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2019年高考數學二輪復習 專題訓練六 第1講 直線與圓 理 考情解讀　考查重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關的問題．直線與圓的位置關系(特別是弦長問題)，此類問題難度屬于中等，一般以選擇題、填空題的形式出現，有時也會出現解答題，多考查其幾何圖形的性質或方程知識． 1．直線方程的五種形式 (1)點斜式：y－y1＝k(x－x1)(直線過點P1(x1，y1)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)． (2)斜截式：y＝kx＋b(b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)． (3)兩點式：＝(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐標軸和平行于坐標軸的直線)． (4)截距式：＋＝1(a、b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不包括坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線)． (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)． 2．直線的兩種位置關系 當不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時： (1)兩直線平行l(wèi)1∥l2?k1＝k2. (2)兩直線垂直l1⊥l2?k1k2＝－1. 提醒　當一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時，兩直線也垂直，此種情形易忽略． 3．三種距離公式 (1)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點間的距離：|AB|＝. (2)點到直線的距離：d＝(其中點P(x0，y0)，直線方程：Ax＋By＋C＝0)． (3)兩平行線間的距離：d＝(其中兩平行線方程分別為l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)． 提醒　應用兩平行線間距離公式時，注意兩平行線方程中x，y的系數應對應相等． 4．圓的方程的兩種形式 (1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 5．直線與圓、圓與圓的位置關系 (1)直線與圓的位置關系：相交、相切、相離，代數判斷法與幾何判斷法． (2)圓與圓的位置關系：相交、相切、相離，代數判斷法與幾何判斷法. 熱點一　直線的方程及應用 例1　(1)過點(5,2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是(　　) A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0 (2)“m＝1”是“直線x－y＝0和直線x＋my＝0互相垂直”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 思維啟迪　(1)不要忽略直線過原點的情況；(2)分別考慮充分性和必要性． 答案　(1)B　(2)C 解析　(1)當直線過原點時方程為2x－5y＝0，不過原點時，可設出其截距式為＋＝1，再由過點(5,2)即可解出2x＋y－12＝0. (2)因為m＝1時，兩直線方程分別是x－y＝0和x＋y＝0，兩直線的斜率分別是1和－1，兩直線垂直，所以充分性成立；當直線x－y＝0和直線x＋my＝0互相垂直時，有11＋(－1)m＝0，所以m＝1，所以必要性成立．故選C. 思維升華　(1)要注意幾種直線方程的局限性．點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直．而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線． (2)求解與兩條直線平行或垂直有關的問題時，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件，即“斜率相等”或“互為負倒數”．若出現斜率不存在的情況，可考慮用數形結合的方法去研究． 　已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分線方程為y＝x＋1，則AC所在的直線方程為(　　) A．y＝2x＋4 B．y＝x－3 C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0 答案　C 解析　由題意可知，直線AC和直線BC關于直線y＝x＋1對稱．設點B(－1,2)關于直線y＝x＋1的對稱點為B′(x0，y0)，則有?，即B′(1,0)．因為B′(1,0)在直線AC上，所以直線AC的斜率為k＝＝， 所以直線AC的方程為y－1＝(x－3)， 即x－2y－1＝0.故C正確． 熱點二　圓的方程及應用 例2　(1)若圓C經過(1,0)，(3,0)兩點，且與y軸相切，則圓C的方程為(　　) A．(x－2)2＋(y2)2＝3 B．(x－2)2＋(y)2＝3 C．(x－2)2＋(y2)2＝4 D．(x－2)2＋(y)2＝4 (2)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x＝－2的右側，若圓M截直線l1所得的弦長為2，且與直線l2：2x－y－4＝0相切，則圓M的方程為(　　) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4 C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4 思維啟迪　(1)確定圓心在直線x＝2上，然后待定系數法求方程；(2)根據弦長為2及圓與l2相切列方程組． 答案　(1)D　(2)B 解析　(1)因為圓C經過(1,0)，(3,0)兩點，所以圓心在直線x＝2上，又圓與y軸相切，所以半徑r＝2，設圓心坐標為(2，b)，則(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝，所以選D. (2)由已知，可設圓M的圓心坐標為(a,0)，a>－2，半徑為r，得 解得滿足條件的一組解為 所以圓M的方程為(x＋1)2＋y2＝4.故選B. 思維升華　圓的標準方程直接表示出了圓心和半徑，而圓的一般方程則表示出了曲線與二元二次方程的關系，在求解圓的方程時，要根據所給條件選取適當的方程形式．解決與圓有關的問題一般有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程；(2)代數法，即用待定系數法先設出圓的方程，再由條件求得各系數． 　(1)已知圓C：x2＋(y－3)2＝4，過點A(－1,0)的直線l與圓C相交于P、Q兩點，若|PQ|＝2，則直線l的方程為(　　) A．x＝－1或4x＋3y－4＝0 B．x＝－1或4x－3y＋4＝0 C．x＝1或4x－3y＋4＝0 D．x＝1或4x＋3y－4＝0 (2)已知圓C的圓心與拋物線y2＝4x的焦點關于直線y＝x對稱，直線4x－3y－2＝0與圓C相交于A，B兩點，且|AB|＝6，則圓C的方程為________________． 答案　(1)B　(2)x2＋(y－1)2＝10 解析　(1)當直線l與x軸垂直時，易知x＝－1符合題意； 當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝k(x＋1)，線段PQ的中點為M，由于|PQ|＝2， 易得|CM|＝1. 又|CM|＝＝1，解得k＝，此時直線l的方程為y＝(x＋1)．故所求直線l的方程為x＝－1或4x－3y＋4＝0.故選B. (2)設所求圓的半徑是r，依題意得，拋物線y2＝4x的焦點坐標是(1,0)，則圓C的圓心坐標是(0,1)，圓心到直線4x－3y－2＝0的距離d＝＝1，則r2＝d2＋()2＝10，故圓C的方程是x2＋(y－1)2＝10. 熱點三　直線與圓、圓與圓的位置關系 例3　如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設圓C的半徑為1，圓心在l上． (1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程； (2)若圓C上存在點M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍． 思維啟迪　(1)先求出圓C的圓心坐標，再利用幾何法求出切線斜率；(2)將|MA|＝2|MO|化為M點坐標滿足的條件后，可知點M是兩圓的交點． 解　(1)由題設，圓心C是直線y＝2x－4和直線y＝x－1的交點，解得點C(3,2)， 于是切線的斜率必存在． 設過A(0,3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3， 由題意，＝1，解得k＝0或－， 故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0. (2)因為圓心在直線y＝2x－4上， 所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1. 設點M(x，y)，因為|MA|＝2|MO|， 所以＝2 ， 化簡得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4， 所以圓心M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上． 由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點， 則2－1≤|CD|≤2＋1， 即1≤≤3. 由5a2－12a＋8≥0，得a∈R； 由5a2－12a≤0，得0≤a≤. 所以圓心C的橫坐標a的取值范圍為. 思維升華　(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關系時，要注意數形結合，充分利用圓的幾何性質尋找解題途徑，減少運算量．研究直線與圓的位置關系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現，兩個圓的位置關系的判斷依據是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較． (2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式．過圓外一點求解切線段長可轉化為圓心到圓外點距離，利用勾股定理處理． 　(1)(xx重慶)已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B兩點，且△ABC為等邊三角形，則實數a＝________. (2)兩個圓C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)與C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三條公切線，則a＋b的最小值為(　　) A．－6 B．－3 C．－3 D．3 答案　(1)4　(2)C 解析　圓心C(1，a)到直線ax＋y－2＝0的距離為.因為△ABC為等邊三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以()2＋12＝22，解得a＝4. (2)兩個圓恰有三條公切線，則兩圓外切，兩圓的標準方程為圓C1：(x＋a)2＋y2＝4， 圓C2：x2＋(y－b)2＝1， 所以|C1C2|＝＝2＋1＝3， 即a2＋b2＝9. 由()2≤，得(a＋b)2≤18，所以－3≤a＋b≤3，當且僅當“a＝b”時取“＝”．所以選C. 1．由于直線方程有多種形式，各種形式適用的條件、范圍不同，在具體求直線方程時，由所給的條件和采用的直線方程形式所限，可能會產生遺漏的情況，尤其在選擇點斜式、斜截式時要注意斜率不存在的情況． 2．確定圓的方程時，常用到圓的幾個性質： (1)直線與圓相交時應用垂徑定理構成直角三角形(半弦長，弦心距，圓半徑)； (2)圓心在過切點且與切線垂直的直線上； (3)圓心在任一弦的中垂線上； (4)兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線； (5)圓的對稱性：圓關于圓心成中心對稱，關于任意一條過圓心的直線成軸對稱． 3．直線與圓中常見的最值問題 圓上的點與圓外點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到直線的距離問題；圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題，可以轉化為圓心到圓心的距離問題． 4．過兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0. 5．兩圓相交，將兩圓方程聯立消去二次項，得到一個二元一次方程，即為兩圓公共弦所在的直線方程. 真題感悟 1．(xx江蘇)在平面直角坐標系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為________________． 答案　 解析　圓心為(2，－1)，半徑r＝2. 圓心到直線的距離d＝＝， 所以弦長為2＝2＝. 2．(xx課標全國Ⅱ)設點M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點N，使得∠OMN＝45，則x0的取值范圍是________． 答案　[－1,1] 解析　如圖，過點M作⊙O的切線， 切點為N，連接ON. M點的縱坐標為1， MN與⊙O相切于點N. 設∠OMN＝θ，則θ≥45， 即sin θ≥， 即≥. 而ON＝1，∴OM≤. ∵M為(x0,1)，∴≤， ∴x≤1，∴－1≤x0≤1， ∴x0的取值范圍為[－1,1]． 押題精練 1．在直角坐標系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，則滿足|PA|2－|PB|2＝4且在圓x2＋y2＝4上的點P的個數為________． 答案　2 解析　設P(x，y)，則由|PA|2－|PB|2＝4， 得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，∴x＋y＝2， ∴滿足條件的點P的個數轉化為直線x＋y＝2和圓x2＋y2＝4的交點個數， ∵＝<2， ∴直線與圓相交，∴點P有2個． 2．如果圓C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0與圓O：x2＋y2＝4總相交，則實數a的取值范圍是____________________． 答案?。?0)上有且只有兩個點到直線x－y－2＝0的距離為1，則實數r的取值范圍是________． 答案　(－1，＋1) 解析　注意到與直線x－y－2＝0平行且距離為1的直線方程分別是x－y－2＋＝0和x－y－2－＝0，要使圓上有且只有兩個點到直線x－y－2＝0的距離為1，需滿足在兩條直線x－y－2＋＝0和x－y－2－＝0中，一條與該圓相交且另一條與該圓相離，所以0?m<－4或m>4.綜上可知m>4.故選C. 5．動圓C經過點F(1,0)，并且與直線x＝－1相切，若動圓C與直線y＝x＋2＋1總有公共點，則圓C的面積(　　) A．有最大值8π B．有最小值2π C．有最小值3π D．有最小值4π 答案　D 解析　設圓心為(a，b)，半徑為r，r＝|CF|＝|a＋1|， 即(a－1)2＋b2＝(a＋1)2，即a＝b2， ∴圓心為(b2，b)，r＝b2＋1， 圓心到直線y＝x＋2＋1的距離為 d＝≤＋1， ∴b≤－2(2＋3)或b≥2， 當b＝2時，rmin＝4＋1＝2， ∴Smin＝πr2＝4π. 6．設P為直線3x＋4y＋3＝0上的動點，過點P作圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為(　　) A．1 B. C．2 D. 答案　D 解析　依題意，圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圓心是點C(1,1)，半徑是1，易知|PC|的最小值等于圓心C(1,1)到直線3x＋4y＋3＝0的距離，即＝2，而四邊形PACB的面積等于2S△PAC＝2(|PA||AC|)＝|PA||AC|＝|PA|＝，因此四邊形PACB的面積的最小值是＝，故選D. 二、填空題 7．已知直線l1與圓x2＋y2＋2y＝0相切，且與直線l2：3x＋4y－6＝0平行，則直線l1的方程是________________． 答案　3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0 解析　依題意，設所求直線l1的方程是3x＋4y＋b＝0，則由直線l1與圓x2＋(y＋1)2＝1相切，可得圓心(0，－1)到直線3x＋4y＋b＝0的距離為1，即有＝1，解得b＝－1或b＝9.因此，直線l1的方程是3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0. 8．(xx湖北)直線l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b將單位圓C：x2＋y2＝1分成長度相等的四段弧，則a2＋b2＝____. 答案　2 解析　依題意，不妨設直線y＝x＋a與單位圓相交于A，B兩點， 則∠AOB＝90.如圖，此時a＝1，b＝－1， 滿足題意， 所以a2＋b2＝2. 9．(xx湖北)已知圓O：x2＋y2＝5，直線l：xcos θ＋ysin θ＝1(0<θ<)．設圓O上到直線l的距離等于1的點的個數為k，則k＝________. 答案　4 解析　圓心O到直線l的距離d＝＝1， 而圓O半徑為，所以圓O上到l的距離等于1的點有4個． 10．已知A(－2,0)，B(0,2)，實數k是常數，M，N是圓x2＋y2＋kx＝0上兩個不同點，P是圓x2＋y2＋kx＝0上的動點，如果M，N關于直線x－y－1＝0對稱，則△PAB面積的最大值是________． 答案　3＋ 解析　依題意得圓x2＋y2＋kx＝0的圓心(－，0)位于直線x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圓心坐標是(1,0)，半徑是1.由題意可得|AB|＝2，直線AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，圓心(1,0)到直線AB的距離等于＝，點P到直線AB的距離的最大值是＋1，△PAB面積的最大值為2＝3＋. 三、解答題 11．(1)求圓心在x軸上，且與直線y＝x相切于點(1,1)的圓的方程； (2)已知圓C過點P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)關于直線x＋y＋2＝0對稱，求圓C的方程． 解　(1)根據題意可設圓心(a,0)，則＝－1?a＝2，即圓心為(2,0)，半徑r＝＝，則所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝2. (2)設圓心為C(a，b)，則 所以又P(1,1)在圓上， 所以圓C的方程為x2＋y2＝2. 12．已知圓M的方程為x2＋y2－2x－2y－6＝0，以坐標原點O為圓心的圓O與圓M相切． (1)求圓O的方程； (2)圓O與x軸交于E，F兩點，圓O內的動點D使得|DE|，|DO|，|DF|成等比數列，求的取值范圍． 解　(1)圓M的方程可整理為(x－1)2＋(y－1)2＝8， 故圓心M(1,1)，半徑R＝2. 圓O的圓心為O(0,0)， 因為|MO|＝<2， 所以點O在圓M內，故圓O只能內切于圓M. 設圓O的半徑為r， 因為圓O內切于圓M， 所以|MO|＝R－r， 即＝2－r， 解得r＝. 所以圓O的方程為x2＋y2＝2. (2)不妨設E(m,0)，F(n,0)，且mr2對?m∈[0,1]成立， 即r2<. 故⊙C的半徑r的取值范圍為[，)．