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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 圓錐曲線 第64課 雙曲線及其標準方程 文（含解析） 1．雙曲線的定義 平面內(nèi)動點與兩個定點，的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于)的點的軌跡叫雙曲線． 這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫雙曲線的焦距． 若點滿足，，其中、為常數(shù)且 ， (1)當時，點的軌跡是雙曲線； (2)當時，點的軌跡是兩條射線； (3)當時，點不存在． 練習(xí)：（1）已知、，點動滿足，則動點的軌跡是（ ） A.雙曲線 B.雙曲線的含著的一支 C. 雙曲線的含著的一支 D.一條射線 答案：選C （2）已知、，點動滿足，則動點的軌跡是（ ） A.雙曲線的一支 B.兩條射線 C. 一條射線 D. 線段 答案：選C 2．雙曲線的標準方程及性質(zhì) 圖形 標準方程 焦點在坐標軸上時的方程 焦點 ， ， a、b、c的關(guān)系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 【例1】設(shè)過雙曲線左焦點F1的直線交雙曲線的左支于點，，為雙曲線的右焦點．若，則的周長為(　　) A．19　　　　　　B．26 C．43 D．50 【解析】　(1)如圖，由雙曲線的定義 可得，將兩式相加得， ∴的周長為 【變式】設(shè)為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)，，則． 又∵，∴ ， ∴ 是直角三角形．∴． 【例2】已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為________． 【解析】橢圓的焦點坐標為，，離心率為. 由于雙曲線與橢圓有相同的焦點，因此. 又雙曲線的離心率，所以＝， 所以，，故雙曲線的方程為. 【變式】求適合下列條件的雙曲線的標準方程： （1）已知焦點，雙曲線上的一點到的距離差的絕對值等于； （2）與雙曲線有公共焦點，且過點． 【解析】（1）設(shè)雙曲線的方程為， ∵，∴．∴所求雙曲線的方程為． （2）設(shè)雙曲線方程為，則 ，且過點， ∴所求雙曲線的方程為． 【例3】（1）雙曲線的實軸長是虛軸長的2倍,則等于 （2）若方程表示雙曲線，則的取值范圍是 【解析】（1）∵雙曲線的實軸長是虛軸長的2倍,∴，． （2）∵，∴． 【變式】（1）若方程表示雙曲線，則的取值范圍是 （2）若方程表示橢圓，則的取值范圍是 （3）若方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是 （4）若方程表示圓，則的值是 【解析】（1）∵，∴（2）∵，∴且 （3）（4）∵ 第64課 雙曲線及其標準方程的課后作業(yè) 1.雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵雙曲線標準方程為∴，∴． 2.設(shè)、分別是雙曲線的左、右焦點．若點P在雙曲線上，且，則 (　　) A．5 B．3 C．7 D．3或7 【解析】由已知，得||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF2|＝7或3.故選D. 3．已知、，，則動點的軌跡是(　　) A．雙曲線 B．雙曲線左邊一支 C．雙曲線右邊一支 D．一條射線 【解析】因為，由雙曲線定義知，其軌跡為雙曲線的一支，又因為，所以點的軌跡為雙曲線的右支．故選C. 4. 雙曲線的實軸長是虛軸長的2倍,則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵雙曲線的實軸長是虛軸長的2倍,∴，． 5. 若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ 6. 在平面直角坐標系中，若雙曲線的焦距為，則________. 【解析】因為為雙曲線，所以，焦點在軸。 ，，， 又雙曲線的焦距為8， ，即 解得或 (舍)．答案：3 7. 過雙曲線的左焦點F1有一條弦在左支上，若，是雙曲線的右焦點，則的周長等于____________． 【解析】雙曲線化為， 由已知，得，兩式相加，得 ，， 所以的周長是 8.根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程： （1）雙曲線的一個焦點與圓的圓心重合,離心率等于 （2）雙曲線的焦點是橢圓的長軸上的兩個頂點，且過點 【解析】（1）由已知圓心坐標為,雙曲線的一個焦點為 設(shè)雙曲線的標準方程為，則 ，又，∴， ∴雙曲線的標準方程為. （2）橢圓的標準方程，橢圓的長軸上的頂點為， 雙曲線的焦點是，，設(shè)標準方程為， 則，所以雙曲線橢圓的標準方程 9. 已知雙曲線的兩個焦點為、，是此雙曲線上的一點，且滿足，，求該雙曲線的方程 【解析】設(shè)雙曲線標準方程為，設(shè)，，則 ∵ ，． ∴ 化簡得，∴ ，， ∴所求的雙曲線方程是． 10. 已知過點作直線交雙曲線于、兩點， 并且點為線段的中點，求直線的方程 【解析】法1.當直線的斜率不存在時，直線，不滿足條件； 當直線的斜率存在時，設(shè)直線 由消去，得 解得且 設(shè)、，則 為線段的中點，，即，解得 所以直線的方程為，即 法2. 設(shè)、，則 由①－②，得 為線段的中點，， ，即 所以直線的方程為，即