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2019-2020年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 展開與折疊 教案 北師大版 教學(xué)目標(biāo)： (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1．通過充分的實(shí)踐，使學(xué)生能將一個(gè)正方體的表面沿某些棱剪開，展成一個(gè)平面圖形. 2．了解圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖，能根據(jù)展開圖判斷和制作簡單的立體圖形. (二)能力訓(xùn)練要求 經(jīng)歷展開與折疊、模型制作等活動(dòng)，發(fā)展空間觀念，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). (三)情感與價(jià)值觀要求 讓學(xué)生充分經(jīng)歷實(shí)踐、探索、交流，獲得成功的體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)科學(xué)探索精神. 教學(xué)重點(diǎn)： 1．將一個(gè)正方體的表面沿某些棱展開，展成平面圖形. 2．圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖. 教學(xué)難點(diǎn)：鼓勵(lì)學(xué)生盡可能多地將一個(gè)正方體展成平面圖形，并用語言描述其過程. 教學(xué)方法：學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐法. 教具準(zhǔn)備：多媒體課件 教學(xué)過程： Ⅰ.提出問題，引入新課 在課本第十頁習(xí)題1.3中，第1題和第2題都可以根據(jù)所給的圖形折疊成六棱柱、三棱柱以及四棱柱，但如果給出一個(gè)幾何體，例如我們最熟知的正方體如果沿某些棱剪開，會(huì)得到什么樣的平面圖形？這樣的平面圖形有多少種呢？ Ⅱ．講授新課 ［師］將正方體展成一個(gè)平面圖形，是指正方形的六個(gè)面展開后所成的六個(gè)正方形中的每一個(gè)至少有一條邊與其他的正方形的某條邊重合即相連. 下面我就將這些紙板做的正方體分發(fā)到每個(gè)組，以組為單位，按上面的要求將正方體的表面展成平面圖形，并在全班展示你們的作品，用語言描述你是如何將一個(gè)正方體表面展成平面圖形的. ［提示］首先，學(xué)生先進(jìn)行想像，然后動(dòng)手操作嘗試.在操作過程中應(yīng)思考如下幾個(gè)問題： 1.你是如何剪的？ 2.下一步該如何辦？ 3.這樣剪行嗎？ 學(xué)生分組按上面的方法來共同實(shí)踐、探索交流.教師可加入到學(xué)生思考、實(shí)踐、探索、交流的過程中，從而發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的閃光點(diǎn)，并鼓勵(lì)每個(gè)組的同學(xué)大膽將自己思考、探索的結(jié)果展示給大家. ［生］我們都知道，正方體有6個(gè)面，12條棱，如果把它展成平面圖形，6個(gè)正方形中的每一個(gè)正方形至少有一邊與其他正方形相連.因此，我們從它的上底面入手，先將上底面中的四條棱中剪開三條，然后沿著和連著的棱有公共點(diǎn)的側(cè)棱順次剪下去，到達(dá)下底面，然后再將下底面的四條棱中剪開三條，便可得到正方體的平面展開圖. 如圖，我們給正方體的12條棱進(jìn)行編號(hào).如果沿著棱②→③→④→⑤→→→⑩剪開，我們就得到展開圖(1)；如果沿著②→③→④→⑤→⑨→⑩→展開，就得到展開圖(2)；如果沿著②→③→④→⑤→ ↘ ⑨→⑩展開就得到圖(3)；如果沿著②→③→④→⑤→→ ↘ ⑨展開，就可得到圖(4). ［師］這位同學(xué)的方法，說明他很愛動(dòng)腦子，抓住了正方體展成平面圖形的特點(diǎn)，即六個(gè)正方形中每個(gè)正方形至少有一邊與其他正方形相連的特點(diǎn)，很好. ［生］老師，剛才的展開圖，都是沿著和邊④有公共點(diǎn)的邊⑤剪開的，如果沿著和邊④也有公共點(diǎn)的邊⑥剪開后，好像和以上四種展開圖差不多. ［師］是的，如果沿⑥繼續(xù)剪開，正方體的平面展開圖經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，平移等都可以得到以上四種展開圖，因此，我們?cè)诖瞬豢紤]由于旋轉(zhuǎn)等造成的相對(duì)位置不同，將這種展開方式歸于前面一類. ［生］老師，我又發(fā)現(xiàn)同樣將上底面的②→③→④這三條棱展開，但接下來不沿著和①有公共點(diǎn)的棱⑤剪，而是沿著和①無公共點(diǎn)的側(cè)棱⑦或⑧繼續(xù)剪至下底面的三條棱，便可得到如下兩個(gè)平面展開圖(圖(5)、圖(6)) ［師］我們可以觀察以上六個(gè)立方體的平面展開圖，它們有規(guī)律可尋找嗎？ ［生］老師，我覺得這六個(gè)平面展開圖有共同的特性，中間連排的四個(gè)正方形恰好是正方體的側(cè)面，而分布側(cè)面兩邊的兩個(gè)正方形無論和四個(gè)側(cè)面中的哪一個(gè)相連，都能是正方體的平面展開圖. ［師］這位同學(xué)總結(jié)的太棒了.接下來，同學(xué)們可以看一個(gè)例題. ［例1］將下圖中左邊的圖形折疊起來圍成一個(gè)正方體，應(yīng)該得到右圖中的( )，先想一想，再做一做. 分析：由平面展開圖可知，“”所在的正方形和“○”所在的正方形是相對(duì)的兩個(gè)面；而“”所在的正方形和“”所在的正方形是相鄰的兩個(gè)面，因此A、B都不正確.而“”所在的正方形應(yīng)和“”所在的正方形是相鄰的兩個(gè)面，因此C也是不正確的，故應(yīng)選D. 答案：D ［師］是不是立方體的平面展開圖只有六種呢？同學(xué)們可以打開書看課本第十一頁的“做一做”的圖1—5的第2個(gè)圖，你能設(shè)法得到它嗎？同學(xué)們可以繼續(xù)在小組中討論、交流. ［生］可以得到.我們還像前面那樣給正方體的每條棱做同樣的編號(hào)，如果沿著②→③→④剪開后，再分別沿著⑥→⑨→和⑦剪開，便可得到展開圖(7).類似的還可以得到圖(8)、(9). ［生］老師，我還有一種展開的方法，剛才好幾位同學(xué)的展開圖中，都是側(cè)面的三個(gè)或四個(gè)正方形相連，如果讓他們兩個(gè)兩個(gè)相連結(jié)果會(huì)如何呢？我剪了六個(gè)同樣大小的正方形作為正方體的六個(gè)面，我將這六個(gè)面擺成下面兩個(gè)圖的情形，如圖(10)、(11)，然后將它們折疊，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這六個(gè)面圍成了一個(gè)正方體. ［生］我們組也發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)圖能折疊成一個(gè)正方體，而且我們還親自做了實(shí)驗(yàn)，正方體能夠展成上面的平面圖.只要沿著②→③→④剪開后，再分別沿⑤→和⑦以及⑨剪開便可得到圖(10). ［師］大家的想法很妙，能夠用逆向思維的方法來處理手中的問題，很了不起. ［生］我們組得到了展開圖. ［師］快告訴大家吧，怎么展開的. ［生］沿著②→③→④剪開后，再將⑥→⑩→和⑤剪開， 便得到展開圖. ［師］同學(xué)們用了逆向思維的方法先假設(shè)正方體的平面展開圖為?、?，然后再動(dòng)手試驗(yàn).大家來看下面一個(gè)問題：如圖(12)，這個(gè)平面圖形經(jīng)過折疊后能否圍成一個(gè)正方體. (經(jīng)過一番思考、討論) ［生］我覺得不能，因?yàn)榘岩粋€(gè)正方體展開后6個(gè)正方形的每一個(gè)正方形至少有一邊與其他正方形的某邊重合，在這個(gè)圖中，雖然滿足了上面的要求，但右上角的正方形和相鄰的三個(gè)正方形相連的情形是無法折疊起來的，因此不能圍成一個(gè)正方體. ［師］是不是這樣.我們可以用手中的圖形操作一下. ［生］是這樣的. ［師］那么，老師就有這樣一個(gè)問題：將正方體的某些棱剪開，展成一個(gè)平面圖形，需要剪開幾條棱呢？ (學(xué)生經(jīng)過小組討論，交流后回答) ［生］需要剪開7條棱，由于正方體有12條棱，6個(gè)面，將其表面展成一個(gè)平面圖形，其面與面之間相連的棱(即未剪開的棱)有5條，因此需剪開7條棱. ［生］正方體的平面展開圖，我們已經(jīng)研究出十一種.還有沒有其他的？其他的常見幾何體如圓柱、圓錐有平面展開圖嗎？ (小組繼續(xù)討論該同學(xué)提出的問題) ［生］正方體的平面展開圖沒有其他的，不考慮由 于旋轉(zhuǎn)等相對(duì)位置不同的平面展開圖就這十一種.我 認(rèn)為圓柱、圓錐也有平面展開圖，如圓柱可展成圖 (13)，圓錐可展成圖(14). ［師］回答的很好.你比老師的想像要豐富得多.如果 要是只展開圓柱和圓錐的側(cè)面，會(huì)得到什么圖形呢？同學(xué)們打開課本第十一頁，我們一起來完成“想一想”. (讓學(xué)生按參考書上圖猜想一下，如果按虛線剪開，這里的虛線其實(shí)是母線，沒必要給學(xué)生介紹，但要告訴學(xué)生必須沿母線剪開)將圖形展開，會(huì)得到什么圖形；然后操作，老師在和同學(xué)做時(shí)，要加以指導(dǎo)，最后得出結(jié)論：圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖分別是長方形和扇形. Ⅲ.課堂練習(xí) 左圖是正方體的表面展開圖，如果將其合成原來的正方體(右圖)時(shí)，與點(diǎn)P重合的兩點(diǎn)應(yīng)該是( ) A.S和Z B.T和Y C.U和Y D.T和V 分析：由正方體的平面展開圖， 經(jīng)過折疊后(如右圖所示)的正方體， 正方形R－O－U－X作為背面，則O－X－Y－Z是底面，S－T－U－R成為上面，則剩余的三個(gè)面即為三個(gè)側(cè)面，折疊過來后，P剛好與T和V重合.因此應(yīng)選D. 答案：D Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 1.經(jīng)過動(dòng)手操作，得到了關(guān)于正方體的十一種形式的平面展開圖，發(fā)展了我們的空間觀念和語言表達(dá)能力. 2.通過想像和操作，得到了圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖. Ⅴ．課后作業(yè) 1.課本習(xí)題1.4及試一試. 2.預(yù)習(xí)1.3截一個(gè)幾何體，準(zhǔn)備橡皮泥和小刀. Ⅵ.活動(dòng)與探究 將正方體的表面沿某些棱剪開，展開，在一個(gè)平面內(nèi)有多少種不同的展開圖？(旋轉(zhuǎn)或翻折后相同的圖形算一種) ［過程］課堂上已對(duì)正方體的平面展開圖做過討論、研究，但是否它的平面展開圖就此十一種，并沒有給出一個(gè)最終的結(jié)果，通過課外繼續(xù)探討，可以更好地鍛煉學(xué)生的空間觀念和探求科學(xué)的精神. ［結(jié)果］共十一種.