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2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)匯總 考點(diǎn)42 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（含解析） 一、選擇題 1. (xx湖北高考文科T8)設(shè)a,b是關(guān)于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的兩個不等實(shí)根,則過A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線與雙曲線 -=1的公共點(diǎn)的個數(shù)為　(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解題提示】求出過A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線為y=-x,結(jié)合雙曲線的漸近線方程,可得結(jié)論. 【解析】選A.由于a,b是關(guān)于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的兩個不等實(shí)根, 所以a+b=-,ab=0, 過A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線為y-a2= (x-a), 即y=(b+a)x-ab,即y=-x, 因?yàn)殡p曲線 -=1的一條漸近線方程為 y=-x, 所以過A(a,a2),B(b,b2)兩點(diǎn)的直線與雙曲線 -=1的公共點(diǎn)的個數(shù)為0. 2.（xx遼寧高考文科Ｔ8）已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，記的焦點(diǎn)為，則直線的斜率為 【解題提示】由拋物線的定義知的值，也就確定了拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；利用直線的斜率公式求出直線的斜率 【解析】選Ｃ. 根據(jù)已知條件得，所以從而拋物線方程為，其焦點(diǎn) 從而直線的斜率為 二、填空題 3.（xx安徽高考文科Ｔ15）若直線與曲線滿足下列兩個條件： 直線在點(diǎn)處與曲線相切；曲線在附近位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點(diǎn)處“切過”曲線. 下列命題正確的是_________(寫出所有正確命題的編號) ①直線在點(diǎn)處“切過”曲線： ②直線在點(diǎn)處“切過”曲線： ③直線在點(diǎn)處“切過”曲線： ④直線在點(diǎn)處“切過”曲線： ⑤直線在點(diǎn)處“切過”曲線： 【解題提示】根據(jù)各選項(xiàng)分別判斷。 【解析】根據(jù)題意滿足條件的有（1）（3）（4），剩余選項(xiàng)（2）（5）都在切線的一邊。 答案：??④ 4.（xx安徽高考理科Ｔ14））設(shè)分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若軸，則橢圓的方程為__________ 【解題提示】構(gòu)造直角三角形，利用線段平行、垂直關(guān)系及點(diǎn)A,B在橢圓上求得參數(shù)b. 【解析】如圖所示，設(shè)，作,則 ① ② 又點(diǎn)A,B在橢圓上，所以與①②聯(lián)立解得。 所以橢圓方程為。 5. （xx湖南高考文科Ｔ14）平面上以機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)的距離和到直線的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)且斜率為的直線，則的取值范圍是 【解題提示】根據(jù)拋物線的定義和直線與圓錐曲線的關(guān)系求解。 【解析】把機(jī)器人看做一個動點(diǎn)，則根據(jù)拋物線定義知道它的軌跡為拋物線，其方程為，過點(diǎn)且斜率為的直線方程為，兩個方程聯(lián)立，消去y得，由題意， 所以。 答案： 三、解答題 6. (xx新課標(biāo)全國卷Ⅱ高考理科數(shù)學(xué)T20)(本小題滿分12分)設(shè)F1,F2分別是橢圓+=1的左右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點(diǎn)為N. (1)若直線MN的斜率為,求C的離心率. (2)若直線MN在y軸上的截距為2,且=5,求a,b. 【解題提示】(1)利用直線MN的斜率為再結(jié)合a2=b2+c2表示出關(guān)于離心率e的方程,解方程求得離心率. (2)結(jié)合圖形,利用橢圓的性質(zhì)和焦半徑公式求得a,b. 【解析】(1)因?yàn)橛深}知, =,所以=,且a2=b2+c2.聯(lián)立整理得:2e2+3e-2=0, 解得e=.所以C的離心率為. (2)由三角形中位線知識可知,MF2=22,即=4. 設(shè)F1N=m,由題可知MF1=4m.由兩直角三角形相似,可得M,N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為c,- c.由焦半徑公式可得: MF1=a+ec,NF1=a+e,且MF1∶NF1=4∶1,e=,a2=b2+c2.聯(lián)立解得a=7,b=2. 所以,a=7,b=2. 7. （xx湖南高考文科Ｔ20）（本小題滿分13分） 如圖5，為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線和橢圓均過點(diǎn)，且以的兩個頂點(diǎn)和的兩個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形. （1） 求的方程； （2） 是否存在直線，使得與交于兩點(diǎn)，與只有一個公共點(diǎn)，且？證明你的結(jié)論. 【解題提示】利用橢圓的定義和直線與圓錐曲線位置關(guān)系，聯(lián)立方程組，求解。 【解析】（1）設(shè)的焦距為，由題意知，從而因?yàn)辄c(diǎn)，在雙曲線上，所以，故 由橢圓的定義知 于是， 故的方程分別為 （2）不存在符合題設(shè)條件的直線 （i）若直線垂直于x軸， 因?yàn)榕c只有一個公共點(diǎn)，所以直線的方程為或 當(dāng)時，易知,所以 ，此時， 當(dāng)，同理可知 (ii)若直線不垂直于x軸，設(shè)的方程為 由得 當(dāng)與相交于A,B兩點(diǎn)時，設(shè)，則是上述方程的兩個實(shí)根，從而， 于是 由得 因?yàn)橹本€與只有一個公共點(diǎn)，所以上述方程的判別式 化簡，得。因此 于是 即，故 綜合（i）（ii）可知，不存在符合題設(shè)條件的直線 8.(xx廣東高考文科T20)(14分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點(diǎn)為(,0),離心率為. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)若動點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程. 【解題提示】(1)由c,e,求出b得橢圓方程,(2)要分切線斜率是否存在加以討論. 【解析】(1)因?yàn)閏=,離心率e=, 所以a=3,b=2, 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)方法一:若有一條切線斜率不存在, 則另一條斜率為0, 此時點(diǎn)P有四個點(diǎn), 分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 當(dāng)兩條切線斜率都存在時, 設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0), 代入+=1中, 整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0, 切線與橢圓只有一個公共點(diǎn), 則Δ=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0, 進(jìn)一步化簡得(-9)k2-2x0y0k+-4=0. 因?yàn)閮蓷l切線相互垂直,所以k1k2=-1, 也就是=-1,則+=13. 顯然,點(diǎn)(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13, 所以點(diǎn)P的軌跡方程為+=13. 方法二:若有一條切線斜率不存在, 則另一條斜率為0, 此時點(diǎn)P有四個點(diǎn),分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 當(dāng)兩條切線斜率都存在時, 設(shè)切點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2), 則+=1且+=1. 兩條切線方程分別為+=1和+=1, 因?yàn)閮蓷l切線都過點(diǎn)P(x0,y0), 所以+=1且+=1, 因?yàn)閮蓷l切線相互垂直, 所以k1=,k2=且k1k2=-1, 也就是=-1, 整理得+=13. 顯然,點(diǎn)(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13, 所以點(diǎn)P的軌跡方程為+=13. 9.(xx廣東高考理科)(14分) 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點(diǎn)為(,0),離心率為. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)若動點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程. 【解題提示】(1)由c,e,求出b得橢圓方程,(2)要分切線斜率是否存在加以討論. 【解析】(1)因?yàn)閏=,離心率e=, 所以a=3,b=2, 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)方法一:若有一條切線斜率不存在,則另一條斜率為0, 此時點(diǎn)P有四個點(diǎn),分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 當(dāng)兩條切線斜率都存在時,設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0), 代入+=1中, 整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0, 切線與橢圓只有一個公共點(diǎn), 則Δ=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0, 進(jìn)一步化簡得(-9)k2-2x0y0k+-4=0. 因?yàn)閮蓷l切線相互垂直,所以k1k2=-1, 也就是=-1,則+=13. 顯然,點(diǎn)(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13, 所以點(diǎn)P的軌跡方程為+=13. 方法二:若有一條切線斜率不存在,則另一條斜率為0, 此時點(diǎn)P有四個點(diǎn),分別是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 當(dāng)兩條切線斜率都存在時,設(shè)切點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2), 則+=1且+=1. 兩條切線方程分別為+=1和+=1, 因?yàn)閮蓷l切線都過點(diǎn)P(x0,y0),所以+=1且+=1, 因?yàn)閮蓷l切線相互垂直,所以k1=,k2=且k1k2=-1, 也就是=-1,整理得+=13. 顯然,點(diǎn)(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)也適合方程+=13, 所以點(diǎn)P的軌跡方程為+=13. 10.（xx福建高考理科Ｔ19）（本小題滿分13分）已知雙曲線的兩條漸近線分別為. （1）求雙曲線的離心率； （2）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動直線分別交直線于兩點(diǎn)（分別在第一， 四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個公 共點(diǎn)的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在，說明理由。 【解題指南】⑴由漸近線可知，由基本量關(guān)系式求；⑵設(shè)直線，再根據(jù)條件建立k,m的兩個方程． 【解析】解法一：(1)∵雙曲線的漸近線分別為，……………1分 ∴，有，即，于是雙曲線的離心率；…3分 (2)由(1)知，雙曲線E的方程為.設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)， 當(dāng)軸時，若直線與雙曲線E有且只有一個公共點(diǎn)， 則，又因?yàn)榈拿娣e為8， ∴，即，解得， 此時雙曲線E的方程為.……………………………………………6分 若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為. 以下證明：當(dāng)直線不與軸垂直時，雙曲線也滿足條件，……7分 設(shè)直線的方程，依題意，得或，………………………8分 則，記， 由得，同理， 由得， 即，……………………………………………………10分 由得，∵， ∴，又， ∴，即直線與雙曲線E有且只有一個公共點(diǎn).……………………………12分 因此，存在總與直線有且只有一個公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程只能為…………………………………………………………………13分 方法二：(1)同方法一； (2)由(1)知，雙曲線E的方程為. 設(shè)直線的方程為，，依題意得， 由得，同理， 設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，則， 由得，∴， 由得，∵， ∴直線與雙曲線E有且只有一個公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng) ，即， ∴，即，有， 因此，存在總與直線有且只有一個公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程只能為. 方法三：(1)同方法一； (2)當(dāng)直線不與軸垂直時，設(shè)直線，， 依題意得或， 由得，由，，得， 又因?yàn)榈拿娣e為8，所以，而， ∴，化簡得，∴，即， 由(1)得雙曲線E的方程為， 由得， 因?yàn)椋本€與雙曲線E有且只有一個公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng) ，即，有， ∴雙曲線E的方程為， 當(dāng)軸時，由的面積為8，可得，又知與雙曲線 有且只有一個公共點(diǎn)， 綜上，存在總與直線有且只有一個公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程只能為. 11. （xx遼寧高考理科Ｔ20）（本小題滿分12分） 圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當(dāng)該三角形面積最小時，切點(diǎn)為P（如圖），雙曲線過點(diǎn)P且離心率為. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）橢圓過點(diǎn)P且與有相同的焦點(diǎn)，直線過的右焦點(diǎn)且與交于A，B兩點(diǎn)，若以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)P，求的方程. 【解析】（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，.則切線斜率為 切線方程為，即，而，所以切線方程為.切線與兩坐標(biāo)軸的正半軸的交點(diǎn)為，切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的三角形面積為 由（當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值，即有最小值，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題意得解得 故的方程為 （Ⅱ）由（1）知，橢圓的焦點(diǎn)為，因此設(shè)橢圓的方程為 .由點(diǎn)在橢圓上，得， 解得；因而的方程為 當(dāng)直線的斜率不存在時，的方程為，易知,以線段AB為直徑的圓不經(jīng)過點(diǎn)P；不合題意. 當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為,， 則是方程組的解. 整理得 由韋達(dá)定理， ① 所以 ② 由題意知,從而 因?yàn)? 所以 即 所以 將①②代入解得或 因此的方程為或 即或 12. （xx遼寧高考理科Ｔ20）（本小題滿分12分）圓的切線與錯誤！未找到引用源。軸正半軸，軸正半軸圍成一個三角形，當(dāng)該三角形面積最小時，切點(diǎn)為. （Ⅰ）求點(diǎn)的坐標(biāo)； （Ⅱ）焦點(diǎn)在錯誤！未找到引用源。軸上的橢圓錯誤！未找到引用源。過點(diǎn)錯誤！未找到引用源。，且與直線交于兩點(diǎn)，若的面積為，求錯誤！未找到引用源。的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【解析】（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，.則切線斜率為 切線方程為，即，而，所以切線方程為.切線與兩坐標(biāo)軸的正半軸的交點(diǎn)為，切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成的三角形面積為 由（當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值，即有最小值，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為. （Ⅱ）設(shè)C的方程為，點(diǎn)，則是方程組的解.整理得， 由偉達(dá)定理得， 又 所以 而點(diǎn)到直線的距離 所以 則 又由點(diǎn)在C上知. 解得.故所求C的方程為 13. （xx山東高考理科Ｔ21） 已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有.當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時，為正三角形. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點(diǎn)， （?。┳C明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)； （ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由. 【解題指南】（Ⅰ）由拋物線的定義及已知條件點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時，為正三角形.可求得p的值.（Ⅱ）（?。┫仍O(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo),根據(jù)表示出D點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)求出AE的方程，即可判斷AE是否過定點(diǎn).（ⅱ）可利用設(shè)出的A點(diǎn)坐標(biāo)表示出的面積，然后利用基本不等式求出最值. 【解析】（Ⅰ）由題意知 設(shè)， 因?yàn)? 由拋物線的定義知， 解得t=3+p或t=-3(舍去)， 由，解得p=2. 所以拋物線的方程為. （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知F(1，0) 因?yàn)?則， 故直線AB的斜率，因?yàn)橹本€和直線AB平行， 設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得， 由題意 設(shè). 當(dāng)， 可得直線AE的方程為，由， 整理可得，直線AE恒過點(diǎn)F（1,0）， 直線AE的方程為x=1，過點(diǎn)F（1,0）， 所以直線AE過定點(diǎn)F（1,0）. （ii）由（i）知直線AE過焦點(diǎn)F（1,0）， 所以， 設(shè)直線AE的方程為x=my+1, 因?yàn)辄c(diǎn)在直線AE上，故, 直線AB的方程為， 由于， 可得，代入拋物線方程得 所以， 可求得， 所以點(diǎn)B到直線AE的距離為 則的面積 14. （xx山東高考文科Ｔ21） 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不是橢圓的頂點(diǎn)），點(diǎn)在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn). （i）設(shè)直線的斜率分別為.證明存在常數(shù)使得，并求出的值； （ii）求面積的最大值. 【解題指南】（Ⅰ）求橢圓的方程即求出a,b,的值即可. （Ⅱ）可先設(shè)出直線方程，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，找出兩個斜率之間的關(guān)系，第二小問，可直接用表示出來面積，再利用基本不等式求出最大值. 【解析】(1) 設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn).不妨設(shè)點(diǎn)為直線和橢圓在第一象限的交點(diǎn). (2)(i)設(shè)，則， 因?yàn)橹本€AB的斜率， 又,所以直線AD的斜率 設(shè)直線AD的方程為， 由題意知. 由可得. 所以 因此. 由題意知 所以 所以直線BD的方程為. 令y=0，得 可得 所以. 因此存在常數(shù)使得結(jié)論成立. （ii）直線BD的方程為. 令x=0得，即， 由（i）知 可得的面積. 因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時等號成立， 此時S取得最大值， 所以的面積為最大值.