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2019年高中數(shù)學(xué) 綜合檢測(cè)試題 新人教A版選修2-3 一、選擇題(每小題5分,共60分) 1.現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張.不同取法的種數(shù)為(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.232 B.252 C.472 D.484 答案:C 解析:完成這件事可分為兩類,第一類3張卡片顏色各不相同共有=256種;第二類3張卡片有兩張同色且不是紅色卡片共有=216種,由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有472種,故選C. 2.(xx重慶高考)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是(　　). A.72 B.120 C.144 D.168 答案:B 解析:解決該問(wèn)題分為兩類:第一類分兩步,先排歌舞類,然后利用插空法將剩余3個(gè)節(jié)目排入左邊或右邊3個(gè)空,故不同排法有2=72.第二類也分兩步,先排歌舞類,然后將剩余3個(gè)節(jié)目放入中間兩空排法有,故不同的排法有=48,故共有120種不同的排法,故選B. 3.(x2+2)的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是(　　). A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案:D 解析:的通項(xiàng)為Tr+1=(-1)r=(-1)rx2r-10.要使(x2+2)的展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng),須令2r-10=-2或0,此時(shí)r=4或5.故(x2+2)的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是(-1)4+2(-1)5=3. 4.小明同學(xué)在網(wǎng)易上申請(qǐng)了一個(gè)電子信箱,密碼由4位數(shù)字組成,現(xiàn)在小明只記得密碼是由2個(gè)6,1個(gè)3,1個(gè)9組成,但忘記了它們的順序.那么小明試著輸入由這樣4個(gè)數(shù)組成的一個(gè)密碼,則他恰好能輸入正確進(jìn)入郵箱的概率是(　　). A. B. C. D. 答案:C 解析:由2個(gè)6,1個(gè)3,1個(gè)9這4個(gè)數(shù)字一共可以組成=12種不同的密碼順序,因此小明試著輸入由這樣4個(gè)數(shù)組成的一個(gè)密碼,他恰好能輸入正確進(jìn)入郵箱的概率是P=. 5.將三顆骰子各擲一次,設(shè)事件A=“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”,B=“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”,則概率P(A|B)等于(　　). A. B. C. D. 答案:A 解析:P(B)=1-P()=1-, P(AB)=, 故P(A|B)=. 6.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,X~B,則P(X=2)等于(　　). A. B. C. D. 答案:D 解析:P(X=2)=. 7.6個(gè)電子產(chǎn)品中有2個(gè)次品,4個(gè)合格品,每次從中任取一個(gè)測(cè)試,測(cè)試完后不放回,直到兩個(gè)次品都找到為止,那么測(cè)試次數(shù)X的均值為(　　). A. B. C. D. 答案:D 解析:測(cè)試次數(shù)X為隨機(jī)變量,其可能的取值為2,3,4,5,6,其分布列如下: X 2 3 4 5 6 P ∴E(X)=2+3+4+5+6. 8.某次語(yǔ)文考試中考生的分?jǐn)?shù)X~N(80,100),則分?jǐn)?shù)在60~100分的考生占總考生數(shù)的百分比是(　　). A.68.26% B.95.44% C.99.74% D.31.74% 答案:B 解析:由題意得μ=80,σ=10,μ-2σ=60,μ+2σ=100, 故60~100分之間的考生占總考生數(shù)的百分比是95.44%. 9.已知x,y之間的一組數(shù)據(jù) x 1.08 1.12 1.19 1.28 y 2.25 2.37 2.40 2.55 x與y之間的線性回歸方程x必過(guò)(　　). A.(0,0) B.(1.167 5,0) C.(0,2.392 5) D.(1.167 5,2.392 5) 答案:D 解析:回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)(). ∵=1.167 5,=2.392 5, ∴x必過(guò)點(diǎn)(1.167 5,2.392 5). 10.已知(x+)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,則(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2的值為 (　　). A.0 B.1 C.-1 D.2 答案:B 解析:令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=(1+)10. 令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…-a9+a10=(-1)10. ∴(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2 =(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+…+a8-a9+a10) =(1+)10(1-)10=1. 11.通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng),得到如下的列聯(lián)表: 男 女 總計(jì) 愛(ài)好 40 20 60 不愛(ài)好 20 30 50 總計(jì) 60 50 110 由K2=算得,K2=≈7.8. 附表: P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 參照附表,得到的正確結(jié)論是(　　). A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)” C.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” D.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)” 答案:C 解析:∵K2≈7.8>6.635,∴有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”,即犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%. 12.拋一枚均勻硬幣,正反面出現(xiàn)的概率都是,反復(fù)這樣投擲,數(shù)列{an}定義如下:an=若Sn=a1+a2+…+an(n∈N*),則事件“S8=2”的概率,事件“S2≠0,S8=2”的概率分別是(　　). A. B. C. D. 答案:B 解析:根據(jù)定義事件“S8=2”是指8次投擲中5次正面3次反面,其概率為P=;事件“S2≠0,S8=2”是指:(1)前2次都是正面,后6次中3正3反;(2)前2次都是反面,后6次中5正1反,故其概率為P=. 二、填空題(每小題4分,共16分) 13.5名男性驢友到某旅游風(fēng)景區(qū)游玩,晚上入住一家賓館,賓館有3間客房可選,一間客房為3人間,其余為2人間,則5人入住兩間客房的不同方法有　　　種(用數(shù)字作答). 答案:20 解析:依題可知這5人只能入住一間3人間及一間2人間,第一步先確定在2個(gè)2人間中選擇哪一間有種;第二步確定哪三個(gè)人入住3人間有種,剩下的2人住2人間,故這5人入住兩間空房的不同方法有=20種. 14.(xx大綱全國(guó)高考)的展開(kāi)式中x2y2的系數(shù)為　　　　.(用數(shù)字作答) 答案:70 解析:設(shè)的第r+1項(xiàng)中含有x2y2,則Tr+1=(-1)r, 因此8-r-=2,r-=2,即r=4. 故x2y2的系數(shù)為(-1)4==70. 15.某一部件由三個(gè)電子元件按下圖方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,則部件正常工作.設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位:h)均服從正態(tài)分布N(1 000,502),且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立,那么該部件的使用壽命超過(guò)1 000小時(shí)的概率為　　　　　. 答案: 解析:設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過(guò)1 000小時(shí)的事件分別記為A,B,C,顯然P(A)=P(B)=P(C)=, ∴該部件的使用壽命超過(guò)1 000的事件為(AB+AB)C. ∴該部件的使用壽命超過(guò)1 000小時(shí)的概率為P=. 16.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽,已知在一局比賽中甲隊(duì)獲勝的概率是,沒(méi)有平局,若采用三局兩勝制比賽,即先勝兩局者獲勝且比賽結(jié)束,則甲隊(duì)獲勝的概率等于　　　　. 答案: 解析:甲隊(duì)2∶0獲勝的概率為,甲隊(duì)2∶1獲勝的概率為,故甲隊(duì)獲勝的概率為. 三、解答題(共6小題,共74分) 17.(12分)在研究某種新藥對(duì)小白兔的治療效果時(shí),得到如下數(shù)據(jù): 存活數(shù) 死亡數(shù) 合計(jì) 未用新藥 101 38 139 用新藥 129 20 149 合計(jì) 230 58 288 試分析新藥對(duì)治療小白兔是否有效? 解:由公式計(jì)算得,隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值 k=≈8.658,由于8.658>6.635,故有99%的把握可以判斷新藥對(duì)治療小白兔是有效的. 18.(12分)已知在的展開(kāi)式中,第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是56∶3. (1)求展開(kāi)式中的所有有理項(xiàng); (2)求展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng); (3)求n+9+81+…+9n-1的值. 解:(1)由(-2)4∶(-2)2=56∶3,解得n=10. 因?yàn)橥?xiàng)Tr+1=)10-r=(-2)r, 當(dāng)5-為整數(shù)時(shí),r可取0,6, 于是有理項(xiàng)為T1=x5和T7=13 440. (2)設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值最大,則 解得于是r=7. 所以系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為T8=-15 360. (3)10+9+81+…+910-1 = = =. 19.(12分)在一個(gè)盒子中,放有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的三張卡片,現(xiàn)從這個(gè)盒子中,有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x,y,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x-2,x-y),記ξ=|x-2|+|y-x|. (1)求隨機(jī)變量ξ的最大值,并求事件“ξ取得最大值”的概率; (2)求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解:(1)∵x,y可能的取值為1,2,3, ∴|x-2|≤1,|y-x|≤2. ∴ξ≤3,且當(dāng)x=1,y=3或x=3,y=1時(shí),ξ=3. 因此,隨機(jī)變量ξ的最大值為3. ∵有放回抽兩張卡片的所有情況有33=9種, 故P(ξ=3)=,即事件“ξ取最大值”的概率是. (2)隨機(jī)變量ξ可能取值為0,1,2,3, ∵當(dāng)ξ=0時(shí),x=2,y=2, ∴P(ξ=0)=; ∵當(dāng)ξ=1時(shí),x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3, ∴P(ξ=1)=; ∵當(dāng)ξ=2時(shí),x=1,y=2或x=3,y=2, ∴P(ξ=2)=; 由(2)知P(ξ=3)=, ∴隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0+1+2+3. 20.(12分)假設(shè)關(guān)于某設(shè)備使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)有如下統(tǒng)計(jì)資料: x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由資料知,y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系,試求: (1)回歸直線方程; (2)估計(jì)使用年限為10年時(shí),維修費(fèi)用約是多少? 解:(1)依題列表如下: i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 =4,=5, =90,xiyi=112.3 =1.23. =5-1.234=0.08. ∴回歸直線方程為 =1.23x+0.08. (2)當(dāng)x=10時(shí),=1.2310+0.08=12.38(萬(wàn)元). 即估計(jì)用10年時(shí),維修費(fèi)約為12.38萬(wàn)元. 21.(12分)現(xiàn)在要對(duì)某個(gè)學(xué)校今年將要畢業(yè)的900名高三畢業(yè)生進(jìn)行乙型肝炎病毒檢驗(yàn),可以利用兩種方法.①對(duì)每個(gè)人的血樣分別化驗(yàn),這時(shí)共需要化驗(yàn)900次;②把每個(gè)人的血樣分成兩份,取其中m個(gè)人的血樣各一份混合在一起作為一組進(jìn)行化驗(yàn),結(jié)果為陰性,那么對(duì)這m個(gè)人只需這一次檢驗(yàn)就夠了;結(jié)果為陽(yáng)性,那么再對(duì)這m個(gè)人的另一份血樣逐個(gè)化驗(yàn),這時(shí)對(duì)這m個(gè)人一共需要m+1次檢驗(yàn).據(jù)統(tǒng)計(jì)報(bào)道,對(duì)所有人來(lái)說(shuō),化驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性的概率為0.1. (1)求當(dāng)m=3時(shí),一個(gè)小組經(jīng)過(guò)一次檢驗(yàn)就能確定化驗(yàn)結(jié)果的概率是多少? (2)試比較在第二種方法中,m=4和m=6哪種分組方法所需要的化驗(yàn)次數(shù)更少一些? 解:(1)當(dāng)m=3時(shí),一個(gè)小組有3個(gè)人,經(jīng)過(guò)一次檢驗(yàn)就能確定化驗(yàn)結(jié)果是指經(jīng)過(guò)一次檢驗(yàn),結(jié)果為陰性,所以概率為P=(1-0.1)3=0.729. (2)當(dāng)m=4時(shí),一個(gè)小組有4個(gè)人,這時(shí)每個(gè)人需要檢驗(yàn)的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量η1,其分布列為 η1 P 0.94 1-0.94 所以E(η1)=0.94+(1-0.94)≈0.59; 當(dāng)m=6時(shí),一個(gè)小組有6個(gè)人,這時(shí)需要檢驗(yàn)的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量η2,其分布列為 η2 P 0.96 1-0.96 所以E(η2)=0.96+(1-0.96)≈0.64, 由于E(η2)>E(η1),因此當(dāng)每4個(gè)人一組時(shí)所需要的化驗(yàn)次數(shù)更少一些. 22.(14分)一次小測(cè)驗(yàn)共有3道選擇題和2道填空題,每答對(duì)一道題得20分,答錯(cuò)或不答得0分.某同學(xué)答對(duì)每道選擇題的概率均為0.8,答對(duì)每道填空題的概率均為0.5,各道題答對(duì)與否互不影響. (1)求該同學(xué)恰好答對(duì)2道選擇題和1道填空題的概率; (2)求該同學(xué)至多答對(duì)4道題的概率; (3)若該同學(xué)已經(jīng)答對(duì)了兩道填空題,把他這次測(cè)驗(yàn)的得分記為X,求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望. 解:(1)P=. (2)該同學(xué)至多答對(duì)4道題的概率為1-. (3)X的可能取值為40,60,80,100. P(X=40)=, P(X=60)=, P(X=80)=, P(X=100)=. ∴X的概率分布列為 X 40 60 80 100 P E(X)=40+60+80+100 =88.