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2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第7章 第5節(jié) 合情推理與演繹推理課時跟蹤檢測 理（含解析）新人教版 1．(xx寶雞質(zhì)檢)古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10，…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1,4,9,16，…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．如圖，可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的“正方 形數(shù)”都可以看作兩個相鄰的“三角形數(shù)”之和，下列等式中，符合這一規(guī)律的表達(dá)式是(　　) ①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31； ⑤64＝28＋36. A．①④　　　　 B．②⑤　　　　 C．③⑤　　　　 D．②③ 解析：選C　這些“三角形數(shù)”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…，且“正方形數(shù)”是“三角形數(shù)”中相鄰兩數(shù)之和，很容易得到：15＋21＝36,28＋36＝64，因此只有③⑤正確．故選C. 2．給出下列三個類比結(jié)論： ①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 其中結(jié)論正確的個數(shù)是(　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 解析：選B　由條件知只有③正確．故選B. 3．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，則f2 014(x)＝(　　) A．－sin x－cos x　　　　 B．sin x－cos x C．－sin x＋cos x　　　　 D．sin x＋cos x 解析：選C　列舉f2(x)＝f′1(x)＝cos x－sin x； f3(x)＝f′2(x)＝－sin x－cos x； f4(x)＝f′3(x)＝－cos x＋sin x； f5(x)＝f′4(x)＝sin x＋cos x； …… 由此歸納得其周期為4，即fn(x)＝fn＋4(x)， 所以f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x＋cos x，故選C. 4．在下圖的表格中，如果每格填上一個數(shù)后，每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，那么x＋y＋z的值為(　　) cos 0 2 sin tan x y z A．1　　　　 B．2　　　 C．3　　　　 D．4 解析：選A　先算出三角函數(shù)值，然后根據(jù)每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，填表可得： 1 2 3 1 x＝ y＝ z＝ 所以x＋y＋z＝＋＋＝1，故選A. 5．(xx江西高考)觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝(　　) A．28　　　　 B．76　　　　 C．123　　　　 D．199 解析：選C　利用歸納法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123.規(guī)律為從第三組開始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和．故選C. 6．(xx長沙模擬)定義兩個實數(shù)間的一種新運算“*”：x*y＝lg(10x＋10y)，x，y∈R.對于任意實數(shù)a，b，c，給出如下結(jié)論： ①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a； ③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)． 其中正確結(jié)論的個數(shù)是(　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 解析：選D?、僖驗閍*b＝lg(10a＋10b)，故(a*b)*c＝lg(10a＋10b)*c＝lg(10lg(10a＋10b)＋10c)＝lg(10a＋10b＋10c)，同理a*(b*c)＝a*(lg(10b＋10c))＝lg(10a＋10lg(10b＋10c))＝lg(10a＋10b＋10c)，故“*”運算滿足結(jié)合律；②據(jù)定義易知運算符合交換律；③(a*b)＋c＝lg(10a＋10b)＋c＝lg(10a＋10b)＋lg10c＝lg(10a＋10b)10c＝lg(10a＋c＋10b＋c)＝(a＋c)*(b＋c)，故結(jié)論成立；綜上可知①②③均為真命題，故選D. 7．觀察下列不等式：①＜1；②＋＜；③＋＋＜，…請寫出第n個不等式________． 解析：＋＋＋…＋＜　由歸納知第n個式子為＋＋＋…＋＜ 8．(xx黃岡中學(xué)月考)在等差數(shù)列{an}中，若a1＝0，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有等式(s－1)at－(t－1)as＝0成立．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b1＝1，s，t是互不相等的正整數(shù)，則有等式________成立． 解析： ＝1　通過類比，等比數(shù)列的商對等差數(shù)列的差，故等式應(yīng)是＝1. 9．(xx寶雞質(zhì)檢)已知2＋＝22，3＋＝32，4＋＝42，…，若9＋＝92(a，b為正整數(shù))，則a＋b＝________. 解析：89　觀察分?jǐn)?shù)的分子規(guī)律得b＝9，則a＝b2－1＝80.故a＋b＝89. 10．(xx龍巖質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝(x＞0)，如下定義一列函數(shù)：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝－f(f2(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，…，n∈N*，那么由歸納推理可得函數(shù)fn(x)的解析式是fn(x)＝________. 解析：(x＞0)　依題意得，f1(x)＝， f2(x)＝＝＝， f3(x)＝＝＝，…， 由此歸納可得fn(x)＝(x＞0)． 11．(xx萊蕪模擬)凸函數(shù)的性質(zhì)定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，有≤f，已知函數(shù)y＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值為________． 解析：　因為f(x)＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，且A，B，C∈(0，π)， 所以≤f＝f， 所以sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝， 故sin A＋sin B＋sin C的最大值為. 12．已知點A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函數(shù)y＝ax(a＞1)的圖象上任意不同兩點，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論＞a成立．運用類比思想方法可知，若點A(x1，sin x1)B(x2，sin x2)是函數(shù)y＝sin x(x∈(0，π))的圖象上的不同兩點，則類似地有________成立． 解析：＜sin　運用類比思想與數(shù)形結(jié)合思想，可知y＝sin x(x∈(0，π))的圖象是上凸的，因此線段AB的中點的縱坐標(biāo)總是小于函數(shù)y＝sin x(x∈(0，π))圖象上點的縱坐標(biāo)，所以＜sin成立．13．平面中的三角形和空間中的四面體有很多相類似的性質(zhì)，例如在三角形中：(1)三角形兩邊之和大于第三邊；(2)三角形的面積S＝底高；(3)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的；…… 請類比上述性質(zhì)，寫出空間中四面體的相關(guān)結(jié)論． 解：由三角形的性質(zhì)，可類比得空間四面體的相關(guān)性質(zhì)為： (1)四面體的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積； (2)四面體的體積V＝底面積高； (3)四面體的中位面平行于第四個面且面積等于第四個面的面積的. 14．(xx福建高考)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ①sin213＋cos217－sin 13cos 17； ②sin215＋cos215－sin 15cos 15； ③sin218＋cos212－sin 18cos 12； ④sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos 48； ⑤sin2(－25)＋cos255－sin(－25)cos 55. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 解：(1)方法一：選擇②式，計算如下： sin215＋cos215－sin 15cos 15＝1－sin 30＝1－＝. (2)三角恒等式為sin2 α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α) ＝sin2α＋(cos 30cos α＋sin 30sin α)2－sin α(cos 30cos α＋sin 30sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α －sin2α＝sin2α＋cos2α＝. 方法二：(1)同方法一． (2)三角恒等式為sin2 α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α) ＝＋－sin α(cos 30cos α＋sin 30sin α) ＝－cos 2α＋＋(cos 60cos 2α＋sin 60sin 2α)－sin αcos α－ sin2α ＝－ cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)＝1－cos 2α－＋cos 2α＝. 1．對于命題：若O是線段AB上一點，則有||＋||＝0.將它類比到平面的情形是： 若O是△ABC內(nèi)一點，則有S△OBC＋S△OCA＋S△OBA＝0，將它類比到空間情形應(yīng)該是：若O是四面體ABCD內(nèi)一點，則有________． 解析：VO—BCD＋VO—ACD＋VO—ABD＋VO—ABC＝0　將平面中的相關(guān)結(jié)論類比到空間，通常是將平面中的圖形的面積類比為空間中的幾何體的體積，因此依題意可知若O為四面體ABCD內(nèi)一點，則有VO—BCD＋VO—ACD＋VO—ABD＋VO—ABC＝0. 2．(xx福建質(zhì)檢)觀察下列等式： ＋＝1； ＋＋＋＝12； ＋＋＋＋＋＝39； … 則當(dāng)m＜n且m，n∈N時， ＋＋＋＋…＋＋＝________(最后結(jié)果用m，n表示)． 解析：n2－m2　據(jù)已知可得＋＋＋＝＋＋＋＝42－22＝12，同理＋＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＝82－52＝39，據(jù)此規(guī)律可得＋＋…＋＋＝n2－m2. 3．(xx安徽高考)如圖，互不相同的點A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面積均相等．設(shè)OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，則數(shù)列{an}的通項公式是________． 解析：an＝　設(shè)S△OA1B1＝S， ∵a1＝1，a2＝2，OAn＝an， ∴OA1＝1，OA2＝2. 又易知△OA1B1∽△OA2B2， ∴＝＝2＝. ∴S梯形A1B1B2A2＝3S△OA1B1＝3S. ∵所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面積均相等，且△OA1B1∽△OAnBn， ∴＝＝＝. ∴＝，∴an＝. 4．對于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，給出定義：設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)，f ″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f ″(x)＝0有實數(shù)解x0，則稱點(x0，f(x0))為函數(shù)y＝f(x)的“拐點”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)， (1)求函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對稱中心； (2)計算f＋f＋f＋f＋…＋f的值． 解：(1)f′(x)＝x2－x＋3，f ″(x)＝2x－1， 由f ″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝. f＝3－2＋3－＝1. 由題中給出的結(jié)論，可知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對稱中心為. (2)由(1)，知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋3x－的對稱中心為， 所以f＋f＝2，即f(x)＋f(1－x)＝2. 故f＋f＝2， f＋f＝2， f＋f＝2， …… f＋f＝2. 所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝22 013＝2 013.