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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第十六講 銳角三角函數(shù) 古希臘數(shù)學(xué)家和古代中國數(shù)學(xué)家為了測量的需要，他們發(fā)現(xiàn)并經(jīng)常利用下列幾何結(jié)論：在兩個(gè)大小不同的直角三角形中，只要有一個(gè)銳角相等，那么這兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊的比值一定相等．正是古人對天文觀察和測量的需要才引起人們對三角函數(shù)的研究，1748年經(jīng)過瑞士的著名數(shù)學(xué)家歐拉的應(yīng)用，才逐漸形成現(xiàn)在的sin、cos、tg、ctg的通用形式． 三角函數(shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的橋梁之一，有以下豐富的性質(zhì)： 1．單調(diào)性； 2．互余三角函數(shù)間的關(guān)系； 3．同角三角函數(shù)間的關(guān)系． 平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1； 商數(shù)關(guān)系：tgα=，ctgα=； 倒數(shù)關(guān)系：tgαctgα=1． 【例題求解】 【例1】 已知在△ABC中，∠A、∠B是銳角，且sinA＝，tanB=2，AB=29cm， 則S△ABC = ． 思路點(diǎn)撥 過C作CD⊥AB于D，這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比，sinA=，tanB=，設(shè)CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解題的關(guān)鍵是求出m、n的值． 注：設(shè)△ABC中，a、b、c為∠A、∠B、∠C的對邊，R為△ABC外接圓的半徑，不難證明：與銳角三角函數(shù)相關(guān)的幾個(gè)重要結(jié)論： (1) S△ABC=； （2）． 【例2】 如圖，在△ABC中．∠ACB＝90，∠ABC＝15，BC=1，則AC=( ) A． B． C．0.3 D． 思路點(diǎn)撥 由15構(gòu)造特殊角，用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉(zhuǎn)化． 注：（1）求(已知)非特角三角函數(shù)值的關(guān)是構(gòu)造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)銳角角函數(shù)值常根據(jù)定轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)線段比，有時(shí)需通過等的比來轉(zhuǎn)換． 【例3】 如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90，過BC的中點(diǎn)D作DE⊥AB于E，連結(jié)CE，求sin∠ACE的值． 思路點(diǎn)撥 作垂線把∠ACE變成直角三角形的一個(gè)銳角，將問題轉(zhuǎn)化成求線段的比． 【例4】 如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cos∠DAC， (1)求證：AC＝BD； (2)若sinC=，BC=12，求AD的長． 思路點(diǎn)撥 (1)把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比，利用比例線段證明； (2) sinC=，引入?yún)?shù)可設(shè)AD=12，AC＝13． 【例5】 已知：在Rt△ABC中，∠C=90，sinA、sinB是方程的兩個(gè)根． (1)求實(shí)數(shù)、應(yīng)滿足的條件； (2)若、滿足(1)的條件，方程的兩個(gè)根是否等于Rt△ABC中兩銳角A、B的正弦? 思路點(diǎn)撥 由韋達(dá)定理、三角函數(shù)關(guān)系建立、等式，注意判別式、三角函數(shù)值的有界性，建立嚴(yán)密約束條件的不等式，才能準(zhǔn)確求出實(shí)數(shù)、應(yīng)滿足的條件． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．已知α為銳角，下列結(jié)論①sinα+cosα=l；②如果α>45，那么sinα>cosα；③如果cosα> ，那么α<60； ④．正確的有 ． 2．如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，BC=1，cosB，則這個(gè)菱形的面積為 ． 3．如圖，∠C=90，∠DBC=30，AB＝BD，利用此圖可求得tan75= ． 4．化簡 (1)= ． (2)sin2l+sin22+…+sin288+sin289= ． 5．身高相等的三名同學(xué)甲、乙、丙參加風(fēng)箏比賽．三人放出風(fēng)箏線長、線與地面夾角如下表(假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的)，則三人所放的風(fēng)箏中( ) A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低 6．已知 sinαcosα=，且0<α<45則coα-sinα的值為( ) A． B． C． D． 7．如圖，在△ABC中，∠C＝90，∠ABC＝30，D是AC的中點(diǎn)，則ctg∠DBC的值是( ) A． B． C． D． 8．如圖，在等腰Rt△ABC中．∠C＝90，AC＝6，D是AC上一點(diǎn)，若tan∠DBA=，則AD的長為( ) A． B．2 C． 1 D． 9．已知關(guān)于的方程的兩根恰是某直角三角形兩銳角的正弦，求m的值． 10．如圖，D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，CD=2AD，AE⊥BC于E，若BD＝8，sin∠CBD=，求AE的長． 11．若0<α<45，且sinαconα=，則sinα= ． 12．已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，α為銳角，那么α的取值范圍是 ． 13．已知是△ABC的三邊，a、b、c滿足等式，且有，則sinA+sinB+sinC的值為 ． 14．設(shè)α為銳角，且滿足sinα=3cosα，則sinαcosα等于( ) A． B． C． D． 15．如圖，若兩條寬度為1的帶子相交成30的角，則重疊部分(圖中陰影部分)的面積是( ) A．2 B． C．1 D． 16．如圖，在△ABC中，∠A＝30，tanB=，AC=，則AB的長是( ) A． B． C．5 D． 17．己在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，且c=，若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，又方程的兩實(shí)根的平方和為6，求△ABC的面積． 18．如圖，已知AB=CD=1，∠ABC＝90，∠CBD=30，求AC的長． 19．設(shè) a、b、c是直角三角形的三邊，c為斜邊，n為正整數(shù)，試判斷與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 20．如圖，已知邊長為2的正三角形ABC沿直線滾動． (1)當(dāng)△ABC滾動一周到△A lB1C1的位置，此時(shí)A點(diǎn)所運(yùn)動的路程為 ，約為 (精確到0.1，π=3.14) (2)設(shè)△ABC滾動240，C點(diǎn)的位置為Cˊ，△ABC滾動480時(shí)，A點(diǎn)的位置在Aˊ，請你利用三角函數(shù)中正切的兩角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)(1-tanαtanβ)，求出∠CACˊ+∠CAAˊ的度數(shù)． 參考答案