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2019年高考數(shù)學(xué) 考點匯總 考點30 直接證明與間接證明（含解析） 一、選擇題 1.（xx山東高考理科Ｔ4） 用反證法證明命題：“已知為實數(shù)，則方程至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是（ ） A、方程沒有實根. B、方程至多有一個實根. C、方程至多有兩個實根. D、方程恰好有兩個實根. 【解題指南】本題考查了反證法，從問題的反面出發(fā)進(jìn)行假設(shè).一元二次方程根的個數(shù)為0,1,2.因此至少有一個實根包含1根或兩根，它的反面為0根. 【解析】選A.“已知為實數(shù)，則方程至少有一個實根”的反面是“方程沒有實根.”故選A. 2.（xx山東高考文科Ｔ4）與（xx山東高考理科Ｔ4）相同 用反證法證明命題：“已知為實數(shù)，則方程至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是（ ） A、方程沒有實根. B、方程至多有一個實根. C、方程至多有兩個實根. D、方程恰好有兩個實根. 【解題指南】本題考查了反證法，從問題的反面出發(fā)進(jìn)行假設(shè).一元二次方程根的個數(shù)為0,1,2.因此至少有一個實根包含1根或兩根，它的反面為0根. 【解析】選A.“已知為實數(shù)，則方程至少有一個實根”的反面是“方程沒有實根.”故選A. 二、解答題 3.（xx北京高考理科Ｔ20）已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項的最大值記為An，第n項之后各項，…的最小值記為Bn，dn=An－Bn． (1)若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意n∈N*，)，寫出d1，d2，d3，d4的值； (2)設(shè)d為非負(fù)整數(shù)，證明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數(shù)列； (3)證明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，則{an}的項只能是1或2，且有無窮多項為1 【解題指南】(1)根據(jù){dn}的定義求. (2)充分性:先證明{an}是不減數(shù)列,再利用定義求dn; 必要性:先證明{an}是不減數(shù)列,再利用定義證明等差. (3)可通過取特殊值和反證法進(jìn)行證明. 【解析】（1），， ，。 （2） 充分性： 若為公差為的等差數(shù)列，則. 因為是非負(fù)整數(shù)，所以是常數(shù)列或遞增數(shù)列. ，， (n=1,2,3,…). 必要性： 若，假設(shè)是第一個使得的項，則 ，， ，這與矛盾. 所以是不減數(shù)列. ，即， 是公差為的等差數(shù)列. （3）①首先中的項不能是0，否則，與已知矛盾. ②中的項不能超過2，用反證法證明如下： 若中有超過2的項，設(shè)是第一個大于2的項， 中一定存在項為1，否則與矛盾. 當(dāng)時，，否則與矛盾. 因此存在最大的i在2到k-1之間，使得， 此時，矛盾. 綜上中沒有超過2的項. 綜合①②，中的項只能是1或2. 下面證明1有無數(shù)個，用反證法證明如下： 若為最后一個1，則，矛盾. 因此1有無數(shù)個. 4.（xx北京高考文科Ｔ20）給定數(shù)列a1，a2，…，an。對i=1，2，…n-l，該數(shù)列前i項的最大值記為Ai，后n-i項ai+1，ai+2，…，an的最小值記為Bi，di=Ai-Bi. （1）設(shè)數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值. （2）設(shè)a1，a2，…，an（n≥4）是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0.證明：d1，d2，…dn-1是等比數(shù)列。 （3）設(shè)d1，d2，…dn-1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1＞0，證明：a1，a2，…，an-1是等差數(shù)列。 【解題指南】(1)利用di的公式,求d1,d2,d3的值. (2)先求出{dn}的通項,再利用等比數(shù)列的定義證明{dn}是等比數(shù)列. (3)先證明{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,再證明an是數(shù)列{an}的最小項,最后證明{an}是等差數(shù)列. 【解析】（1），，。 （2）由是公比大于1的等比數(shù)列，且a1＞0，可得的通項為且為單調(diào)遞增數(shù)列。 于是當(dāng)時，為定值。 因此d1，d2，…dn-1構(gòu)成首項，公比的等比數(shù)列。 （3）若d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差數(shù)列,則00矛盾. 因而k≥2,此時考慮dk-1=Ak-1-Bk-1=ak-1-ak<0,矛盾. 因此,an為數(shù)列{an}中的最小項. 綜上,dk=Ak-Bk=ak-an(k=1,2,…,n-1),于是ak=dk+an, 從而a1,a2,…,an-1是等差數(shù)列.