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概率論講義,1.確定性現(xiàn)象.,在一定條件下可能發(fā)生這種結(jié)果也可能發(fā)生那種結(jié)果的，因而無法事先斷言出現(xiàn)那種結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。,第一章隨機(jī)事件及其概率,3.概率規(guī)律和統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。,2.隨機(jī)現(xiàn)象:,1.1隨機(jī)事件,,隨機(jī)試驗(yàn):可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;(2)重復(fù)試驗(yàn)有多個(gè)可能結(jié)果,且能事先明確所有可能的結(jié)果;(3)一次試驗(yàn)只出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果，且試驗(yàn)前不能確定出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果。,,樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)中，每一個(gè)可能結(jié)果稱為該試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn),記為?.全體樣本點(diǎn)組成的集合稱為該試驗(yàn)的樣本空間，記為?。,E1:拋一枚硬幣，觀察正(H)反(T)面的情況.,?1={H,T}?1=H,?2=T,E4:電話交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù).,??4={0，1，2，?}?1=0,?2=1,?3=2?,E3:擲一顆骰子,觀察點(diǎn)數(shù).則,?3={1,2,3,4,5,6}?1=1?2=2??6=6,E2:將一枚硬幣拋三次,觀察正反面出現(xiàn)的情況.,?2={HHH,THH，HTH,HHT,HTT,THT,TTH,TTT},E5:從一批電子元件中任取一只測試其壽命.,??5={t|t≥0},1.離散樣本空間.,2.連續(xù)樣本空間.,如E1中,“出現(xiàn)正面”;E3中，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”;E5中{1000
0,則有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).,一般,設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件,(n≥2),P(A1A2...An-1)>0,則有乘法公式:,P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2)P(An|A1A2…An-1).,例３透鏡第一次落下打破的概率為0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為獲0.7,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為0.9,試求透鏡落下三次而未打破的概率.,練習(xí)：設(shè)盒中有a(a>2)個(gè)黑球，b個(gè)白球，連續(xù)從盒中取球3次，每次取一球，取后不放回，求1次取到黑球，第2,3次取到白球的概率。,解：以Ai表示事件“第i次取到黑球”(i=1,2,3),,(三)全概率公式和貝葉斯公式:,例1.某電子設(shè)備廠所用的晶體管由三家元件制造廠提供,數(shù)據(jù)如下:元件制造廠次品率提供的份額10.020.1520.010.8030.030.05從中任取一只晶體管,它是次品的概率是多少？,全概率公式:,例1(續(xù)).Ａ:產(chǎn)品為次品,Bi:產(chǎn)品由工廠i生產(chǎn),元件制造廠次品率提供的份額10.020.1520.010.8030.030.05,運(yùn)用全概率公式可得,例2某產(chǎn)品整箱出售每箱20個(gè)，各箱有0，1，2個(gè)次品的概率分別為0.8,0.1,0.1。顧客購買時(shí)選取一箱從中任取4只檢查，若無次品則買下該箱產(chǎn)品，若有次品則退回，求顧客買下該箱產(chǎn)品的概率。,解：以Bj表示“選取的一箱產(chǎn)品中有j個(gè)次品”(j=0,1,2),則Bj構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分.A表示“顧客買下該箱產(chǎn)品”,練習(xí):甲箱中裝有3只紅球和2只白球,乙箱中2只紅球和2白球,從甲箱中取兩只球放入乙箱中,再從乙箱中取1球,求A:“從乙箱取得白球”的概率.,解設(shè)Bi={從甲箱中取出i只白球}i=0,1,2.則B0,B1,B2構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分。有,由全概率公式,貝葉斯公式:,例3(續(xù)1)任取一只晶體管,若它是次品,則它由1號(hào)工廠生產(chǎn)的概率分別是多少?,10.020.1520.010.8030.030.05,注:1.P(Bi)稱為先驗(yàn)概率。事件B1,B2,…,Bn被看作是引起事件A發(fā)生的n個(gè)原因。,2.P(Bi|A)通常稱為后驗(yàn)概率。事件A表示結(jié)果，P(Bi|A)表示A的發(fā)生是由第i個(gè)原因引起的概率。,求結(jié)果：全概公式求原因：貝葉斯公式,例４在數(shù)字通訊中，發(fā)送信號(hào)０和１的概率分別為0.7和0.3;發(fā)送0收到1的概率為0.2;發(fā)送1收到1的概率為0.9。求收到信號(hào)為1時(shí)發(fā)送信號(hào)為1的概率。,解：A—接收信號(hào)為1,練習(xí)：機(jī)器良好時(shí),生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率為90%,而當(dāng)機(jī)器有故障時(shí),其合格率為30%,每天開機(jī)時(shí)機(jī)器良好的概率為75%。已知某日第一件產(chǎn)品是合格品,問機(jī)器良好的概率是多少?,解:A表“產(chǎn)品合格”,B為“機(jī)器良好”,,=(0.9?0.75)/(0.9?0.75+0.3?0.25)=0.9.,1.5獨(dú)立性,若P(B|A)=P(B),由乘法公式有,P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,一般地,P(B|A)≠P(B).,例1設(shè)袋中有a只紅球和b只白球，今從袋中取球兩次,每次各取一球,記:A,B分別表示“第一、二次取得紅球”。,2.有放回時(shí):,1.不放回時(shí):,定義1:設(shè)A,B是兩事件,如果滿足等式P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B是相互獨(dú)立的事件.,注：必然事件?和不可能事件?與任何事件A都獨(dú)立,定理：如果事件A,B相互獨(dú)立，且P(B)>0,則P(A|B)=P(A),例2甲、乙兩射手向同一目標(biāo)獨(dú)立射擊,甲擊中目標(biāo)的概率為0.9，乙擊中目標(biāo)的概率為0.8，求在一次射擊中目標(biāo)被擊中的概率。,解：A—甲擊中目標(biāo)，B—乙擊中目標(biāo)，,定義2:設(shè)A,B,C是三個(gè)事件,若滿足:P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則稱A,B,C為相互獨(dú)立的事件.,定義3：對n個(gè)事件A1,A2,…,An,如果對所有可能的組合1≤is)=P(X>t),(三)正態(tài)分布:,性質(zhì):,如何計(jì)算?,轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行計(jì)算。,(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:,,(3)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,引理對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有,練習(xí)設(shè)X~N(0.5,9),求P(|X|>2),例2公共汽車車門的高度是按男子與車門碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下設(shè)計(jì)的，設(shè)男子身高X?N(170,62)(厘米），問車門高度應(yīng)為多少？,解：設(shè)車門高度為h,按題意有,P(X>h)0)的概率密度。,二、X為連續(xù)型---分布函數(shù)法,于是求導(dǎo)可得,2.已知一年中某種人群死亡率為0.0005,該人群有10000人參加人壽保險(xiǎn),每人保費(fèi)5元.若未來一年中死亡,則得到賠償5000.求:(1)未來一年中保險(xiǎn)公司至少獲利10000元的概率。(2)虧本的概率。,練習(xí)：1.一個(gè)盒子中放有N個(gè)編號(hào)1~N的標(biāo)簽N個(gè),從中又放回地抽取n個(gè)，求取出的最大號(hào)碼X的分布率。,作業(yè)：9，10，12，16,27，29，34，37,41，43，48,第三章多維隨機(jī)變量及其分布,n維隨機(jī)變量定義:若X1(?)X2(?),…,Xn(?)是定義在樣本空間上?的n個(gè)隨機(jī)變量,則稱,構(gòu)成一個(gè)n維隨機(jī)變量,簡記為X=(X1,X2,…,Xn),1.二維隨機(jī)變量(聯(lián)合)分布函數(shù):,聯(lián)合分布函數(shù).,3.1二維隨機(jī)變量,(1)F(x,y)是變量x或y的單調(diào)不減函數(shù)，即,聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：,(3)F(x,y)關(guān)于x,y都是右連續(xù)的，即,2.二維隨機(jī)變量的分布,二維離散型隨機(jī)變量的分布律,例1一袋子中有5個(gè)球，其中2個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字“1”，3個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字“0”。在有放回和無放回情況下各取兩個(gè)球，X,Y分別表示第一、二次取得的數(shù)字，求(X,Y)的聯(lián)合分布律。,解:(X,Y)的可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(1)有放回取球，對應(yīng)概律為,P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)=3/5?3/5=9/25,(X,Y)的分布律為,,例2.設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值,隨機(jī)變量Y則在1~X中等可能地取一整數(shù),試求(X,Y)的分布律.,二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度,,二維均勻分布及二維正態(tài)分布,1.二維均勻分布,區(qū)域G的面積為A,若(X,Y)具有概率密度,則稱(X,Y)在G上服從均勻分布.,2.二維正態(tài)分布,(X,Y)具有概率密度,2.邊緣分布,一、邊緣分布函數(shù)：,二、邊緣分布律：,二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分量X,Y的分布律P(X=xi),P(Y=yj)(i=1,2,…)分別稱為(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣分布律。,設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,…)則關(guān)于X的邊緣分布律為,例1(續(xù))求關(guān)于X和Y的邊緣分布律。,無放回取球,有放回取球,兩種取球方式下邊緣分布均為,pk,pk,三、邊緣概率密度:,所以，關(guān)于X的邊緣密度為,例1設(shè)(X,Y)在G上服從均勻分布，求其邊緣密度,解：因G的面積為1/2，所以,,練習(xí),3.條件分布,一、二維離散型變量的情況:,例1以X,Y分別表示某醫(yī)院一天中出生的嬰兒總數(shù)和男嬰數(shù)。(X,Y)的聯(lián)合分布律為,求:(1)邊緣分布律(2)條件分布律,例2一射擊手進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)的概率為p(0
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