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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第七章 第41課 數(shù)列的遞推關系與求和要點導學 數(shù)列的遞推關系 　已知數(shù)列{an}中,其中Sn為數(shù)列{an}的前n項和,并且Sn+1=4an+2(n∈N*),a1=1. (1) 設bn=an+1-2an(n∈N*),求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列; (2) 設數(shù)列{cn}滿足cn=(n∈N*),求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列. [思維引導](1) 首先條件中Sn+1=4an+2如何處理,通常要歸一,即一是轉化為相鄰三項的關系;二是轉化為和之間的關系,這里是轉化為相鄰三項的關系,接下來根據(jù)等比數(shù)列的定義,易得數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(2) 根據(jù)等差數(shù)列的定義,結合(1)不難證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列. [證明](1) 因為Sn+1=4an+2,所以Sn+2=4an+1+2, 兩式相減得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an, 即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an), 因為bn=an+1-2an,則有bn+1=2bn(n∈N*), 又a1=1,S2=4a1+2a2=5, 從而b1=a2-2a1=5-2=3≠0, 由此可知,數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列. (2) 由(1)知bn=32n-1, 因為cn=, 所以cn+1-cn=-==, 將bn=32n-1代入得cn+1-cn==(n∈N*), 由此可知,數(shù)列{cn}是公差為、首項c1==的等差數(shù)列. 　在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+1=,求an. [思維引導]對遞推關系的兩邊取倒數(shù),可以得到與之間的遞推關系.運用累加法公式,先求出的通項公式,再求出an的通項公式,這體現(xiàn)了轉化思想的運用. [解答]原式可化為-=n,所以-=n-1, -=n-2,…, -=1, 累加得-=(n-1)+(n-2)+…+1, 所以=+1,所以an=. [精要點評]求數(shù)列的通項公式,特別是由遞推公式給出數(shù)列時,除迭加、迭代、累乘外,還應注意配湊變形法.變形的主要目的是湊出容易解決問題的等差或等比數(shù)列,然后再結合等差、等比數(shù)列的運算特點解決原有問題.證明問題,可根據(jù)遞推公式寫出前幾項,由此猜測歸納出通項公式,再證明. 利用裂項相消法求數(shù)列的和 　在等比數(shù)列{an}中,已知S3=,S6=. (1) 求數(shù)列{an}的通項公式; (2) 記bn=log4a3+log4a4+…+log4an+2,且cn=,試比較與4的大小. [思維引導]構造方程求數(shù)列{an}的首項與公比,然后求通項公式;由an求bn,再求cn,求cn的和時,因出現(xiàn)式子,故可用裂項相消法求和. [解答](1) 若q=1,則S6=2S3,這與已知S3=且S6=不符,所以q≠1. 因此有 化簡得1+q3=9,即q=2,所以a1=, 則數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1=2n-2. (2) bn=log4a3+log4a4+…+log4an+2 =(log2a3+log2a4+…+log2an+2) =(1+2+3+…+n)=, 所以cn===4,則 =4 =4=. 又-4=<0,所以. [精要點評]裂項求和法是求數(shù)列各項之和的常用方法.一般地,對于首項與公差均不為0的等差數(shù)列{an},有=,則==,以及有結論=.特別地,對于an=,有ai=;對于an=,有 　在等差數(shù)列{an}中,a7=4,a19=2a9. (1) 求{an}的通項公式; (2) 設bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. [解答](1) 設等差數(shù)列{an}的公差為d,則an=a1+(n-1)d. 因為所以 解得a1=1,d=. 所以{an}的通項公式為an=. (2) bn===-, 所以Sn=++…+=. 利用錯位相減法求數(shù)列的和 　設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=2-an,n=1,2,3,…. (1) 求數(shù)列{an}的通項公式; (2) 若數(shù)列{bn}滿足b1=1,且bn+1=bn+an,求數(shù)列{bn}的通項公式; (3) 設cn=n (3-bn),求數(shù)列{cn}的前n項和為Tn. [思維引導]求通項公式時,要根據(jù)遞推關系進行;再由an求出bn的通項公式;對于cn,由于cn=2n,是等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積的形式,故可采取錯位相減法求和. [解答](1) 當n=1時,a1+S1=a1+a1=2,所以a1=1. 因為Sn=2-an,即an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2. 兩式相減得an+1-an+Sn+1-Sn=0,即an+1-an+an+1=0, 故有2an+1=an. 因為an≠0,所以=(n∈N*). 所以數(shù)列{an}是首項a1=1、公比為的等比數(shù)列, 且an=(n∈N*). (2) 因為bn+1=bn+an,所以bn+1-bn=,從而有 b2-b1=1,b3-b2=,b4-b3=,…,bn-bn-1=(n=2,3,…). 將這n-1個等式相加,得 bn-b1=1+++…+==2-2. 又因為b1=1,所以bn=3-2(n=1,2,3,…). (3) 因為cn=n (3-bn)=2n, 所以Tn=2.?、? Tn=2.?、? ①-②,得Tn=2[+++…+]-2n. 故Tn=4-4n=8--4n=8-(n=1,2,3,…). [精要點評](1) 考查了根據(jù)an與Sn的關系求通項公式an.在已知Sn求an,或是由an與Sn的關系式求an時,往往要先考慮n=1的特殊情況,然后再結合an=Sn-Sn-1求通項公式.(2) 考查了累加法求通項公式an.在出現(xiàn)關系an=an-1+2n或an=an-1+2n或類似關系時,?？紤]累加法求通項,必要時還要考慮累乘法.(3) 在求數(shù)列的和時采取了錯位相減法.當數(shù)列是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列進行對應相乘時,可采取這種方法求數(shù)列的和. (xx淮安、宿遷摸底)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),其前n項和Sn=(an-1)(an+2),n∈N*. (1) 求數(shù)列{an}的通項公式; (2) 設bn=(-1)nan,求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n. [規(guī)范答題](1) 當n=1時,S1=(a1-1)(a1+2),解得a1=-1或a1=2. 因為a1>0,所以a1=2.(2分) 當n≥2時,Sn=(an-1)(an+2), Sn-1=(an-1-1)(an-1+2). 兩式相減得(an+an-1)(an-an-1-1)=0.(6分) 又因為an>0,所以an+an-1>0,所以an-an-1=1. 所以an=n+1.(8分) (2) T2n=-a1a2+a2a3-a3a4+a4a5-a5a6+…+a2n-2a2n-1-a2n-1a2n+a2na2n+1 =2(a2+a4+…+a2n).(11分) 又a2,a4,…,a2n是首項為3、公差為2的等差數(shù)列, 所以a2+a4+…+a2n==n2+2n. 故T2n=2n2+4n(14分) 1. 在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=(n=1,2,3,…),則a10=　　　　 . [答案] [解析]對an+1=取倒數(shù),得=+1,即-=1,由此可知數(shù)列是以為首項、1為公差的等差數(shù)列,從而=+91=10,因此a10=. 2. 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a5=5,S5=15,則數(shù)列 的前100項和為　　　　. [答案] [解析]由a5=5,S5=15,得a1=1,d=1,所以an=1+(n-1)=n,所以==-,所以++…+=-+-+…+-=1-=. 3. 在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n,則數(shù)列{an}的通項公式是an=　　　　 . [答案]n2n-1 [解析]因為an+1=2an+2n,同除以2n+1,得=+,即-=,所以數(shù)列是首項為、公差為的等差數(shù)列,所以=,所以an=n2n-1. 4. 已知正項數(shù)列{an}滿足-(2n-1)an-2n=0. (1) 求數(shù)列{an}的通項公式an; (2) 令bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. [解答](1) 由-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.由于{an}是正項數(shù)列,所以an=2n. (2) 由(1)知an=2n, 故bn===, 所以Tn===. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習(第81-82頁).