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數學物理方程與特殊函數,☆課程的內容,三種方程、四種求解方法、二個特殊函數,分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數法,波動方程、熱傳導、拉普拉斯方程,貝賽爾函數、勒讓德函數,☆數學物理方程定義,描述某種物理現象的數學微分方程。,,,,一、基本方程的建立,第一章一些典型方程和定解條件的推導,二、定解條件的推導,三、定解問題的概念,一、基本方程的建立,條件：均勻柔軟的細弦，在平衡位置附近產生振幅極小的橫振動。不受外力影響。,例1、弦的振動,簡化假設：,(2)振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。,(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向。,牛頓運動定律：,橫向：,縱向：,其中：,,,,,,,其中：,,其中：,,,,,………一維波動方程,令：,,------非齊次方程,自由項,------齊次方程,忽略重力作用：,從麥克斯韋方程出發(fā)：,在自由空間：,,,,例2、時變電磁場,對第一方程兩邊取旋度，,根據矢量運算：,由此得：,得：,,,拉普拉斯算子：,,同理可得：,——電場的三維波動方程,——磁場的三維波動方程,例3、靜電場,電勢u,確定所要研究的物理量：,根據物理規(guī)律建立微分方程：,對方程進行化簡：,拉普拉斯方程(無源場),泊松方程,例4、熱傳導,所要研究的物理量：,溫度,根據熱學中的傅里葉實驗定律,在dt時間內從dS流入V的熱量為：,,從時刻t1到t2通過S流入V的熱量為,高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分）,熱傳導現象：當導熱介質中各點的溫度分布不均勻時，有熱量從高溫處流向低溫處。,,,,流入的熱量導致V內的溫度發(fā)生變化,,,,,,流入的熱量：,?,溫度發(fā)生變化需要的熱量為：,熱傳導方程,穩(wěn)恒溫度場：,有熱源：,有界桿上的熱傳導（桿的兩端絕熱）,,同一類物理現象中，各個具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個性。,初始條件：能夠用來說明某一具體物理現象初始狀態(tài)的條件。,邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現象邊界上的約束情況的條件。,二、定解條件的推導,其他條件：能夠用來說明某一具體物理現象情況的條件。,初始時刻的溫度分布：,B、熱傳導方程的初始條件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件,描述穩(wěn)恒狀態(tài)，與初始狀態(tài)無關，不含初始條件,A、波動方程的初始條件,1、初始條件——描述系統的初始狀態(tài),系統各點的初位移系統各點的初速度,(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。,2、邊界條件——描述系統在邊界上的狀況,A、波動方程的邊界條件,(1)固定端：對于兩端固定的弦的橫振動，其為：,或：,(3)彈性支承端：在x=a端受到彈性系數為k的彈簧支承。,或,B、熱傳導方程的邊界條件,(1)給定溫度在邊界上的值,S——給定區(qū)域v的邊界,(2)絕熱狀態(tài),(3)熱交換狀態(tài),牛頓冷卻定律：單位時間內從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。,熱交換系數；周圍介質的溫度,,第一類邊界條件,第二類邊界條件,第三類邊界條件,1、定解問題,三、定解問題的概念,(1)初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2)邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3)混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。,把某種物理現象滿足的偏微分方程和其相應的定解條件結合在一起，就構成了一個定解問題。,定解問題的檢驗,解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動時，解是否有相應的微小變動。,,,,,,,,,3、線性偏微分方程的分類按未知函數及其導數的系數是否變化分為常系數和變系數微分方程按自由項是否為零分為齊次方程和非齊次方程,2、微分方程一般分類,(1)按自變量的個數，分為二元和多元方程；(2)按未知函數及其導數是否線性，分為線性微分方程和非線性微分方程；(3)按方程中未知函數導數的最高階數，分為一階、二階和高階微分方程。,線性方程的解具有疊加特性,4、疊加原理,,幾種不同的原因的綜合所產生的效果等于這些不同原因單獨產生的效果的累加。(物理上),判斷下列方程的類型,思考,5、微分方程的解,古典解：如果將某個函數u代入偏微分方程中，能使方程成為恒等式，則這個函數就是該偏微分方程的解。,形式解：未經過驗證的解為形式解。,6、求解方法,分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數法,