且i∈{1,2,3,4,5,6}),所以 dm+1-dm=a6m+6+i-a6m+i=b6m+i+b6m+i+1+b6m+i+2+b6m+i+3+b6m+i+4+b6m+i+5=7(m≥0), 所以數(shù)列{a6m+i}均是以7為公差的等差數(shù)列. 設(shè)fk=+, 當(dāng)ai=時(shí),對(duì)任意的n=6k+i(k≥0,i為{1,2,3,4,5,6}中的一個(gè)常數(shù)),有, 此時(shí)由已知條件可推得a1=,,,-,-,. 當(dāng)ai≠時(shí), fk+1-fk=-=(ai-)[-]=(ai-), ①若ai>,則對(duì)任意的k∈N,有fk+1fk,所以數(shù)列{}為單調(diào)遞增數(shù)列. 綜上,設(shè)集合B={}∪{}∪{}∪{-}∪{-}∪{}={,,,-,-}, 則當(dāng)a1∈B時(shí),數(shù)列{}中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次; 當(dāng)a1?B時(shí),{} (i=1,2,3,4,5,6)均為單調(diào)數(shù)列,任意一個(gè)數(shù)在每個(gè)數(shù)列中最多出現(xiàn)一次,所以數(shù)列{}中任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次. 【解析】本題考查數(shù)列的基本運(yùn)算及其通項(xiàng)公式的求解等,考查考生基本的計(jì)算能力、分類討論思想. 【備注】數(shù)列求和要注意通項(xiàng)公式的特征,靈活選用相應(yīng)的方法,其中裂項(xiàng)相消法與錯(cuò)位相減法是高考命題的熱點(diǎn),應(yīng)熟練掌握求解的基本步驟. 21．如圖,在☉O的直徑AB的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)C,過點(diǎn)C作直線CE與☉O交于點(diǎn)D、E,記點(diǎn)E關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)為F,連接DF,交AB于G.若CB=AB,求的值. 【答案】連接OE、OF,易知∠EDG=∠EOF,又點(diǎn)E、F關(guān)于直徑AB對(duì)稱,所以,得∠EOA=∠EOF,所以∠EDG=∠EOA,又∠EOG+∠EOA=π,所以∠EOG+∠EDG=π,故E、D、G、O四點(diǎn)共圓.故CECD=COCG, 又CECD=CACB,所以CACB=COCG, 又CB=AB,所以CO=AB,CA=AB,故. 【解析】本題主要考查四點(diǎn)共圓的判定、圓的割線定理等,屬于中檔題.先證∠EDG=∠EOA,再證E、D、G、O四點(diǎn)共圓,在兩個(gè)圓中分別由割線定理可得CECD=COCG,CECD=CACB,進(jìn)而可得CACB=COCG,再由CB=AB可得的值. 22．已知二階矩陣M的屬于特征值λ=3的一個(gè)特征向量為e1=,且M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(-1,2)變換成(9,15),求矩陣M. 【答案】設(shè)M=,則=3,故,故解得a=-1,b=4,c=-3,d=6,故M=. 【解析】本題考查矩陣的特征值與特征向量、矩陣的變換. 23．已知兩條曲線的極坐標(biāo)方程分別為ρ=1與ρ=2cos(θ+),它們相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng). 【答案】以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,則由ρ=1得,x2+y2=1, ∵ρ=2cos(θ+)=cosθ-sinθ,∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ,∴x2+y2-x+y=0, 由,得A(1,0),B(-,-)或A(-,-),B(1,0). ∴|AB|=. 【解析】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化.先聯(lián)立方程求出兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo),再由兩點(diǎn)間的距離公式求出線段AB的長(zhǎng). 24．已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)(a≠0,a,b∈R)恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍. 【答案】由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x),且a≠0,得≥f(x) .又≥=2,則2≥f(x),解不等式|x-1|+|x-2|≤2,得≤x≤,即實(shí)數(shù)x的取值范圍為[,]. 【解析】本題主要考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)及絕對(duì)值不等式的求解,考查考生分析問題、解決問題的能力. 25．某學(xué)習(xí)小組由3名男生和3名女生組成,現(xiàn)從中選取參加學(xué)校座談會(huì)的代表,規(guī)則是每次選取1人,依次選取,每人被選取的機(jī)會(huì)均等. (1)若要求只選取2名代表,求選出的2名代表都是男生或都是女生的概率; (2)若選取過程中只要有女生入選,選取即結(jié)束,記所選取的代表的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX. 【答案】(1)記“選出的2名代表都是男生或都是女生”為事件A,則P(A)=. (2)由題意知,X=1,2,3,4. P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, P(X=4)=. 所以X的分布列為 EX=1+2+3+4. 【解析】離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望是高中概率與統(tǒng)計(jì)的核心內(nèi)容,為高考考查的重點(diǎn),備考中要牢牢抓住該部分,通過各類練習(xí),熟練掌握其解法.本題中要特別注意第(2)問中“只要有女生入選,選取即結(jié)束”,理解其含義,正確計(jì)算X取各個(gè)值的概率. 26．已知平面內(nèi)有n(n≥2,n∈N*)條直線,其中任意兩條不平行,任意三條不共點(diǎn),設(shè)這n條直線將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域,如f(2)=4,f(3)=7. (1)試猜想f(n)的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明; (2)請(qǐng)用類比的方法,寫出n個(gè)平面將空間最多分成多少個(gè)部分.(不要求證明)(注:12+22+32+…+n2=). 【答案】(1)通過畫圖可求出f(4)=11,f(5)=16,觀察發(fā)現(xiàn):f(3)=f(2)+3,f(4)=f(3)+4,f(5)=f(4)+5. 猜想f(n)-f(n-1)=n,進(jìn)而用累加法求得f(n)-f(2)=n+(n-1)+…+3,所以f(n)=+1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)n=2時(shí),f(2)=4顯然成立; ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí)成立,即f(k)=+1,則當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)榈趉+1條直線與前面的k條直線都不平行,而且也不交于同一點(diǎn)(因?yàn)槿我馊龡l直線不共點(diǎn)),所以第k+1條直線與其他k條直線有k個(gè)交點(diǎn),這k個(gè)交點(diǎn)將第k+1條直線分成k+1段,其中每一段都將所在區(qū)域一分為二,所以增加了k+1個(gè)區(qū)域,所以f(k+1)=f(k)+k+1, 由歸納假設(shè)得,f(k+1)=f(k)+k+1=+k+1+1=+1=+1, 即當(dāng)n=k+1時(shí)也成立. 綜合①②,得f(n)=+1對(duì)任意的n(n≥2,n∈N*)均成立.所以f(n)=+1(n≥2,n∈N*). (2)設(shè)這n個(gè)平面將空間最多分成g(n)個(gè)部分,當(dāng)這n個(gè)平面任意兩個(gè)不平行,任意三個(gè)不共線(即交線不重合)時(shí)才能最多,用類比法得g(n+1)=g(n)+f(n),從而求得 g(n)=4+f(2)+…+f(n-1)=. 【解析】本題考查推理與證明.第(1)問通過歸納推理得到結(jié)論,再利用數(shù)學(xué)歸納法給出證明;第(2)問運(yùn)用類比推理寫出結(jié)果.