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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題訓(xùn)練五 第2講 空間中的平行與垂直 理 考情解讀　1.以選擇、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對(duì)命題的真假進(jìn)行判斷，屬基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查，主要是對(duì)線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺(tái)或其簡(jiǎn)單組合體為載體進(jìn)行考查，難度中等． 1．線面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理 線面平行的判定定理 ?a∥α 線面平行的性質(zhì)定理 ?a∥b 線面垂直的判定定理 ?l⊥α 線面垂直的性質(zhì)定理 ?a∥b 2.面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理 面面垂直的判定定理 ?α⊥β 面面垂直的性質(zhì)定理 ?a⊥β 面面平行的判定定理 ?α∥β 面面平行的性質(zhì)定理 ?a∥b 提醒　使用有關(guān)平行、垂直的判定定理時(shí)，要注意其具備的條件，缺一不可． 3．平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 熱點(diǎn)一　空間線面位置關(guān)系的判定 例1　(1)設(shè)a，b表示直線，α，β，γ表示不同的平面，則下列命題中正確的是(　　) A．若a⊥α且a⊥b，則b∥α B．若γ⊥α且γ⊥β，則α∥β C．若a∥α且a∥β，則α∥β D．若γ∥α且γ∥β，則α∥β (2)平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是(　　) A．存在一條直線a，a∥α，a∥β B．存在一條直線a，a?α，a∥β C．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α D．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α 思維啟迪　判斷空間線面關(guān)系的基本思路：利用定理或結(jié)論；借助實(shí)物模型作出肯定或否定． 答案　(1)D　(2)D 解析　(1)A：應(yīng)該是b∥α或b?α；B：如果是墻角出發(fā)的三個(gè)面就不符合題意；C：α∩β＝m，若a∥m時(shí)，滿足a∥α，a∥β，但是α∥β不正確，所以選D. (2)若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，故排除A. 若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排除B. 若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C.故選D. 思維升華　解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時(shí)可以利用正方體、長(zhǎng)方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中． 　對(duì)于平面α，β，γ和直線a，b，m，n，下列命題中真命題是(　　) A．若a⊥m，a⊥n，m?α，n?α，則a⊥α B．若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a∥b C．若a∥b，b?α，則a∥α D．若a?β，b?β，a∥α，b∥α，則β∥α 答案　B 解析　A中：由線面垂直的判定定理知，還需m與n相交才能得a⊥α，故A錯(cuò)．C中：由線面平行的判定定理，還需知a?α，故C錯(cuò)．D中：由面面平行的判定定理知，還需a與b相交才能得β∥α，故D錯(cuò)．所以選B. 熱點(diǎn)二　平行、垂直關(guān)系的證明 例2　如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 思維啟迪　(1)利用平面PAD⊥底面ABCD的性質(zhì)，得線面垂直；(2)BE∥AD易證；(3)EF是△CPD的中位線． 證明　(1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD， 且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD， 所以PA⊥底面ABCD. (2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以四邊形ABED為平行四邊形． 所以BE∥AD. 又因?yàn)锽E?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因?yàn)锳B⊥AD，而且ABED為平行四邊形． 所以BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知PA⊥底面ABCD. 所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD. 所以CD⊥PD. 因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)， 所以PD∥EF.所以CD⊥EF. 所以CD⊥平面BEF. 又CD?平面PCD， 所以平面BEF⊥平面PCD. 思維升華　垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型． (1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行． (2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直． (3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直． (4)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直． 　如圖所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD＝DE＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)． 求證：(1)AF∥平面BCE； (2)平面BCE⊥平面CDE. 證明　(1)如圖，取CE的中點(diǎn)G，連接FG，BG. ∵F為CD的中點(diǎn)，∴GF∥DE且GF＝DE. ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB. 又AB＝DE，∴GF＝AB. ∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG. ∵AF?平面BCE，BG?平面BCE， ∴AF∥平面BCE. (2)∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)， ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF. 又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE. ∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE. 熱點(diǎn)三　圖形的折疊問(wèn)題 例3　如圖(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖(2)． (1)求證：DE∥平面A1CB； (2)求證：A1F⊥BE； (3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？請(qǐng)說(shuō)明理由． 思維啟迪　折疊問(wèn)題要注意在折疊過(guò)程中，哪些量變化了，哪些量沒(méi)有變化．第(1)問(wèn)證明線面平行，可以證明DE∥BC；第(2)問(wèn)證明線線垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明A1F⊥平面BCDE；第(3)問(wèn)取A1B的中點(diǎn)Q，再證明A1C⊥平面DEQ. (1)證明　因?yàn)镈，E分別為AC，AB的中點(diǎn)， 所以DE∥BC. 又因?yàn)镈E?平面A1CB，BC?平面A1CB， 所以DE∥平面A1CB. (2)證明　由圖(1)得AC⊥BC且DE∥BC， 所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD. 所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC， 所以DE⊥A1F.又因?yàn)锳1F⊥CD， 所以A1F⊥平面BCDE，又BE?平面BCDE， 所以A1F⊥BE. (3)解　線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下： 如圖，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，則PQ∥BC. 又因?yàn)镈E∥BC， 所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即為平面DEP. 由(2)知，DE⊥平面A1DC， 所以DE⊥A1C. 又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn)， 所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP. 從而A1C⊥平面DEQ. 故線段A1B上存在點(diǎn)Q，使得A1C⊥平面DEQ. 思維升華　(1)解決與折疊有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量．一般情況下，折線同一側(cè)線段的長(zhǎng)度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決問(wèn)題的突破口．(2)在解決問(wèn)題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形． 　如圖(1)，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE＝x.沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如圖(2)所示)，G是BC的中點(diǎn)． (1)當(dāng)x＝2時(shí)，求證：BD⊥EG； (2)當(dāng)x變化時(shí)，求三棱錐D－BCF的體積f(x)的函數(shù)式． (1)證明　作DH⊥EF，垂足為H，連接BH，GH， 因?yàn)槠矫鍭EFD⊥平面EBCF，交線為EF，DH?平面AEFD， 所以DH⊥平面EBCF，又EG?平面EBCF，故EG⊥DH. 因?yàn)镋H＝AD＝BC＝BG＝2，BE＝2，EF∥BC，∠EBC＝90， 所以四邊形BGHE為正方形，故EG⊥BH. 又BH，DH?平面DBH，且BH∩DH＝H，故EG⊥平面DBH. 又BD?平面DBH，故EG⊥BD. (2)解　因?yàn)锳E⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，交線為EF，AE?平面AEFD， 所以AE⊥平面EBCF. 由(1)知，DH⊥平面EBCF，故AE∥DH， 所以四邊形AEHD是矩形，DH＝AE，故以B，F(xiàn)，C，D為頂點(diǎn)的三棱錐D－BCF的高DH＝AE＝x. 又S△BCF＝BCBE＝4(4－x)＝8－2x， 所以三棱錐D－BCF的體積f(x)＝S△BFCDH ＝S△BFCAE＝(8－2x)x ＝－x2＋x(0AC，所以符合要求的點(diǎn)G不存在． 13．(xx廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如圖(2)折疊，折痕EF∥DC.其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M，并且MF⊥CF. (1)證明：CF⊥平面MDF； (2)求三棱錐M－CDE的體積． (1)證明　如圖， 因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AD?平面ABCD， 所以PD⊥AD. 又因?yàn)锳BCD是矩形，CD⊥AD， PD與CD交于點(diǎn)D，PD∩CD＝D， 所以AD⊥平面PCD. 又CF?平面PCD， 所以AD⊥CF，即MD⊥CF. 又MF⊥CF，MD∩MF＝M， 所以CF⊥平面MDF. (2)解　因?yàn)镻D⊥DC，PC＝2，CD＝1，∠PCD＝60， 所以PD＝，由(1)知FD⊥CF， 在直角三角形DCF中，CF＝CD＝. 過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G，得FG＝FCsin 60＝＝， 所以DE＝FG＝，故ME＝PE＝－＝， 所以MD＝＝ ＝. S△CDE＝DEDC＝1＝. 故VM－CDE＝MDS△CDE＝＝.