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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第三篇 建模板，看細(xì)則，突破高考拿高分 【模板特征概述】 數(shù)學(xué)解答題是高考數(shù)學(xué)試卷中的一類重要題型，通常是高考的把關(guān)題和壓軸題，具有較好的區(qū)分層次和選拔功能．目前的高考解答題已經(jīng)由單純的知識(shí)綜合型轉(zhuǎn)化為知識(shí)、方法和能力的綜合型解答題．在高考考場(chǎng)上，能否做好解答題，是高考成敗的關(guān)鍵，因此，在高考備考中學(xué)會(huì)怎樣解題，是一項(xiàng)重要的內(nèi)容．本節(jié)以著名數(shù)學(xué)家波利亞的《怎樣解題》為理論依據(jù)，結(jié)合具體的題目類型，來談一談解答數(shù)學(xué)解答題的一般思維過程、解題程序和答題格式，即所謂的“答題模板”． “答題模板”就是首先把高考試題納入某一類型，把數(shù)學(xué)解題的思維過程劃分為一個(gè)個(gè)小題，按照一定的解題程序和答題格式分步解答，即化整為零．強(qiáng)調(diào)解題程序化，答題格式化，在最短的時(shí)間內(nèi)擬定解決問題的最佳方案，實(shí)現(xiàn)答題效率的最優(yōu)化． 模板1　三角函數(shù)的性質(zhì) 典例1　(12分)(xx天津)已知函數(shù)f(x)＝sin2x－sin2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 審題路線圖　→ →→ → 規(guī) 范 解 答評(píng) 分 標(biāo) 準(zhǔn) 構(gòu) 建 答 題 模 板 解　(1)由已知，有f(x)＝－2分 ＝－cos 2x4分 ＝sin 2x－cos 2x＝sin.6分 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.7分 (2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)， f＝－，8分 f＝－，f＝，10分 所以f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為－.12分 第一步　化簡(jiǎn)：利用輔助角公式化f(x)為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式． 第二步　整體代換：設(shè)t＝ωx＋φ，確定t的范圍． 第三步　求解：利用y＝sin t的性質(zhì)求y＝Asin(ωx＋φ)＋k的單調(diào)性、最值、對(duì)稱性等． 第四步　反思：查看換元之后字母范圍變化，利用數(shù)形結(jié)合估算結(jié)果的合理性，檢查步驟的規(guī)范性. 評(píng)分細(xì)則　第(1)問得分點(diǎn)： 1　無化簡(jiǎn)過程，直接得到f(x)＝sin(2x－)，扣5分 2　化簡(jiǎn)結(jié)果錯(cuò)誤，中間某一步正確，給2分 第(2)問得分點(diǎn)： 1　只求f(－)，f()得出最值，給1分 2　若單調(diào)性出錯(cuò)，給1分 3　單調(diào)性正確，計(jì)算錯(cuò)誤，扣2分 4　求出2x－范圍，利用數(shù)形結(jié)合求最值，同樣得分． 跟蹤演練1　(xx福建)已知函數(shù)f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－. (1)若0<α<，且sin α＝，求f(α)的值； (2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間． 　 　 模板2　解三角形 典例2　(14分)(xx山東)△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知a＝3，cos A＝，B＝A＋. (1)求b的值； (2)求△ABC的面積． 審題路線圖　(1)→→ (2)方法一→ 方法二→ 規(guī) 范 解 答評(píng) 分 標(biāo) 準(zhǔn) 構(gòu) 建 答 題 模 板 解　(1)在△ABC中，由題意知，sin A＝＝，1分 又因?yàn)锽＝A＋， 所以sin B＝sin＝cos A＝.3分 由正弦定理，得b＝＝＝3.5分 (2)由余弦定理得： cos A＝＝?c2－4c＋9＝0 ?c1＝，c2＝3，10分 又因?yàn)锽＝A＋為鈍角， 所以b>c，即c＝，12分 所以S△ABC＝acsin B＝.14分 第一步　找條件：尋找三角形中已知的邊和角，確定轉(zhuǎn)化方向． 第二步　定工具：根據(jù)已知條件和轉(zhuǎn)化方向，選擇使用的定理和公式，實(shí)施邊角之間的轉(zhuǎn)化． 第三步　求結(jié)果：根據(jù)前兩步分析，代入求值得出結(jié)果． 第四步　再反思：轉(zhuǎn)化過程中要注意轉(zhuǎn)化的方向，審視結(jié)果的合理性. 評(píng)分細(xì)則　第(1)問得分點(diǎn) 1．沒求sin A而直接求出sin B的值，不扣分． 2．寫出正弦定理，但b計(jì)算錯(cuò)誤，得1分． 第(2)問得分點(diǎn) 1．寫出余弦定理，但c計(jì)算錯(cuò)誤，得1分． 2．求出c的兩個(gè)值，但沒舍去，扣2分． 3．面積公式正確，但計(jì)算錯(cuò)誤，只給1分． 4．若求出sin C，利用S＝absin C計(jì)算，同樣得分． 跟蹤演練2　(xx浙江)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2. (1)求tan C的值； (2)若△ABC的面積為3，求b的值． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 模板3　數(shù)列的通項(xiàng)、求和 典例3　(12分)(xx浙江)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an＝()(n∈N*)．若{an}為等比數(shù)列，且a1＝2，b3＝6＋b2. (1)求an與bn； (2)設(shè)cn＝－(n∈N*)．記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn. ①求Sn；②求正整數(shù)k，使得對(duì)任意n∈N*，均有Sk≥Sn. 審題路線圖　→→→→→ 規(guī) 范 解 答評(píng) 分 標(biāo) 準(zhǔn) 構(gòu) 建 答 題 模 板 解　(1)由題意知a1a2a3…an＝()，b3－b2＝6， 知a3＝()＝8.2分 又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝2n(n∈N*)，4分 所以，a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)． 故數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn＝n(n＋1)(n∈N*).6分 (2)①由(1)知cn＝－＝－(n∈N*)， 所以Sn＝－(n∈N*).8分 ②因?yàn)閏1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，9分 當(dāng)n≥5時(shí)，cn＝， 而－＝>0， 得≤<1， 所以，當(dāng)n≥5時(shí)，cn<0.11分 綜上，對(duì)任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4.12分 第一步　找關(guān)系：根據(jù)已知條件確定數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系． 第二步　求通項(xiàng)：根據(jù)等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或利用累加、累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式． 第三步　定方法：根據(jù)數(shù)列表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征確定求和方法(常用的有公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組法等)． 第四步　寫步驟． 第五步　再反思：檢查求和過程中各項(xiàng)的符號(hào)有無錯(cuò)誤，用特殊項(xiàng)估算結(jié)果. 評(píng)分細(xì)則　(1)求出a3＝8得2分，給出b2，b3的關(guān)系得1分； (2)求出q給1分，但q＝－2不舍去不得分； (3)裂項(xiàng)得1分，每個(gè)求和寫出正確結(jié)果得1分； (4)驗(yàn)算前4項(xiàng)給2分； (5)驗(yàn)算法給出最后結(jié)果得3分． 跟蹤演練3　(xx山東)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝(－1)n－1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 　 　 　 　 　 　 模板4　利用向量求空間角 典例4　(12分)(xx山東)如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60，AB＝2CD＝2，M是線段AB的中點(diǎn)． (1)求證：C1M∥平面A1ADD1； (2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(銳角)的余弦值． 審題路線圖　(1)?→ (2)→→→ 規(guī) 范 解 答評(píng) 分 標(biāo) 準(zhǔn) 構(gòu) 建 答 題 模 板 (1)證明　因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形， 且AB＝2CD，所以AB∥DC. 又由M是AB的中點(diǎn)，因此CD∥MA且CD＝MA. 連接AD1，如圖(1)． 在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中， 因?yàn)镃D∥C1D1，CD＝C1D1，可得C1D1∥MA，C1D1＝MA，所以四邊形AMC1D1為平行四邊形，3分 因?yàn)镃1M∥D1A. 又C1M?平面A1ADD1，D1A?平面A1ADD1，所以C1M∥平面A1ADD1.5分 (2)解　如圖(2)，連接AC，MC. 由(1)知CD∥AM且CD＝AM， 所以四邊形AMCD為平行四邊形， 可得BC＝AD＝MC， 由題意得∠ABC＝∠DAB＝60，所以△MBC為正三角形， 因此AB＝2BC＝2，CA＝，7分 因此CA⊥CB. 以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖(2)所示的空間直角坐標(biāo)系 C－xyz，所以A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)，8分 因此M，所以＝，＝＝. 設(shè)平面C1D1M的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)， 由得可得平面C1D1M的一個(gè)法向量n＝(1，，1)．又＝(0,0，)為平面ABCD的一個(gè)法向量，9分 因此cos〈，n〉＝＝.11分 所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(銳角)的余弦值為.12分 第一步　找垂直：找出(或作出)具有公共交點(diǎn)的三條兩兩垂直的直線． 第二步　寫坐標(biāo)：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出特征點(diǎn)坐標(biāo)． 第三步　求向量：求直線的方向向量或平面的法向量． 第四步　求夾角：計(jì)算向量的夾角． 第五步　得結(jié)論：得到所求兩個(gè)平面所成的角或直線和平面所成的角. 評(píng)分細(xì)則　(1)得出C1D1∥AM給1分，得出C1D1＝MA給1分； (2)線面平行條件不完整扣1分； (3)建系得1分； (4)寫正確向量坐標(biāo)給2分； (5)求出平面C1D1M的一個(gè)法向量給2分． 跟蹤演練4　(xx四川)一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設(shè)BC的中點(diǎn)為M，GH的中點(diǎn)為N. (1)請(qǐng)將字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由)； (2)證明：直線MN∥平面BDH； (3)求二面角AEGM的余弦值． 　 　 　 　 　 　 　 模板5　離散型隨機(jī)變量的分布列 典例5　(12分)甲、乙兩人參加某電視臺(tái)舉辦的答題闖關(guān)游戲，按照規(guī)則，甲先從6道備選題中一次性抽取3道題獨(dú)立作答，然后由乙回答剩余3題，每人答對(duì)其中2題就停止答題，即闖關(guān)成功．已知在6道備選題中，甲能答對(duì)其中的4道題，乙答對(duì)每道題的概率都是. (1)求甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率； (2)設(shè)甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列及均值． 審題路線圖　(1)→→ (2)→→→ 規(guī) 范 解 答評(píng) 分 標(biāo) 準(zhǔn) 構(gòu) 建 答 題 模 板 解　(1)設(shè)甲、乙闖關(guān)成功分別為事件A、B， 則P()＝＝＝， P()＝(1－)3＋C(1－)2＝＋＝，4分 則甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率是 1－P()＝1－P()P()＝1－＝.6分 (2)由題意知ξ的可能取值是1,2.7分 P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， 則ξ的分布列為 ξ 1 2 P 10分 ∴E(ξ)＝1＋2＝.12分 第一步　定元：根據(jù)已知條件確定離散型隨機(jī)變量的取值． 第二步　定性：明確每個(gè)隨機(jī)變量取值所對(duì)應(yīng)的事件． 第三步　定型：確定事件的概率模型和計(jì)算公式． 第四步　計(jì)算：計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率． 第五步　列表：列出分布列． 第六步　求解：根據(jù)均值、方差公式求解其值. 評(píng)分細(xì)則　(1)P()，P()計(jì)算正確每個(gè)給2分； (2)對(duì)甲、乙至少有一人闖關(guān)成功事件分解、計(jì)算正確的參照給分； (3)P(ξ＝1)，P(ξ＝2)計(jì)算正確每個(gè)給1分，列表給1分． 跟蹤演練5　(xx安徽)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束． (1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率； (2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 模板6　直線與圓錐曲線 典例6　(12分)(xx課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求E的方程； (2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程． 審題路線圖　→→→→ → 規(guī) 范 解 答評(píng) 分 標(biāo) 準(zhǔn) 構(gòu) 建 答 題 模 板 解　(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，＝，得c＝.2分 又e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程為＋y2＝1.5分 (2)當(dāng)l⊥x軸時(shí)，不合題意，故設(shè)l：y＝kx－2，6分 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.7分 當(dāng)Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>時(shí)，x1,2＝. 從而|PQ|＝|x1－x2|＝. 又點(diǎn)O到直線PQ的距離d＝， 所以△OPQ的面積S△OPQ＝d|PQ|＝.9分 設(shè)＝t，則t>0，S△OPQ＝＝. 因?yàn)閠＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2，即k＝時(shí)等號(hào)成立，且滿足Δ>0，11分 所以，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)l的方程為y＝x－2或y＝－x－2.12分 第一步　提關(guān)系：從題設(shè)條件中提取不等關(guān)系式． 第二步　找函數(shù)：用一個(gè)變量表示目標(biāo)變量，代入不等關(guān)系式． 第三步　得范圍：通過求解含目標(biāo)變量的不等式，得所求參數(shù)的范圍或最值． 第四步　再回顧：注意目標(biāo)變量的范圍所受題中其他因素的制約，檢查最值取得的條件. 評(píng)分細(xì)則　(1)列出關(guān)于c的方程，結(jié)果算錯(cuò)給1分； (2)求出a＝2，給2分，得E的方程給1分； (3)沒有考慮斜率不存在的情況扣1分； (4)求|PQ|時(shí)結(jié)果正確沒有過程扣1分； (5)沒有驗(yàn)證Δ>0扣1分． 跟蹤演練6　(xx天津)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F(－c,0)，離心率為，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線FM被圓x2＋y2＝截得的線段的長(zhǎng)為c，|FM|＝. (1)求直線FM的斜率； (2)求橢圓的方程； (3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，若直線FP的斜率大于，求直線OP(O為原點(diǎn))的斜率的取值范圍． 　 　 　 　 　 模板7　解析幾何中的探索性問題 典例7　(12分)已知定點(diǎn)C(－1,0)及橢圓x2＋3y2＝5，過點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)． (1)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－，求直線AB的方程； (2)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 審題路線圖　(1)→→ (2)→→→ 規(guī) 范 解 答評(píng) 分 標(biāo) 準(zhǔn) 構(gòu) 建 答 題 模 板 解　(1)依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋1)， 將y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.2分 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 由線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－，得＝－＝－， 解得k＝，適合①.所以直線AB的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.4分 (2)假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m,0)，使為常數(shù)． (ⅰ)當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝. ③ 所以＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1) ＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.7分 將③代入，整理得 ＝＋m2＝＋m2＝m2＋2m－－.9分 注意到是與k無關(guān)的常數(shù)，從而有6m＋14＝0，m＝－，此時(shí)＝.10分 (ⅱ)當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為、，當(dāng)m＝－時(shí)，也有＝.11分 綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M，使為常數(shù).12分 第一步　先假定：假設(shè)結(jié)論成立． 第二步　再推理：以假設(shè)結(jié)論成立為條件，進(jìn)行推理求解． 第三步　下結(jié)論：若推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立則肯定假設(shè)；若推出矛盾則否定假設(shè)． 第四步　再回顧：查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)(特殊情況、隱含條件等)，審視解題規(guī)范性. 評(píng)分細(xì)則　(1)不考慮直線AB斜率不存在的情況扣1分； (2)不驗(yàn)證Δ>0扣1分； (3)沒有假設(shè)存在點(diǎn)M不扣分； (4)沒有化簡(jiǎn)至最后結(jié)果，直接下結(jié)論扣1分． 跟蹤演練7　(xx湖南)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C1：－＝1(a1>0，b1>0)和橢圓C2：＋＝1(a2>b2>0)均過點(diǎn)P(，1)，且以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)和C2的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形． (1)求C1，C2的方程； (2)是否存在直線l，使得l與C1交于A，B兩點(diǎn)，與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，且|＋|＝||？證明你的結(jié)論． 　 　 　 　 　 模板8　函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 典例8　(12分)(xx課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝emx＋x2－mx. (1)證明：f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增； (2)若對(duì)于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍． 審題路線圖　(1)→→ (2)→→ →→→ 規(guī) 范 解 答評(píng) 分 標(biāo) 準(zhǔn) 構(gòu) 建 答 題 模 板 解　(1)f′(x)＝m(emx－1)＋2x.1分 若m≥0，則當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，emx－1≤0，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，emx－1≥0，f′(x)＞0. 若m＜0，則當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，emx－1＞0，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，emx－1＜0，f′(x)＞0.4分 所以，f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增.6分 (2)由(1)知，對(duì)任意的m，f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減，在[0,1]上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝0處取得最小值．所以對(duì)于任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要條件是8分 即①設(shè)函數(shù)g(t)＝et－t－e＋1，則g′(t)＝et－1.9分 當(dāng)t＜0時(shí)，g′(t)＜0；當(dāng)t＞0時(shí)，g′(t)＞0.故g(t)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故當(dāng)t∈[－1,1]時(shí)，g(t)≤0. 當(dāng)m∈[－1,1]時(shí)，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；10分 當(dāng)m＞1時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，g(m)＞0，即em－m＞e－1； 當(dāng)m＜－1時(shí)，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1.11分 綜上，m的取值范圍是[－1,1].12分 第一步　求導(dǎo)數(shù)：一般先確定函數(shù)的定義域，再求f′(x)． 第二步　定區(qū)間：根據(jù)f′(x)的符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 第三步　尋條件：一般將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題． 第四步　寫步驟：通過函數(shù)單調(diào)性探求函數(shù)最值，對(duì)于最值可能在兩點(diǎn)取到的恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為不等式組恒成立． 第五步　再反思：查看是否注意定義域，區(qū)間的寫法、最值點(diǎn)的探求是否合理等. 評(píng)分細(xì)則　(1)討論時(shí)漏掉m＝0扣1分； (2)確定f′(x)符號(hào)時(shí)只有結(jié)論無中間過程扣1分； (3)寫出f(x)在x＝0處取得最小值給1分； (4)無最后結(jié)論扣1分； (5)其他方法構(gòu)造函數(shù)同樣給分． 跟蹤演練8　設(shè)函數(shù)f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求所有的實(shí)數(shù)a，使e－1≤f(x)≤e2對(duì)x∈[1，e]恒成立． 　 　 　 　 學(xué)生用書答案精析 第三篇　建模板，看細(xì)則，突破高考拿高分 跟蹤演練1　解　(1)因?yàn)?<α<，sin α＝， 所以cos α＝. 所以f(α)＝(＋)－＝. (2)因?yàn)閒(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ＝sin 2x＋－ ＝sin 2x＋cos 2x ＝sin(2x＋)， 所以T＝＝π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得 kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－，kπ＋]，k∈Z. 跟蹤演練2　解　(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C. 所以－cos 2B＝sin2C. 又由A＝，即B＋C＝π，得 －cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝sin2C， 解得tan C＝2. (2)由tan C＝2，C∈(0，π)得 sin C＝，cos C＝， 又因?yàn)閟in B＝sin(A＋C)＝sin， 所以sin B＝， 由正弦定理得c＝b， 又因?yàn)锳＝，bcsin A＝3， 所以bc＝6，故b＝3. 跟蹤演練3　解　(1)因?yàn)镾1＝a1，S2＝2a1＋2＝2a1＋2， S4＝4a1＋2＝4a1＋12， 由題意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1， 所以an＝2n－1. (2)bn＝(－1)n－1 ＝(－1)n－1 ＝(－1)n－1(＋)． 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， Tn＝(1＋)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝1－＝. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， Tn＝(1＋)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝1＋＝. 所以Tn＝ (或Tn＝) 跟蹤演練4　(1)解　點(diǎn)F，G，H的位置如圖所示． (2)證明　連接BD，設(shè)O為BD的中點(diǎn)， 因?yàn)镸，N分別是BC，GH的中點(diǎn)， 所以O(shè)M∥CD，且OM＝CD，HN∥CD，且HN＝CD， 所以O(shè)M∥HN，OM＝HN， 所以四邊形MNHO是平行四邊形， 從而MN∥OH， 又MN?平面BDH，OH?平面BDH， 所以MN∥平面BDH. (3)解　方法一　連接AC，過M作MP⊥AC于P， 在正方體ABCD-EFGH中，AC∥EG， 所以MP⊥EG， 過P作PK⊥EG于K，連接KM， 所以EG⊥平面PKM， 從而KM⊥EG， 所以∠PKM是二面角AEGM的平面角，設(shè)AD＝2，則CM＝1，PK＝2， 在Rt△CMP中，PM＝CMsin 45＝， 在Rt△PKM中，KM＝＝，所以cos∠PKM＝＝， 即二面角AEGM的余弦值為. 方法二　如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz， 設(shè)AD＝2，則M(1,2,0)，G(0,2,2)，E(2,0,2)，O(1,1,0)， 所以＝(2，－2,0)，＝(－1,0,2)， 設(shè)平面EGM的一個(gè)法向量為n1＝(x，y，z)， 由取x＝2，得n1＝(2,2,1)， 在正方體ABCD-EFGH中，DO⊥平面AEGC， 則可取平面AEG的一個(gè)法向量為n2＝＝(1,1,0)， 所以cosn1，n2＝＝＝， 故二面角AEGM的余弦值為. 跟蹤演練5　解　(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A. P(A)＝＝. (2)X的可能取值為200,300,400. P(X＝200)＝＝， P(X＝300)＝＝， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300) ＝1－－＝. 故X的分布列為 X 200 300 400 P E(X)＝200＋300＋400＝350. 跟蹤演練6　解　(1)由已知有＝， 又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2. 設(shè)直線FM的斜率為k(k＞0)，F(xiàn)(－c,0)，則直線FM的方程為y＝k(x＋c)． 由已知，有2＋2＝2， 解得k＝. (2)由(1)得橢圓方程為＋＝1，直線FM的方程為y＝(x＋c)，兩個(gè)方程聯(lián)立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c，或x＝c. 因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，可得M的坐標(biāo)為. 由|FM|＝ ＝. 解得c＝1，所以橢圓的方程為＋＝1. (3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，直線FP的斜率為t， 得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，與橢圓方程聯(lián)立． 消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6， 又由已知，得t＝ ＞， 解得－＜x＜－1，或－1＜x＜0. 設(shè)直線OP的斜率為m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，與橢圓方程聯(lián)立，整理得m2＝－. ①當(dāng)x∈時(shí)，有y＝t(x＋1)＜0， 因此m＞0，于是m＝ ，得m∈. ②當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，有y＝t(x＋1)＞0. 因此m＜0，于是m＝－， 得m∈. 綜上，直線OP的斜率的取值范圍是∪. 跟蹤演練7　解　(1)設(shè)C2的焦距為2c2，由題意知，2c2＝2,2a1＝2. 從而a1＝1，c2＝1. 因?yàn)辄c(diǎn)P(，1)在雙曲線x2－＝1上， 所以()2－＝1.故b＝3. 由橢圓的定義知 2a2＝ ＋＝2. 于是a2＝，b＝a－c＝2. 故C1，C2的方程分別為 x2－＝1，＋＝1. (2)不存在符合題設(shè)條件的直線． ①若直線l垂直于x軸，因?yàn)閘與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以直線l的方程為x＝或x＝－. 當(dāng)x＝時(shí)，易知A(，)，B(，－)， 所以|＋|＝2，||＝2. 此時(shí)，|＋|≠|(zhì)|. 當(dāng)x＝－時(shí)， 同理可知，|＋|≠|(zhì)|. ②若直線l不垂直于x軸，設(shè)l的方程為y＝kx＋m. 由得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0. 當(dāng)l與C1相交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根， 從而x1＋x2＝，x1x2＝. 于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝. 由得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 因?yàn)橹本€l與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以上述方程的判別式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0. 化簡(jiǎn)，得2k2＝m2－3， 因此＝x1x2＋y1y2 ＝＋＝≠0， 于是2＋2＋2≠2＋2－2， 即|＋|2≠|(zhì)－|2， 故|＋|≠|(zhì)|. 綜合①②可知，不存在符合題設(shè)條件的直線． 跟蹤演練8　解　(1)因?yàn)閒(x)＝a2ln x－x2＋ax，其中x>0， 所以f′(x)＝－2x＋a＝－. 由于a>0， 所以f(x)的增區(qū)間為(0，a)，減區(qū)間為(a，＋∞)． (2)由題意得f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e. 由(1)知f(x)在[1，e]內(nèi)單調(diào)遞增， 要使e－1≤f(x)≤e2對(duì)x∈[1，e]恒成立． 只要解得a＝e.