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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 24.4 正多邊形的有關(guān)計(jì)算教案 北京課改版 教學(xué)目的： 1、使學(xué)生學(xué)會(huì)將正多邊形的邊長(zhǎng)、半徑、邊心距和中心角、周長(zhǎng)、面積等有關(guān)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題． 2、通過定理的證明過程培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、推理能力、概括能力； 3、通過一定量的計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生正確迅速的運(yùn)算能力； 教學(xué)重點(diǎn)： 化正多邊形的有關(guān)計(jì)算為解直角三角形問題定理；正多邊形計(jì)算圖及其應(yīng)用． 教學(xué)難點(diǎn)： 正確地將正多邊形的有關(guān)計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題解決、綜合運(yùn)用幾何知識(shí)準(zhǔn)確計(jì)算． 教學(xué)過程： 一、新課引入： 前幾課我們學(xué)習(xí)了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)，今天我們來學(xué)習(xí)正多邊形的有關(guān)計(jì)算． 大家知道正多邊形在生產(chǎn)和生活中有廣泛的應(yīng)用性，伴隨而來的有關(guān)正多邊形計(jì)算問題必然擺在大家的面前，如何解決正多邊形的計(jì)算問題，正是本堂課研究的課題． 二、新課講解： 哪位同學(xué)回答，什么叫正多邊形．(安排中下生回答：各邊相等，各角相等的多邊形．) 什么是正多形的邊心距、半徑？(安排中下生回答：正多邊形內(nèi)切圓的半徑叫做邊心距．正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．) 正多邊形的邊有什么性質(zhì)、角有什么性質(zhì)？(安排中下生回答：邊都相等，角都相等．) 什么叫正多邊形的中心角？(安排中下生回答：正多邊形的一邊所對(duì)正多邊形外接圓的圓心角．) 正n邊形的中心角度數(shù)如何計(jì)算？(安排中下生回答：中心角的度數(shù) 正n邊形的一個(gè)外角度數(shù)如何計(jì)算？(安排中下生回答： 一個(gè)外角度 哪位同學(xué)有所發(fā)現(xiàn)？(安排舉手學(xué)生：正n邊形的中心角度數(shù)=正n邊形的一個(gè)外角度數(shù)．) 哪位同學(xué)記得n邊形的內(nèi)角和公式？(請(qǐng)回憶起來的學(xué)生回答)． 哪位同學(xué)能根據(jù)n邊形內(nèi)角和定理和正n邊形的性質(zhì)給出求正n邊形一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的公式？(安排中下生回答：正n邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù) 正n邊形的每個(gè)內(nèi)角與它有共同頂點(diǎn)的外角有何數(shù)量關(guān)系？(安排中下生回答：互補(bǔ))． 根據(jù)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角與它有共同頂點(diǎn)的外角的互補(bǔ)關(guān)系和正n邊形每個(gè)外角度數(shù)公式，正n邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)又可怎樣計(jì)算？(安排中 (幻燈展示練習(xí)題，學(xué)生思考，回答) 1．正五邊形的中心角度數(shù)是______；每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是______； 2．一個(gè)正n邊形的一個(gè)外角度數(shù)是360，則它的邊數(shù)n=______，每個(gè)內(nèi)角度數(shù)是______； 3．一個(gè)正n邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是140，則它的邊數(shù)n=______，中心角度數(shù)是______． 對(duì)于前2題安排中下生回答，對(duì)于第3題不僅要回答題目的答案而且要求回答思路． 解此方程n=9． 幻燈展示正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形．如下圖，讓學(xué)生邊觀察、邊回答老師依次提出的問題、邊思考． 1．觀察每個(gè)圖形的半徑，分別將它們分割成多少個(gè)什么樣子的三角形？(安排中下生回答：等腰三角形) 2．觀察每個(gè)圖形中所得的三角形具有什么關(guān)系？為什么？(安排中等生回答：全等，依據(jù)(S．S．S)或(S．A．S)) 3．將上述四個(gè)圖形的觀察與思考推而廣之，你得出了什么結(jié)論？哪位同學(xué)說說自己的想法(安排中上生回答：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個(gè)全等的等腰三角形．) 套上幻燈片的復(fù)合片：作出各等腰三角形底邊上的高，如下圖，安排學(xué)生觀察、思考并回答以下問題： 1．這些等腰三角形的每一條高都將每個(gè)等腰三角形分割為兩個(gè)直角三角形，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？為什么？(安排中下生回答) 2．這些等腰三角形的高在正多邊形中的名稱是什么？(安排中下生回答：邊心距) 3．正n邊形的n條半徑、n條邊心距將正n邊形分割成全等直角三角形的個(gè)數(shù)是多少？(安排中等生回答：2n個(gè)) 給出定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形． 再套幻燈片的復(fù)合片，如圖7-140，安排學(xué)生觀察每個(gè)直角三角形都由正多邊形的哪些元素組成． 安排中下生回答：直角三角形的斜邊是正多邊形的半徑R、一條直角邊是正多邊形的邊心距．另一直角邊是正多邊形邊長(zhǎng)的一半(在此安排中等生回答：為什么？)半徑與邊心距的夾角是正多邊形一個(gè)中心角的一半．(安排中等生回答“為什么？”) 講解：由于這個(gè)直角三角形融合了正多邊形諸多元素，所以就可將正多邊形有關(guān)半徑、邊心距、邊長(zhǎng)、中心角的計(jì)算問題歸結(jié)為解直角三角形的問題來解決． 幻燈給出正多邊形抽象的計(jì)算圖，教師講解： 由于正多邊形的有關(guān)計(jì)算都?xì)w結(jié)為解直角三角形的問題來解決，所以我們只要畫出這個(gè)直角三角形就可以了，其余就不畫或略畫．圖中R表示半徑，rn表示正n邊形的邊心距，an表示正n邊形的邊長(zhǎng)，an表示正n邊形的中心角． 提問：對(duì)于給定具體邊數(shù)的正n邊形，你首先可以求出直角三角形 (教師講解)：直角三角形中一銳角已知，所以只要再給直角三角形的R、rn、an其中一項(xiàng)賦值就可求出其它元素．例如：(幻燈展示題目) 例1 已知：如下圖，正△ABC的邊心距r3=2． 求：R、a3． 問：要解此題，首先要做什么？(找中等生回答：畫出基本計(jì)算圖) 最后要做什么工作：(找中上生回答：選擇三角函數(shù)) 解： ∵n=3 又 完成下列各題：(幻燈展示題目) 1．已知，正方形ABCD的邊長(zhǎng)a4=2． 求：R，r4． 2．已知：正六邊形ABCDEF的半徑R=2， 求：r6，a6． (對(duì)于計(jì)算正確且較快的學(xué)生，讓他們自擬試題進(jìn)行計(jì)算，教師重點(diǎn)輔導(dǎo)需要幫助的學(xué)生) 再回到例1，問：你會(huì)求這個(gè)正三角形的周長(zhǎng)P3嗎？怎么求？為什么這樣求？(安排中等生回答：邊長(zhǎng)3，因?yàn)檎切稳呄嗟?． 再問：你會(huì)求這個(gè)正三角形的面積S3嗎？怎么求？為什么這樣求？(安排中等生回答：直角△AOC的面積6，由定理可知這樣的直角三角形的個(gè)數(shù)是邊數(shù)的2倍．或者，等腰△AOB的面積3，由定理可知選擇的等腰三角形的個(gè)數(shù)與邊數(shù)相同．) 請(qǐng)同學(xué)們分別計(jì)算上述二題的周長(zhǎng)和面積(計(jì)算快而準(zhǔn)的學(xué)生讓其自擬題目再練習(xí)) (幻燈給出例2)：已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)a6、周長(zhǎng)P6和面積S6． (提問)：1．首先要作什么？(安排中下生回答：畫基本計(jì)算圖) 2．然么？(安排中下生回答：選擇三角函數(shù)) ∴P6=9R． 通過上面計(jì)算，你得出正六邊形的半徑與邊長(zhǎng)有什么數(shù)量關(guān)系？(安排中下生回答：相等)希望大家記住這個(gè)結(jié)論：a6=R，因?yàn)樗粌H有利于計(jì)算而且是尺規(guī)畫正六邊形的依據(jù)． 三、課堂小結(jié)： 哪位同學(xué)能說一下，這堂課我們都學(xué)習(xí)了什么知識(shí)？(安排中等生歸納) 1．化正多邊形的有關(guān)計(jì)算為解直角三角形問題定理，2．運(yùn)用正多 角計(jì)算． 四、布置作業(yè)