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2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練八 第2講 坐標系與參數(shù)方程 理 考情解讀　高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應用．以極坐標、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關系等解析幾何知識． 1．直角坐標與極坐標的互化 把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位．如圖，設M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(ρ，θ)，則 ，. 2．直線的極坐標方程 若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾個特殊位置的直線的極坐標方程 (1)直線過極點：θ＝α； (2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a； (3)直線過點M(b，)且平行于極軸：ρsin θ＝b. 3．圓的極坐標方程 若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r的圓的方程為 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 幾個特殊位置的圓的極坐標方程 (1)當圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r； (2)當圓心位于M(r,0)，半徑為r：ρ＝2rcos θ； (3)當圓心位于M(r，)，半徑為r：ρ＝2rsin θ. 4．直線的參數(shù)方程 過定點M(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 5．圓的參數(shù)方程 圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ≤2π)． 6．圓錐曲線的參數(shù)方程 (1)橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 熱點一　極坐標與直角坐標的互化 例1　在以O為極點的極坐標系中，直線l與曲線C的極坐標方程分別是ρcos(θ＋)＝3和ρsin2θ＝8cos θ，直線l與曲線C交于點A、B，則線段AB的長為________． 答案　16 解析　∵ρcos(θ＋)＝ρcos θcos －ρsin θsin ＝ρcos θ－ρsin θ ＝3， ∴直線l對應的直角坐標方程為x－y＝6. 又∵ρsin2θ＝8cos θ， ∴ρ2sin2θ＝8ρcos θ. ∴曲線C對應的直角坐標方程是y2＝8x. 解方程組， 得或， 所以A(2，－4)，B(18,12)， 所以AB＝＝16. 即線段AB的長為16. 思維升華　(1)在由點的直角坐標化為極坐標時，一定要注意點所在的象限和極角的范圍，否則點的極坐標將不唯一． (2)在與曲線的方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，要注意轉化的等價性． (1)在極坐標系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲線ρ＝2sin θ與ρcos θ＝－1的交點的極坐標為________． (2)在極坐標系中，曲線C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個交點在極軸上，則a＝________. 答案　(1)(，)(填(－，)亦可)　(2) 解析　(1)ρ＝2sin θ代入ρcos θ＝－1可得2sin θcos θ＝－1，即2θ＝或2θ＝，解得或 又(，)與(－，)為同一點，故二者可以任填一個． (2)ρ(cos θ＋sin θ)＝1， 即ρcos θ＋ρsin θ＝1對應的普通方程為x＋y－1＝0， ρ＝a(a>0)對應的普通方程為x2＋y2＝a2. 在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝. 將代入x2＋y2＝a2得a＝. 熱點二　參數(shù)方程與普通方程的互化 例2　已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，P是橢圓＋y2＝1上的任意一點，則點P到直線l的距離的最大值為________． 答案　 解析　由于直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 故直線l的普通方程為x＋2y＝0. 因為P為橢圓＋y2＝1上的任意一點， 故可設P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R. 因此點P到直線l的距離是d＝ ＝. 所以當θ＝kπ＋，k∈Z時，d取得最大值. 思維升華　參數(shù)方程化為普通方程，主要用“消元法”消參，常用代入法、加減消元法、利用三角恒等式消元等．在參數(shù)方程化為普通方程時，要注意保持同解變形． (xx廣東)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，C在點(1,1)處的切線為l，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則l的極坐標方程為________． 答案　ρcos θ＋ρsin θ－2＝0 解析　由(t為參數(shù))，得曲線C的普通方程為x2＋y2＝2.則在點(1,1)處的切線l的方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴l(xiāng)的極坐標方程為ρcos θ＋ρsin θ－2＝0. 熱點三　極坐標與參數(shù)方程的綜合應用 例3　在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． M是C1上的動點，P點滿足＝2，點P的軌跡為曲線C2. (1)C2的參數(shù)方程為________； (2)在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線θ＝與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，則|AB|＝________. 答案　(1)(α為參數(shù))　(2)2 解析　(1)設P(x，y)，則由條件知M.由于M點在C1上， 所以即 從而C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù)) (2)曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sin θ，曲線C2的極坐標方程為ρ＝8sin θ. 射線θ＝與C1的交點A的極徑為ρ1＝4sin ， 射線θ＝與C2的交點B的極徑為ρ2＝8sin. 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2. 思維升華　(1)曲線參數(shù)方程有很多優(yōu)點： ①曲線上任一點坐標都可用一個參數(shù)表示，變元只有一個．特別對于圓、橢圓、雙曲線有很大用處． ②很多參數(shù)都有實際意義，解決問題更方便．比如： 直線參數(shù)方程(α為傾斜角，t為參數(shù))，其中|t|＝|PM|，P(x，y)為動點，M(x0，y0)為定點． (2)求兩點間距離時，用極坐標也比較方便，這兩點與原點共線時，距離為|ρ1－ρ2|，這兩點與原點不共線時，用余弦定理求解．無論哪種情形，用數(shù)形結合的方法易得解題思路． (1)(xx湖北)在直角坐標系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)，a>b>0)，在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標方程分別為ρsin(θ＋)＝m(m為非零常數(shù))與ρ＝b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為________． 答案　 解析　橢圓C的標準方程為＋＝1，直線l的標準方程為x＋y＝m，圓O的方程為x2＋y2＝b2， 由題意知， ∴a2－b2＝2b2，a2＝3b2， ∴e＝＝＝＝. (2)在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，曲線C2的極坐標方程為ρ(cos θ＋sin θ)＝1，若曲線C1與C2相交于A、B兩點． ①|AB|的值為________； ②點M(－1,2)到A、B兩點的距離之積為________． 答案　①?、? 解析?、儆汕€C1的參數(shù)方程可得曲線C1的普通方程為y＝x2(x≠0)， 由曲線C2的極坐標方程可得曲線C2的直角坐標方程為x＋y－1＝0，則曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，將其代入曲線C1的普通方程得t2＋t－2＝0， 設A、B兩點對應的參數(shù)分別為t1、t2， 則t1＋t2＝－，t1t2＝－2， 所以|AB|＝|t1－t2| ＝＝. ②由①可得|MA||MB|＝|t1t2|＝2. 1．主要題型有極坐標方程、參數(shù)方程和普通方程的互化，在極坐標方程或參數(shù)方程背景下的直線與圓的相關問題． 2．規(guī)律方法 方程解決直線、圓和圓錐曲線的有關問題，將極坐標方程化為直角坐標方程或將參數(shù)方程化為普通方程，有助于對方程所表示的曲線的認識，從而達到化陌生為熟悉的 目的，這是化歸與轉化思想的應用．在涉及圓、橢圓的有關最值問題時，若能將動點的坐標用參數(shù)表示出來，借助相應的參數(shù)方程，可以有效地簡化運算，從而提高解題的速度． 3．極坐標方程與普通方程互化核心公式 ，. 4．過點A(ρ0，θ0) 傾斜角為α的直線方程為ρ＝.特別地，①過點A(a,0)，垂直于極軸的直線l的極坐標方程為ρcos θ＝a.②平行于極軸且過點A(b，)的直線l的極坐標方程為ρsin θ＝b. 5．圓心在點A(ρ0，θ0)，半徑為r的圓的方程為r2＝ρ2＋ρ－2ρρ0cos(θ－θ0)． 6．重點掌握直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))，理解參數(shù)t的幾何意義. 真題感悟 1．(xx陜西)在極坐標系中，點(2，)到直線ρsin(θ－)＝1的距離是________． 答案　1 解析　點(2，)化為直角坐標為(，1)，直線ρsin(θ－)＝1化為ρ(sin θ－cos θ)＝1， y－x＝1，x－y＋1＝0，點(，1)到直線x－y＋1＝0的距離為＝1. 2．(xx江蘇)在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，線段AB的長為________． 答案　8 解析　將直線l的參數(shù)方程 代入拋物線方程y2＝4x， 得2＝4， 解得t1＝0，t2＝－8. 所以AB＝|t1－t2|＝8. 押題精練 1．在直角坐標系中圓C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))，若以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則圓C的極坐標方程為__________． 答案　ρ＝4sin θ 解析　由參數(shù)方程消去α得圓C的方程為x2＋(y－2)2＝4，將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ. 2．已知極坐標系的極點在平面直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同．直線l的極坐標方程為ρ＝，點P(1＋cos α，sin α)，參數(shù)α∈[0,2π)． (1)點P軌跡的直角坐標方程為________； (2)點P到直線l距離的最小值為________． 答案　(1)(x－1)2＋y2＝1　(2)4－1 解析　(1)由 得點P的軌跡方程(x－1)2＋y2＝1. (2)由ρ＝，得ρ＝， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝9. ∴曲線C的直角坐標方程為x＋y＝9. 圓(x－1)2＋y2＝1的圓心(1,0)到直線x＋y＝9的距離為4， 所以|PQ|min＝4－1. (推薦時間：40分鐘) 1．(xx安徽改編)以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程是ρ＝4cos θ，則直線l被圓C截得的弦長為________． 答案　2 解析　直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為直角坐標方程是y＝x－4，圓C的極坐標方程ρ＝4cos θ化為直角坐標方程是x2＋y2－4x＝0.圓C的圓心(2,0)到直線x－y－4＝0的距離為d＝＝.又圓C的半徑r＝2，因此直線l被圓C截得的弦長為2＝2. 2．圓心為C(3，)，半徑為3的圓的極坐標方程為________． 答案　ρ＝6cos(θ－) 解析　設極點為O，M(ρ，θ)為圓上任意一點，過OC的直線與圓交于另一點O′，直角三角形OMO′中，ρ＝6cos|θ－|，即ρ＝6cos(θ－)． 3．已知點M的極坐標為(6，)，則點M關于y軸對稱的點的直角坐標為________． 答案　(－3，－3) 解析　點M的直角坐標為x＝ρcos θ＝6cos π＝3，y＝ρsin θ＝6sin π＝－3. 即M(3，－3)，所以它關于y軸對稱的點為(－3，－3)． 4．直線ρcos θ＝2關于直線θ＝對稱的直線的極坐標方程為________． 答案　ρsin θ＝2 解析　直線ρcos θ＝2的直角坐標方程為x＝2， 直線θ＝的直角坐標方程為y＝x， 所以所求的直線方程為y＝2. 其極坐標方程為ρsin θ＝2. 5．若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線的傾斜角為________． 答案　150 解析　由直線的參數(shù)方程知，斜率k＝＝＝－＝tan θ，θ為直線的傾斜角，所以該直線的傾斜角為150. 6．將參數(shù)方程(0≤t≤5)化為普通方程為________________． 答案　x－3y－5＝0，x∈[2,77] 解析　化為普通方程為x＝3(y＋1)＋2， 即x－3y－5＝0， 由于x＝3t2＋2∈[2,77]， 故曲線為線段． 7．(xx陜西)直線2ρcos θ＝1與圓ρ＝2cos θ相交的弦長為________． 答案　 解析　直線2ρcos θ＝1可化為2x＝1，即x＝； 圓ρ＝2cos θ兩邊同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ， 化為直角坐標方程是x2＋y2＝2x. 將x＝代入x2＋y2＝2x得y2＝，∴y＝. ∴弦長為2＝. 8．已知曲線C：(參數(shù)θ∈R)經(jīng)過點(m，)，則m＝________. 答案　 解析　將曲線C：(參數(shù)θ∈R)化為普通方程為x2＋＝1，將點(m，)代入該橢圓方程，得m2＋＝1，即m2＝，所以m＝. 9．(xx重慶)在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若極坐標方程為ρcos θ＝4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點，則|AB|＝________. 答案　16 解析　將極坐標方程ρcos θ＝4化為直角坐標方程得x＝4，將x＝4代入得t＝2，從而y＝8.所以A(4,8)，B(4，－8)．所以|AB|＝|8－(－8)|＝16. 10．(xx天津)已知拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中p>0，焦點為F，準線為l.過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為E.若|EF|＝|MF|，點M的橫坐標是3，則p＝________. 答案　2 解析　根據(jù)拋物線的參數(shù)方程可知拋物線的標準方程是y2＝2px， 所以y＝6p，所以E，F(xiàn)， 所以＋3＝， 所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(負值舍去)． 11．已知曲線C：(θ為參數(shù))和直線l：(t為參數(shù)，b為實數(shù))，若曲線C上恰有3個點到直線l的距離等于1，則b＝________. 答案　 解析　將曲線C和直線l的參數(shù)方程分別化為普通方程為x2＋y2＝4和y＝x＋b，依題意，若要使圓上有3個點到直線l的距離為1，只要滿足圓心到直線的距離為1即可，得到＝1，解得b＝. 12．已知曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sin θ，曲線C2的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，曲線C1，C2相交于點M，N，則線段MN的長為________． 答案　2 解析　由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ， 即曲線C1的直角坐標方程為x2＋y2－4y＝0， 由θ＝(ρ∈R)得，曲線C2的直角坐標方程為y＝x. 把y＝x代入x2＋y2－4y＝0， 得x2＋x2－x＝0，即x2－x＝0， 解得x1＝0，x2＝， ∴y1＝0，y2＝1. ∴|MN|＝＝2. 即線段MN的長為2. 13．在極坐標系中，直線ρsin＝與圓ρ＝2cos θ的位置關系是________． 答案　相離 解析　直線的直角坐標方程為x－y＋1＝0，圓的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1，圓心為C(1,0)，半徑為r＝1，圓心到直線的距離d＝＝>1.故直線與圓相離． 14．已知極坐標系中，極點為O，將點A繞極點逆時針旋轉得到點B，且OA＝OB，則點B的直角坐標為______________． 答案　(－，＋) 解析　依題意，點B的極坐標為， ∵cos ＝cos ＝cos cos －sin sin ＝－＝， sin ＝sin ＝sin cos ＋cos sin ＝＋＝， ∴x＝ρcos θ＝4＝－， y＝ρsin θ＝4＝＋. 15．(xx遼寧改編)在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．圓C1，直線C2的極坐標方程分別為ρ＝4sin θ，ρcos＝2. (1)C1與C2交點的極坐標為________； (2)設P為C1的圓心，Q為C1與C2交點連線的中點．已知直線PQ的參數(shù)方程為(t∈R為參數(shù))，則a，b的值分別為________． 答案　(1)，　(2)－1,2 解析　(1)圓C1的直角坐標方程為x2＋(y－2)2＝4， 直線C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0. 解得 所以C1與C2交點的極坐標為，， 注：極坐標系下點的表示不唯一． (2)由(1)可得，P點與Q點的直角坐標分別為(0,2)，(1,3)． 故直線PQ的直角坐標方程為x－y＋2＝0， 由參數(shù)方程可得y＝x－＋1， 所以 解得a＝－1，b＝2.