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2019-2020年高考數(shù)學一輪復(fù)習 專題1.2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件（講）文（含解析） 【課前小測摸底細】 1. 【課本典型習題】【選修1-1， P5練習第2題改編】 命題“若，則”，則命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中正確命題的個數(shù)是（ ） A．0　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　D．4 【答案】D 2. 【xx高考浙江，文3】設(shè)，是實數(shù)，則“”是“”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】D 3. 【湖北省部分重點中學xx學年度上學期高三起點考試6】直線與圓相交于兩點，則是“△ABO的面積為 ”的（ ）. 充分而不必要條件 必要而不充分條件 充分必要條件 既不充分又不必要條件 【答案】A. 4.【基礎(chǔ)經(jīng)典試題】有下列四個命題（1）若“，則，互為倒數(shù)”的逆命題；（2）“面積相等的三角形全等”的否命題；（3）“若，則有實數(shù)解”的逆否命題；（4）“若AB=B，則”的逆否命題。其中真命題為（ ） A、（1）（2） B、（2）（3） C、（4） D、（1）（3） 【答案】D 5.【改編自吉林市普通高中 xx屆高三畢業(yè)年級摸底考試】已知條件 p : ，條件 q : ,且 q是p 的充分而不必要條件，則 a 的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【考點深度剖析】 高考對命題及其關(guān)系和充分條件、必要條件的考查主要是以小題的形式來考查，由于知識載體豐富，因此題目有一定綜合性，屬于中、低檔題．命題重點主要有兩個：一是考查命題的四種形式以及真假判斷，考查等價轉(zhuǎn)化數(shù)學思想；二是以函數(shù)、方程、不等式、立體幾何線面關(guān)系為背景的充分條件和必要條件的判定以及由充分條件和必要條件探求參數(shù)的取值范圍． 【經(jīng)典例題精析】 考點1四種命題的關(guān)系及真假判斷 【1-1】給出命題：已知實數(shù)滿足，則,它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是（ ） A. 0　　　　　B. 1　　　　　C. 2　　　　　D. 3 【答案】B 【1-2】命題“若都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是（ ） A．若是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù) B．若是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù) C．若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù) D．若不是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù) 【答案】C 【1-3】以下關(guān)于命題的說法正確的有________(填寫所有正確命題的序號)． ①“若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)”是真命題； ②命題“若a＝0，則ab＝0”的否命題是“若a≠0，則ab≠0”； ③命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆命題為真命題； ④命題“若，則”與命題“若，則”等價． 【答案】②④ 【課本回眸】 一．命題的概念 在數(shù)學中把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題． 二．四種命題及其關(guān)系 1．四種命題 命題 表述形式 原命題 若p，則q 逆命題 若q，則p 否命題 若，則 逆否命題 若，則 即：如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，且第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互為逆命題； 如果一個命題的條件和結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個命題叫做互否命題，這個命題叫做原命題的否命題； 如果一個命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定，那么這兩個命題叫做互為逆否命題，這個命題叫做原命題的逆否命題。 2．四種命題間的逆否關(guān)系 3．四種命題的真假關(guān)系 (1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； (2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． 【方法規(guī)律技巧】 1.四種命題反映出命題之間的內(nèi)在聯(lián)系，要注意結(jié)合實際問題，理解其關(guān)系（尤其是兩種等價關(guān)系）的產(chǎn)生過程，關(guān)于逆命題、否命題與逆否命題，也可以敘述為： （1）交換命題的條件和結(jié)論，所得的新命題就是原來命題的逆命題； （2）同時否定命題的條件和結(jié)論，所得的新命題就是原來的否命題； （3）交換命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的新命題就是原命題的逆否命題。 注意：在寫其他三種命題時，大前提必須放在前面。 2.正確的命題要有充分的依據(jù)，不一定正確的命題要舉出反例，這是最基本的數(shù)學思維方式，也是兩種不同的解題方向，有時舉出反例可能比進行推理論證更困難，二者同樣重要． 3. 判斷四種形式的命題真假的基本方法是先判斷原命題的真假，再判斷逆命題的真假，然后根據(jù)等價關(guān)系確定否命題和逆否命題的真假．如果原命題的真假不好判斷，那就首先判斷其逆否命題的真假． 4. 否命題與命題的否定是兩個不同的概念：①否命題是將原命題的條件否定作為條件，將原命題的結(jié)論否定作為結(jié)論構(gòu)造的一個新的命題；②命題的否定只是否定命題的結(jié)論，常用于反證法． 【新題變式探究】 【變式一】命題“若△ABC有一內(nèi)角為，則△ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列”的逆命題(　　) A．與原命題同為假命題 B．與原命題的否命題同為假命題 C．與原命題的逆否命題同為假命題 D．與原命題同為真命題 【答案】D 【變式二】下列命題中為真命題的是(　　) A．命題“若，則”的逆命題 B．命題“，則x2>1”的否命題 C．命題“若x＝1，則”的否命題 D．命題“若，則”的逆否命題 【答案】A 考點2 充分必要條件的判定 【2-1】設(shè),則是的（ ）． A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】 【2-2】【xx高考重慶，文2】“”是“”的（ ） (A) 充要條件 (B) 充分不必要條件 (C)必要不充分條件 (D)既不充分也不必要條件 【答案】A 【2-3】設(shè)為向量。則是的（ ） A .充分不必要條件 B.必要不充分條件 C. 充分必要條件 D.既不充分也必要條件 【答案】Ｃ　 【2-4】中，角的對邊分別為，則“”是“是等腰三角形”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 【課本回眸】 １．一般地，如果已知pq，那么就說：p是q的充分條件；q是p的必要條件。 可分為四類：（1）充分不必要條件，即pq,而qp；(2)必要不充分條件，即pq,而qp；(3)既充分又必要條件，即pq，又有qp；(4)既不充分也不必要條件，即pq，又有qp。 ２．一般地，如果既有pq，又有qp，就記作：pq.“”叫做等價符號。pq表示pq且qp。 這時p既是q的充分條件，又是q的必要條件，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。 【方法規(guī)律技巧】 充要關(guān)系的幾種判斷方法 (1)定義法：若 ，則是的充分而不必要條件；若 ，則是的必要而不充分條件；若，則是的充要條件； 若 ，則是的既不充分也不必要條件。 (2)等價法：即利用與；與；與的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運用等價法． (3) 充要關(guān)系可以從集合的觀點理解，即若滿足命題p的集合為M，滿足命題q的集合為N，則M是N的真子集等價于p是q的充分不必要條件，N是M的真子集等價于p是q的必要不充分條件，M＝N等價于p和q互為充要條件，M，N不存在相互包含關(guān)系等價于p既不是q的充分條件也不是q的必要條件 【新題變式探究】 【變式一】已知條件，條件，則是成立的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既非充分也非必要條件 【答案】B 【變式二】以q為公比的等比數(shù)列{}中，，則“”是“”的（ ） A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 考點3 充分條件與必要條件的應(yīng)用 【3-1】【xx年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）】給定兩個命題，,若是的必要而不充分條件，則是的 A.充分不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A 【3-2】條件：,條件：,若是的充分而不必要條件,則的取值范圍是(　　) A. B.　　　C. D. 【答案】D 【3-3】函數(shù)，有且只有一個零點的充分不必要條件是 (　　) A． B． C. D．或 【答案】A 【課本回眸】 充分不必要條件，即pq,而qp；(2)必要不充分條件，即pq,而qp；(3)既充分又必要條件，即pq，又有qp；(4)既不充分也不必要條件，即pq，又有qp。 【方法規(guī)律技巧】 １．充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上．解題時需注意： (1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解． (2)要注意區(qū)間端點值的檢驗． ２．對于充要條件的證明問題，可用直接證法，即分別證明充分性與必要性。此時應(yīng)注意分清楚哪是條件，哪是結(jié)論，充分性即由條件證明結(jié)論；而必要性則是由結(jié)論成立來證明條件也成立，千萬不要張冠李戴；也可用等價法，即進行等價轉(zhuǎn)化，此時應(yīng)注意的是所得出的必須是前后能互相推出，而不僅僅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）。 【新題變式探究】 【變式一】已知命題：實數(shù)滿足，命題：實數(shù)滿足方程表示的焦點在軸上的橢圓，且是q的充分不必要條件，的取值范圍為________． 【答案】 【變式二】下面四個條件中，使a>b成立的充分而不必要的條件是（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】A 三、易錯試題常警惕 易錯典例：已知不等式成立的充分不必要條件是，則的取值范圍是____________． 易錯分析，(1)“”是“”的充分條件，但不是必要條件，學生容易看成必要條件；(2)從集合的角度看，若設(shè)，，則，學生容易看成. 溫馨提醒：利用充分條件、必要條件求解參數(shù)的值或取值范圍是高考的一個重點內(nèi)容，解答此類問題的關(guān)鍵是從正反兩方面考慮，緊扣充分條件、必要條件的定義，若有大前提，在進行正反兩方面推理時，大前提都要參與推理，是推理的條件．本例涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，先用等價轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問題轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的問題來解決．一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關(guān)系問題中，常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來考慮，這是破解此類問題的關(guān)鍵．