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2019年高中數(shù)學 3.2.2（整數(shù)值）隨機數(shù)（random numbers）的產(chǎn)生學案 新人教A版必修3 【明目標、知重點】 1．了解隨機數(shù)的意義． 2．會用模擬方法(包括計算器產(chǎn)生隨機數(shù)進行模擬)估計概率． 3．理解用模擬方法估計概率的實質(zhì)． 【填要點、記疑點】 1．隨機數(shù) 要產(chǎn)生1～n(n∈N*)之間的隨機整數(shù)，把n個大小形狀相同的小球分別標上1,2,3，…，n，放入一個袋中，把它們充分攪拌，然后從中摸出一個，這個球上的數(shù)就稱為隨機數(shù)． 2．偽隨機數(shù) 計算機或計算器產(chǎn)生的隨機數(shù)是依照確定算法產(chǎn)生的數(shù)，具有周期性(周期很長)，它們具有類似隨機數(shù)的性質(zhì)．因此，計算機或計算器產(chǎn)生的并不是真正的隨機數(shù)，我們稱它們?yōu)閭坞S機數(shù)． 3．產(chǎn)生隨機數(shù)的常用方法 ①用計算器產(chǎn)生，②用計算機產(chǎn)生，③抽簽法． 【探要點、究所然】 [情境導學]　在第一節(jié)中，為了得到某一隨機事件發(fā)生的概率，我們做了大量重復試驗，有的同學可能覺得這樣做試驗花費的時間太多了，那么，有沒有其它方法可以代替試驗呢？答案是肯定的，這就是我們將要學習的內(nèi)容——(整數(shù)值)隨機數(shù)的產(chǎn)生． 探究點一　隨機數(shù)的產(chǎn)生 問題　通過大量重復試驗，反復計算事件發(fā)生的頻率，再由頻率的穩(wěn)定值估計概率，是十分費時的．對于實踐中大量非古典概型的事件概率，又缺乏相關(guān)原理和公式求解．因此，我們設想通過計算機模擬試驗解決這些矛盾. 思考1　我們要產(chǎn)生1～25之間的隨機整數(shù)，可以把25個大小形狀相同的小球分別標上1,2,3，…，24,25，放入一個袋中，把它們充分攪拌，然后從中摸出一個，這個球上的數(shù)就稱為隨機數(shù)．這種產(chǎn)生隨機數(shù)的方法我們稱之為抽簽法，除抽簽法外，你還有其它辦法嗎(閱讀教材130－131頁)? 答　用計算器產(chǎn)生．具體操作方法見教材． 思考2　我們可以用0表示反面朝上，1表示正面朝上，利用計算器不斷地產(chǎn)生0,1兩個隨機數(shù)，以代替拋硬幣實驗，說出用計算器產(chǎn)生0,1兩個隨機數(shù)的過程？ 答　答案見教材． 思考3　我們也可以利用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)，而且可以直接統(tǒng)計出頻數(shù)和頻率，請閱讀教材相關(guān)內(nèi)容，然后說出用計算機中的Excel軟件產(chǎn)生隨機數(shù)表中的數(shù)是0～9之間的隨機數(shù)的過程？ 答　用Excel演示： (1)選定A1格，鍵入“＝RANDBETWEEN(0,9)”，按Enter鍵，則在此格中的數(shù)是隨機產(chǎn)生的； (2)選定A1格，點擊復制，然后選定要產(chǎn)生隨機數(shù)的格，比如A2至A100，點擊粘貼，則在A2至A100的數(shù)均為隨機產(chǎn)生的0～9之間的數(shù)，這樣我們就很快就得到了100個0～9之間的隨機數(shù)，相當于做了100次隨機試驗． 思考4　若拋擲一枚均勻的骰子30次，如果沒有骰子，你有什么辦法得到試驗的結(jié)果？ 答　由計算器或計算機產(chǎn)生30個1～6之間的隨機數(shù)． 思考5　一般地，如果一個古典概型的基本事件總數(shù)為n，在沒有試驗條件的情況下，你有什么辦法進行m次實驗，并得到相應的試驗結(jié)果？ 答　將n個基本事件編號為1,2，…，n，由計算器或計算機產(chǎn)生m個1～n之間的隨機數(shù)． 例1　天氣預報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%.這三天中恰有兩天下雨的概率大概是多少？ 思考1　試驗的可能結(jié)果有哪些？ 答　用“下”和“不”分別代表某天“下雨”和“不下雨”，試驗的結(jié)果有(下，下，下)、(下，下，不)、(下，不，下)、(不，下，下)、(不，不，下)、(不，下，不)、(下，不，不)、(不，不，不)共計8個可能結(jié)果． 思考2　能不能用古典概型求概率的公式求三天中恰有兩天下雨的概率？為什么？ 答　不能，因為試驗結(jié)果出現(xiàn)不是等可能的，不能用古典概型公式，只好采取隨機模擬的方法求頻率，近似看作概率． 思考3　如果采用隨機模擬的方法，如何操作？ 答　(1)設計概率模型 利用計算機(計算器)產(chǎn)生0～9之間的(整數(shù)值)隨機數(shù)，約定用0、1、2、3表示下雨，4、5、6、7、8、9表示不下雨以體現(xiàn)下雨的概率是40%.模擬三天的下雨情況：連續(xù)產(chǎn)生三個隨機數(shù)為一組，作為三天的模擬結(jié)果． (2)進行模擬試驗，例如產(chǎn)生30組隨機數(shù)，這就相當于做了30次試驗． (3)統(tǒng)計試驗結(jié)果在這組數(shù)中，如恰有兩個數(shù)在0,1,2,3中，則表示三天中恰有兩天下雨，統(tǒng)計出這樣的試驗次數(shù)，則30次統(tǒng)計試驗中恰有兩天下雨的頻率f＝，即概率大約是. 反思與感悟　(1)隨機模擬的方法得到的僅是30次試驗中恰有2天下雨的頻率或概率的近似值，而不是概率． (2)對于滿足“有限性”但不滿足“等可能性”的概率問題我們可采取隨機模擬方法． (3)隨機函數(shù)RANDBETWEEN(a，b)產(chǎn)生從整數(shù)a到整數(shù)b的取整數(shù)值的隨機數(shù)． 跟蹤訓練1　試設計一個用計算器或計算機模擬擲骰子的實驗，估計出現(xiàn)1點的概率． 解　 (1)規(guī)定1表示出現(xiàn)1點，2表示出現(xiàn)2點，……，6表示出現(xiàn)6點； (2)用計算器或計算機產(chǎn)生N個1至6之間的隨機數(shù)； (3)統(tǒng)計數(shù)字1的個數(shù)n，算出概率的近似值n/N. 探究點二　隨機模擬方法 思考1　對于古典概型，我們可以將隨機試驗中所有基本事件進行編號，利用計算器或計算機產(chǎn)生隨機數(shù)，從而獲得試驗結(jié)果．這種用計算器或計算機模擬試驗的方法，稱為隨機模擬方法或蒙特卡羅方法．你認為這種方法的最大優(yōu)點是什么？ 答　不需要對試驗進行具體操作，可以廣泛應用到各個領(lǐng)域． 思考2　用隨機模擬方法拋擲一枚均勻的硬幣100次，那么如何統(tǒng)計這100次試驗中“出現(xiàn)正面朝上”的頻數(shù)和頻率？ 答　除了計數(shù)統(tǒng)計外，我們也可以利用計算機統(tǒng)計頻數(shù)和頻率，用Excel演示． 選定C1格，鍵入頻數(shù)函數(shù)“＝FREQUENCY(A1∶A100，0.5)”，按Enter鍵，則此格中的數(shù)是統(tǒng)計A1至A100中，比0.5小的數(shù)的個數(shù)，即0出現(xiàn)的頻數(shù)，也就是反面朝上的頻數(shù)． 選定D1格，鍵入“＝1－C1/100”，按Enter鍵，在此格中的數(shù)是這100次試驗中出現(xiàn)1的頻率，即正面朝上的頻率． 思考3　把先后拋擲兩枚均勻的硬幣作為一次試驗，則一次試驗中基本事件的總數(shù)為多少？若把這些基本事件數(shù)字化，可以怎樣設置？ 答　這一次試驗中有4個基本事件：可以用0表示第一枚出現(xiàn)正面，第二枚出現(xiàn)反面，1表示第一枚出現(xiàn)反面，第二枚出現(xiàn)正面，2表示兩枚都出現(xiàn)正面，3表示兩枚都出現(xiàn)反面. 例2　某籃球愛好者做投籃練習，假設其每次投籃命中的概率是60%，若該籃球愛好者連續(xù)投籃4次，求至少投中3次的概率．用隨機模擬的方法估計上述概率． 解　利用計算機或計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，這樣可以體現(xiàn)投中的概率是60%，因為投籃4次，所以每4個隨機數(shù)作為1組．例如5727,7895,0123，…，4560,4581,4698，共100組這樣的隨機數(shù)，若所有數(shù)組中沒有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一個的數(shù)組的個數(shù)為n，則至少投中3次的概率近似值為. 反思與感悟　整數(shù)隨機數(shù)模擬試驗估計概率時，首先要確定隨機數(shù)的范圍和用哪些數(shù)代表不同的試驗結(jié)果．我們可以從以下三方面考慮： (1)當試驗的基本事件等可能時，基本事件總數(shù)即為產(chǎn)生隨機數(shù)的范圍，每個隨機數(shù)代表一個基本事件； (2)研究等可能事件的概率時，用按比例分配的方法確定表示各個結(jié)果的數(shù)字個數(shù)及總個數(shù)； (3)當每次試驗結(jié)果需要n個隨機數(shù)表示時，要把n個隨機數(shù)作為一組來處理，此時一定要注意每組中的隨機數(shù)字能否重復． 跟蹤訓練2　種植某種樹苗成活率為0.9，若種植這種樹苗5棵，求恰好成活4棵的概率．設計一個試驗，隨機模擬估計上述概率． 解　利用計算器或計算機產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，我們用0代表不成活，1至9的數(shù)字代表成活，這樣可以體現(xiàn)成活率是0.9，因為是種植5棵，所以每5個隨機數(shù)作為一組可產(chǎn)生30組隨機數(shù)： 69801　66097　77124　22961 74235　31516　29747　24945 57558　65258　74130　23224 37445　44344　33315　27120 21782　58555　61017　45241 44134　92201　70362　83005 94976　56173　34783　16624 30344　01117 這就相當于做了30次試驗，在這些數(shù)組中，如果恰有一個0，則表示恰有4棵成活，共有9組這樣的數(shù)，于是我們得到種植5棵這樣的樹苗恰有4棵成活的概率約為＝30%. 【當堂測、查疑缺】 1．與大量重復試驗相比，隨機模擬方法的優(yōu)點是 (　　) A．省時、省力 B．能得概率的精確值 C．誤差小 D．產(chǎn)生的隨機數(shù)多 答案　A 2．用隨機模擬方法估計概率時，其準確程度決定于 (　　) A．產(chǎn)生的隨機數(shù)的大小 B．產(chǎn)生的隨機數(shù)的個數(shù) C．隨機數(shù)對應的結(jié)果 D．產(chǎn)生隨機數(shù)的方法 答案　B 解析　隨機數(shù)容量越大，實際數(shù)越接近概率，故選B. 3．一體育代表隊有21名水平相當?shù)倪\動員，現(xiàn)從中抽取11人參加某場比賽，其中甲運動員必須參加，試寫出利用隨機數(shù)抽取的過程． 解　法1：把20名運動員編號1,2,3，…，20(甲除外)．把這20個號碼貼在標簽上，充分搖勻后，從中依次抽取10個標簽，這10個標簽上的號碼對應的運動員，就是要抽取參加比賽的運動員． 法2：把20名運動員編號(甲除外)，用計算機或計算器上的隨機函數(shù)產(chǎn)生10個編號(如1～20號)內(nèi)的整數(shù)隨機數(shù)．這10個整數(shù)隨機數(shù)對應的運動員就是參加比賽的運動員． 4．如果事件A在每次試驗中發(fā)生的概率都相等，那么可以用隨機模擬方法估計n次重復試驗事件A恰好發(fā)生k次的概率．你能寫出隨機模擬的步驟嗎？ 解　(1)按事件A的概率確定表示各個結(jié)果的數(shù)字個數(shù)及總個數(shù)； (2)利用計算機或計算器產(chǎn)生整數(shù)隨機數(shù)，然后n個整數(shù)隨機數(shù)作為一組分組，每組第1個數(shù)表示第1次試驗，第2個數(shù)表示第2次試驗，…，第n個數(shù)表示第n次試驗．n個隨機數(shù)作為一組共組成N組數(shù)． (3)統(tǒng)計這N組中恰有k個數(shù)字在表示試驗發(fā)生的數(shù)組中的組數(shù)m，則n次重復試驗事件A恰好發(fā)生k次的概率為. 【呈重點、現(xiàn)規(guī)律】 1．隨機數(shù)具有廣泛的應用，可以幫助我們安排和模擬一些試驗，這樣可以代替我們自己做大量重復試驗．通過本節(jié)課的學習，我們要熟練掌握隨機數(shù)產(chǎn)生的方法以及隨機模擬試驗的步驟：(1)設計概率模型，(2)進行模擬試驗，(3)統(tǒng)計試驗結(jié)果． 2．計算器和計算機產(chǎn)生隨機數(shù)的方法 用計算器的隨機函數(shù)RANDI(a，b)或計算機的隨機函數(shù)RANDBETWEEN(a，b)可以產(chǎn)生從整數(shù)a到整數(shù)b的取整數(shù)值的隨機數(shù)．