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2019-2020年八年級數(shù)學下冊 17.2實際問題與反比例函數(shù)第三課時教案 人教新課標版 教學目標 1．知識與技能 學會把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，進一步理解反比例函數(shù)關(guān)系式的構(gòu)造，掌握用反比例函數(shù)的方法解決實際問題． 2．過程與方法 感受實際問題的探索方法，培養(yǎng)化歸的數(shù)學思想和分析問題的能力． 3．情感、態(tài)度與價值觀 體驗函數(shù)思想在解決實際問題中的應(yīng)用，養(yǎng)成用數(shù)學的良好習慣． 教學重點難點 重點：用反比例函數(shù)解決實際問題． 難點：構(gòu)建反比例函數(shù)的數(shù)學模型． 課時安排 2課時 教與學互動設(shè)計 第1課時 （一）創(chuàng)設(shè)情境，導入新課 一位司機駕駛汽車從甲地去乙地，他以80千米／時的平均速度用6小時到達目的地． （1）當他按原路勻速反回時，汽車的速度v與時間t有怎樣的函數(shù)關(guān)系？ （2）若該司機必須在4個小時內(nèi)回到甲地，則返程的速度不能低于多少？ （二）合作交流，解讀探究 探究 （1）原路返回，說明路程不變，則806=480千米，因而速度v和時間t滿足：vt=480或v=的反比例函數(shù)關(guān)系式． （2）若要在4小時內(nèi)回到甲地（原路），則速度顯然不能低于=120（千米/時）． 歸納 常見的與實際相關(guān)的反比例 （1）面積一定時，矩形的長與寬成反比例； （2）面積一定時，三角形的一邊長與這邊上的高成反比例； （3）體積一定時，柱（錐）體的底面積與高成反比例； （4）工作總量一定時，工作效率與工作時間成反比例； （5）總價一定時，單價與商品的件數(shù)成反比例； （6）溶質(zhì)一定時，溶液的濃度與質(zhì)量成反比例． （三）應(yīng)用遷移，鞏固提高 例1近視眼鏡的度數(shù)y（度）與焦距x（m）成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25m． （1）試求眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）求1 000度近視眼鏡鏡片的焦距． 【分析】 把實際問題轉(zhuǎn)化為求反比例函數(shù)的解析式的問題． 解：（1）設(shè)y=，把x=0.25，y=400代入，得400=， 所以，k=4000.25=100，即所求的函數(shù)關(guān)系式為y=． （2）當y=1 000時，1000=，解得=0.1m． 例2如圖所示是某一蓄水池每小時的排水量V（m3/h）與排完水池中的水所用的時間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系圖象． （1）請你根據(jù)圖象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量； （2）寫出此函數(shù)的解析式； （3）若要6h排完水池中的水，那么每小時的排水量應(yīng)該是多少？ （4）如果每小時排水量是5 000m3，那么水池中的水將要多少小時排完？ 【分析】 當蓄水總量一定時，每小時的排水量與排水所用時間成反比例． 解：（1）因為當蓄水總量一定時，每小時的排水量與排水所用時間成反比例，所以根據(jù)圖象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量為：4 00012=48 000（m3）． （2）因為此函數(shù)為反比例函數(shù)，所以解析式為：V=； （3）若要6h排完水池中的水，那么每小時的排水量為：V==8000（m3）； （4）如果每小時排水量是5 000m3，那么要排完水池中的水所需時間為：t= =8000（m3） 備選例題 （中考四川）制作一種產(chǎn)品，需先將材料加熱到達60℃后，再進行操作．設(shè)該材料溫度為y（℃），從加熱開始計算的時間為x（分鐘）．據(jù)了解，設(shè)該材料加熱時，溫度y與時間x完成一次函數(shù)關(guān)系；停止加熱進行操作時，溫度y與時間x成反比例關(guān)系（如圖所示）．已知該材料在操作加工前的溫度為15℃，加熱5分鐘后溫度達到60℃． （1）分別求出將材料加熱和停止加熱進行操作時，y與x的函數(shù)關(guān)系式； （2）根據(jù)工藝要求，當材料的溫度低于15℃時，須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了多少時間？ 【答案】 （1）將材料加熱時的關(guān)系式為：y=9x+15（0≤x≤5），停止加熱進行操作時的關(guān)系式為y=（x>5）；（2）20分鐘． （四）總結(jié)反思，拓展升華 1．學會把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，充分體現(xiàn)數(shù)學知識來源于實際生活又服務(wù)于實際生活這一原理． 2．能用函數(shù)的觀點分析、解決實際問題，讓實際問題中的量的關(guān)系在數(shù)學模型中相互聯(lián)系，并得到解決． （五）課堂跟蹤反饋 夯實基礎(chǔ) 1．A、B兩城市相距720千米，一列火車從A城去B城． （1）火車的速度v（千米/時）和行駛的時間t（時）之間的函數(shù)關(guān)系是 v= ． （2）若到達目的地后，按原路勻速原回，并要求在3小時內(nèi)回到A城，則返回的速度不能低于 240千米/小時 ． 2．有一面積為60的梯形，其上底長是下底長的，若下底長為x，高為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系是 y= ． 3．（中考長沙）已知矩形的面積為10，則它的長y與寬x之間的關(guān)系用圖象大致可表示為 （A） 4．下列各問題中，兩個變量之間的關(guān)系不是反比例函數(shù)的是（C） A．小明完成100m賽跑時，時間t（s）與他跑步的平均速度v（m/s）之間的關(guān)系 B．菱形的面積為48cm2，它的兩條對角線的長為y（cm）與x（cm）的關(guān)系 C．一個玻璃容器的體積為30L時，所盛液體的質(zhì)量m與所盛液體的體積V之間的關(guān)系 D．壓力為600N時，壓強p與受力面積S之間的關(guān)系 提升能力 5．面積為2的△ABC，一邊長為x，這邊上的高為y，則y與x的變化規(guī)律用圖象表示大致是（C） 開放探究 6．為了預防流行性感冒，某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒．已知，藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例，藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖所示）．現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克，請你根據(jù)題中所提供的信息，解答下列問題： （1）藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為： y=x ，自變量的取值范圍是： 00，所以由≤12，可得R≥． 例2某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（千帕）是氣球體積V（m3）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示（千帕是一種壓強單位）． （1）寫出這個函數(shù)的解析式； （2）當氣球體積為0.8m3時，氣球內(nèi)的氣壓是多少千帕？ （3）當氣球內(nèi)的氣壓大于144千帕時，氣球?qū)⒈?，為了完全起見?氣球的體積應(yīng)不小于多少？ 【分析】 在此題中，求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵． 解：設(shè)函數(shù)的解析式為P=，把點A（1.5，64）的坐標代入，得k=96，所以所求的解析式為P=； （2）V=0.8m3時，P==120（千帕）； （3）由題意P≤144（千帕），所以≤144，所以V≥=（m3）即氣體的體積應(yīng)不小于m3． 備選例題 1．（中考變式荊州）在某一電路中，電流I、電壓U、電阻R三者之間滿足關(guān)系I=． （1）當哪個量一定時，另兩個量成反比例函數(shù)關(guān)系？ （2）若I和R之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖，試猜想這一電路的電壓是______伏． 2．（中考揚州）已知力F對一個物體作的功是15焦，則力F與此物體在力在方向上移動的距離S之間的函數(shù)關(guān)系式的圖象大致是（ ） 【答案】 1．（1）當電壓U一定時，電流I與電阻R成反比例函數(shù)關(guān)系，（2）10；2．B （四）總結(jié)反思，拓展升華 1．把實際問題中的數(shù)量關(guān)系，通過分析、轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系． 2．利用構(gòu)建好的數(shù)學模型、函數(shù)的思想解決這類問題． 3．注意學科之間知識的滲透． （五）課堂跟蹤反饋 夯實基礎(chǔ) 1．在一定的范圍內(nèi)，某種物品的需求量與供應(yīng)量成反比例．現(xiàn)已知當需求量為500噸時，市場供應(yīng)量為10 000噸，試求當市場供應(yīng)量為16 000噸時的需求量是 312.5噸 ． 2．某電廠有5 000噸電煤． （1）這些電煤能夠使用的天數(shù)x（天）與該廠平均每天用煤噸數(shù)y（噸）之間的函數(shù)關(guān)系是 y= ； （2）若平均每天用煤200噸，這批電煤能用是 25 天； （3）若該電廠前10天每天用200噸，后因各地用電緊張，每天用煤300噸，這批電煤共可用是 20 天． 提升能力 3．一種電器的使用壽命n（月）與平均每天使用時間t（小時）成反比例，其關(guān)系如圖所示． （1）求使用壽命n（月）與平均每天使用時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式是 n= ； （2）當t=5小時時，電器的使用壽命是 96（月） ． 4．某人用50N的恒定壓力用氣筒給車胎打氣． （1）打氣所產(chǎn)生的壓強P（帕）與受力面積S（米2）之間的函數(shù)關(guān)系是： P= ． （2）若受力面積是100cm2，則產(chǎn)生的壓強是 5 000P ； （3）你能根據(jù)這一知識解釋：為什么刀刃越鋒利，刀具就越好用嗎？為什么坦克的輪子上安裝又寬又長的履帶呢？ 【答案】 接觸面積越小，壓強越大，故刀具越好用，反之可解釋坦克裝履帶現(xiàn)象． 開放探究 5．一封閉電路中，當電壓是6V時，回答下列問題： （1）寫出電路中的電流I（A）與電阻R（Ω）之間的函數(shù)關(guān)系式是 I= ． （2）畫出該函數(shù)的圖象． 【答案】 略 （3）如果一個用電器的電阻是5Ω，其最大允許通過的電流為1A，那么只把這個用電器接在這個封閉電路中，會不會燒壞？試通過計算說明理由． 【答案】 可能燒壞 6．如圖所示是某個函數(shù)圖象的一部分，根據(jù)圖象回答下列問題： （1）這個函數(shù)圖象所反映的兩個變量之間是怎樣的函數(shù)關(guān)系？ 【答案】 反比例函數(shù) （2）請你根據(jù)所給出的圖象，舉出一個合乎情理且符合圖象所給出的情形的實際例子． 【答案】 如：電壓一定時電流強度與電阻；路程一定時，速度與時間之間等． （3）寫出你所舉的例子中兩個變量的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍． 【答案】 注意自變量的范圍在1～6之間． （4）說出圖象中A點在你所舉例子中的實際意義． 【答案】 根據(jù)所舉的例子，當自變量為2時，函數(shù)值為3即可． 資料鏈接 數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點 在古希臘，人們十分重視幾何學的研究，開始是測量土地的需要．幾何學這個名詞在希臘文中就是“量地”的意思，后來發(fā)展成一門獨立學科，被譽為“理智的財富”．當時一個人如果不懂得幾何學，就不能認為是有學問的人．哲學家柏拉圖甚至說：“上帝也常常以幾何學家自居”．但是當時的希臘對代數(shù)學的研究卻很忽視．然后我們中國，還有阿拉伯和印度則與此相反，代數(shù)學有了高度發(fā)展，幾何學卻不很重視．以上兩種偏向都影響了數(shù)學的進步．到了17世紀，法國杰出的數(shù)學家笛卡兒分析了它們各自的缺陷后說：“我想應(yīng)當去尋求另外一種包含這兩門科學的好處而沒有它們特點的方法”．他真的找到了這種方法，就是代數(shù)學和幾何學的統(tǒng)一──解析幾何學，把形和數(shù)聯(lián)系了起來．笛卡兒發(fā)現(xiàn)，代數(shù)方法和幾何方法可以通過坐標系聯(lián)系起來．他的基本思想是：平面上點的坐標觀念和把帶兩個變數(shù)的任意代數(shù)方法看成平面上的一條曲線的觀念． 沒有坐標系就沒有解析幾何，而坐標系的原始概念在古代航海、測量以至下棋中就產(chǎn)生了．另外，笛卡兒的坐標系統(tǒng)和方法當時并不是很完備的，后人又不斷予以發(fā)展，才形成了今天的解析幾何學．當然必須承認，笛卡兒所開創(chuàng)的解析幾何方法，為解析幾何學的建立和發(fā)展作出了巨大貢獻． 解析幾何方法建立后，它立即發(fā)揮了巨大的作用，主要是使變量進入了數(shù)學，引起了數(shù)學的深刻革命．可以這樣說，沒有解析幾何方法，微分法和積分法的建立是不可想象的，而這三門學科的發(fā)展，最后改變了整個數(shù)學的面貌． 恩格斯指出，數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)．有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，而它們也就立即產(chǎn)生． 笛卡兒，毫無疑問是世界上最偉大的數(shù)學家之一． 課 題 反比例函數(shù) 課時序數(shù) 3 備課時間 授課時間 主備人 教學目標 1.綜合運用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的知識解決有關(guān)問題； 2.借助一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象解決某些簡單的實際問題． 教學重點 1.進一步探求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，感受用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法； 2.通過培養(yǎng)學生看圖（象）、識圖（象）、讀圖（象）能力、體會用“數(shù)、形”結(jié)合思想解答函數(shù)題． 教學難點 教 學 過 程 一、創(chuàng)設(shè)情境 已知正比例函數(shù)y＝ax和反比例函數(shù)的圖象相交于點(1,2)，求兩函數(shù)解析式． 分析 根據(jù)題意可作出圖象．點(1,2)在正比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖象上，把點(1,2)代入正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式中，求出a和b． 解 因為點(1,2)在正比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖象上， 把x＝1，y＝2分別代入y＝ax和中，得2＝a，，b＝2． 所以正比例函數(shù)解析式為y＝2x．反比例函數(shù)解析式為． 二、探究歸納 綜合運用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的知識解題，一般先根據(jù)題意畫出圖象，借助圖象和題目中提供的信息解題． 三、實踐應(yīng)用 例1 已知直線y＝x＋b經(jīng)過點A(3,0)，并與雙曲線的交點為B(－2，m)和C，求k、b的值． 解 點A(3,0)在直線y＝x＋b上，所以0＝3＋b，b＝－3． 一次函數(shù)的解析式為：y＝x－3． 又因為點B(－2，m)也在直線y＝x－3上，所以m＝－2－3＝－5，即B(－2,－5)． 而點B(－2,－5)又在反比例函數(shù)上，所以k＝－2(－5)＝10． 改筆欄 例2 已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y＝k2x－1的圖象交于A(2,1)． (1)分別求出這兩個函數(shù)的解析式； (2)試判斷A點關(guān)于坐標原點的對稱點與兩個函數(shù)圖象的關(guān)系． 分析 (1)因為點A在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上，把A點的坐標代入這兩個解析式即可求出k1、k2的值． (2)把點A關(guān)于坐標原點的對稱點A′坐標代入一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式中，可知A′是否在這兩個函數(shù)圖象上． 解 (1)因為點A(2,1)在反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象上，所以k1＝21＝2． 1＝2 k2－1，k2＝1． 所以反比例函數(shù)的解析式為：；一次函數(shù)解析式為：y＝x－1． (2)點A(2,1)關(guān)于坐標原點的對稱點是A′(－2,－1)． 把A點的橫坐標代入反比例函數(shù)解析式得，，所以點A在反比例函數(shù)圖象上． 把A點的橫坐標代入一次函數(shù)解析式得，y＝－2－1＝－3，所以點A不在一次函數(shù)圖象上． 四、交流反思 1．綜合運用一次函數(shù)和反比例函數(shù)求解兩種函數(shù)解析式，往往仍用待定系數(shù)法． 2．觀察圖象，把圖象中提供、展現(xiàn)的信息轉(zhuǎn)化為與兩函數(shù)有關(guān)的知識來解題． 五、檢測反饋 1.已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象過點A(0,1)和點B(a,－3a)(a＞0)，且點B在反比例函數(shù)的圖象上，求a及一次函數(shù)式． 2.已知關(guān)于x的一次函數(shù)y＝mx＋3n和反比例函數(shù)圖象都經(jīng)過點(1,－2)，求這個一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式． 教后記