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2019年高考數(shù)學大一輪復習 第五章 第4講 平面向量應用舉例訓練 理 一、選擇題 1．△ABC的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，且(＋)＝0，則△ABC一定是(　　)． A．等腰直角三角形 B．非等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形 解析　△ABC中BC邊的中線又是BC邊的高，故△ABC為等腰三角形，又A，B，C成等差數(shù)列，故B＝. 答案　C 2. 半圓的直徑AB＝4，O為圓心，C是半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC的中點，則(＋)的值是(　　) A．－2 B．－1 C．2 D．無法確定，與C點位置有關 解析 (＋)＝2＝－2. 答案　A 3. 函數(shù)y＝tanx－的部分圖象如圖所示，則(＋)＝ (　　)． A．4 B．6 C．1 D．2 解析　由條件可得B(3,1)，A(2,0)， ∴(＋)＝(＋)(－)＝2－2＝10－4＝6. 答案　B 4．在△ABC中，∠BAC＝60，AB＝2，AC＝1，E，F(xiàn)為邊BC的三等分點，則＝(　　)． A. B. C. D. 解析　法一　依題意，不妨設＝E，＝2， 則有－＝(－)，即＝＋； －＝2(－)，即＝＋. 所以＝ ＝(2＋)(＋2) ＝(22＋22＋5) ＝(222＋212＋521cos 60)＝，選A. 法二　由∠BAC＝60，AB＝2，AC＝1可得∠ACB＝90， 如圖建立直角坐標系，則A(0,1)，E，F(xiàn)， ∴＝＝＋(－1)(－1)＝＋1＝，選A. 答案　A 5．如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且＝x，＝y(tǒng)，則的值為(　　)． A．3 B. C．2 D. 解析　(特例法)利用等邊三角形，過重心作平行于底邊BC的直線，易得＝. 答案　B 6．△ABC的外接圓圓心為O，半徑為2，＋＋＝0，且||＝||，則在方向上的投影為 (　　)． A．1 B．2 C. D．3 解析　如圖，由題意可設D為BC的中點，由＋＋＝0，得＋2＝0，即＝2，∴A，O，D共線且||＝2||，又O為△ABC的外心， ∴AO為BC的中垂線， ∴||＝||＝||＝2，||＝1， ∴||＝，∴在方向上的投影為. 答案　C 二、填空題 7. △ABO三頂點坐標為A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐標平面內(nèi)一點，滿足≤0，≥0，則的最小值為________． 解析 ∵＝(x－1，y)(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1， ∵＝(x，y－2)(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2. ∴＝(x，y)(－1,2)＝2y－x≥3. 答案 3 8．已知平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為.以a，b為鄰邊作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對角線中較短的一條的長度為________． 解析　∵|a＋b|2－|a－b|2＝4ab＝4|a||b|cos＝4＞0， ∴|a＋b|＞|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2ab＝3，∴|a－b|＝. 答案　 9．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，則9x＋3y的最小值為________． 解析　若a⊥b，則4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2. 9x＋3y＝32x＋3y≥2＝2＝6. 當且僅當x＝，y＝1時取得最小值． 答案　6 10．已知|a|＝2|b|≠0，且關于x的函數(shù)f(x)＝x3＋|a|x2＋abx在R上有極值，則a與b的夾角范圍為________． 解析　由題意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋ab必有可變號零點，即Δ＝|a|2－4ab>0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a與b的夾角范圍為. 答案　 三、解答題 11．已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos θ，sin θ)，O為坐標原點 (1) ＝－，求sin 2θ的值． (2)若|＋|＝，且θ∈(－π，0)，求與的夾角． 解 (1) ＝(cos θ，sin θ)－(2,0) ＝(cos θ－2，sin θ) ＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)． ＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2) ＝cos2θ－2cos θ＋sin2θ－2sin θ ＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－. ∴sin θ＋cos θ＝， ∴1＋2sin θcos θ＝， ∴sin 2θ＝－1＝－. (2)∵＝(2,0)，＝(cos θ，sin θ)， ∴＋＝(2＋cos θ，sin θ)， ∴|＋|＝＝. 即4＋4cos θ＋cos2θ＋sin2θ＝7. ∴4cos θ＝2，即cos θ＝. ∵－π<θ<0，∴θ＝－. 又∵＝(0,2)，＝， ∴cos 〈，〉＝＝＝－. ∴〈，〉＝. 12．已知A，B，C的坐標分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈. (1)若||＝||，求角α的值； (2)若＝－1，求的值． 解　(1)∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)， ∴2＝(cos α－3)2＋sin2α＝10－6cos α， 2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， 由||＝||，可得2＝2， 即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈，∴α＝. (2)由＝－1， 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝.① 又＝＝2sin αcos α. 由①式兩邊分別平方，得1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－. ∴＝－. 13．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1,0)． (1)若x＝，求向量a與c的夾角； (2)當x∈時，求函數(shù)f(x)＝2ab＋1的最大值，并求此時x的值． 解　(1)設a與c夾角為θ，當x＝時，a＝， cos θ＝＝ ＝－.∵θ∈[0，π]，∴θ＝. (2)f(x)＝2ab＋1＝2(－cos2x＋sin xcos x)＋1＝2sin xcos x－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin， ∵x∈，∴2x－∈， 故sin∈，∴當2x－＝， 即x＝時，f(x)max＝1. 14．已知向量m＝， n＝. (1)若mn＝1，求cos的值； (2)記f(x)＝mn，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2a－c)cos B＝bcos C，求函數(shù)f(A)的取值范圍． 解　(1)mn＝sin cos ＋cos2 ＝sin ＋＝sin＋， ∵mn＝1，∴sin＝. cos＝1－2sin2＝， cos＝－cos＝－. (2)∵(2a－c)cos B＝bcos C， 由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C. ∴2sin Acos B＝sin(B＋C)． ∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0. ∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝，∴0＜A＜. ∴＜＋＜，sin∈. 又∵f(x)＝sin＋，∴f(A)＝sin＋. 故函數(shù)f(A)的取值范圍是.