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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十二講 園冪定理 相交弦定理、切割線定理、割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理．圓冪定理實(shí)質(zhì)上是反映兩條相交直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)定理，其本質(zhì)是與比例線段有關(guān)． 相交弦定理、切割線定理、割線定理有著密切的聯(lián)系，主要體現(xiàn)在： 1．用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，切割線定理、割線定理是相交弦定理另一種情形，即移動(dòng)圓內(nèi)兩條相交弦使其交點(diǎn)在圓外的情況； 2．從定理的證明方法看，都是由一對(duì)相似三角形得到的等積式． 熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論： 【例題求解】 【例1】 如圖，PT切⊙O于點(diǎn)T，PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，且與直徑CT交于點(diǎn)D，CD=2，AD=3，BD=6，則PB= ． 思路點(diǎn)撥 綜合運(yùn)用圓冪定理、勾股定理求PB長(zhǎng)． 注：比例線段是幾何之中一個(gè)重要問(wèn)題，比例線段的學(xué)習(xí)是一個(gè)由一般到特殊、不斷深化的過(guò)程，大致經(jīng)歷了四個(gè)階段： (1)平行線分線段對(duì)應(yīng)成比例； (2)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例； (3)直角三角形中的比例線段可以用積的形式簡(jiǎn)捷地表示出來(lái)； (4)圓中的比例線段通過(guò)圓冪定理明快地反映出來(lái)． 【例2】 如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓交AD于點(diǎn)E，且與CD相切，若AB=4，BE=5，則DE的長(zhǎng)為( ) A．3 B．4 C． D． 思路點(diǎn)撥 連AC，CE，由條件可得許多等線段，為切割線定理的運(yùn)用創(chuàng)設(shè)條件． 注：圓中線段的算，常常需要綜合相似三角形、直角三角形、圓冪定理等知識(shí)，通過(guò)代數(shù)化獲解，加強(qiáng)對(duì)圖形的分解，注重信息的重組與整合是解圓中線段計(jì)算問(wèn)題的關(guān)鍵． 【例3】 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是∠O的直徑，PA是過(guò)A點(diǎn)的直線，∠PAC=∠B． (1)求證：PA是⊙O的切線； (2)如果弦CD交AB于E，CD的延長(zhǎng)線交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的長(zhǎng)和∠ECB的正切值． 思路點(diǎn)撥 直徑、切線對(duì)應(yīng)著與圓相關(guān)的豐富知識(shí)．(1)問(wèn)的證明為切割線定理的運(yùn)用創(chuàng)造了條件；引入?yún)?shù)x、k處理(2)問(wèn)中的比例式，把相應(yīng)線段用是的代數(shù)式表示，并尋找x與k的關(guān)系，建立x或k的方程． 【例4】 如圖，P是平行四邊形AB的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DP與AC、BC分別交于點(diǎn)E、E，EG是過(guò)B、F、P三點(diǎn)圓的切線，G為切點(diǎn)，求證：EG=DE 思路點(diǎn)撥 由切割線定理得EG2=EFEP，要證明EG=DE，只需證明DE2=EFEP，這樣通過(guò)圓冪定理把線段相等問(wèn)題的證明轉(zhuǎn)化為線段等積式的證明． 注：圓中的許多問(wèn)題，若圖形中有適用圓冪定理的條件，則能化解問(wèn)題的難度，而圓中線段等積式是轉(zhuǎn)化問(wèn)題的橋梁． 需要注意的是，圓冪定理的運(yùn)用不僅局限于計(jì)算及比例線段的證明，可拓展到平面幾何各種類型的問(wèn)題中． 【例5】 如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑，在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為O，DF切半圓于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BF＝4． 求：(1)cos∠F的值；(2)BE的長(zhǎng)． 思路點(diǎn)撥 解決本例的基礎(chǔ)是：熟悉圓中常用輔助線的添法(連OE，AE)；熟悉圓中重要性質(zhì)定理及角與線段的轉(zhuǎn)化方法．對(duì)于(1)，先求出EF，F(xiàn)O值；對(duì)于(2)，從△BE F∽△EAF，Rt△AEB入手． 注：當(dāng)直線形與圓結(jié)合時(shí)就產(chǎn)生錯(cuò)綜復(fù)雜的圖形，善于分析圖形是解與圓相關(guān)綜合題的關(guān)鍵，分析圖形可從以下方面入手： (1)多視點(diǎn)觀察圖形．如本例從D點(diǎn)看可用切線長(zhǎng)定理，從F點(diǎn)看可用切割線定理． (2)多元素分析圖形．圖中有沒(méi)有特殊點(diǎn)、特殊線、特殊三角形、特殊四邊形、全等三角形、相似三角形． (3)將以上分析組合，尋找聯(lián)系． 學(xué)力訓(xùn)練 1．如圖，PT是⊙O的切線，T為切點(diǎn)，PB是⊙O的割線，交⊙O于A、B兩點(diǎn)，交弦CD于點(diǎn)M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，則PT的長(zhǎng)為 ． 2．如圖，PAB、PCD為⊙O的兩條割線，若PA=5，AB=7，CD=11，則AC：BD= ． 3．如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CD是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交CD于點(diǎn)F，若AB=CD=2，則CE= ． 4．如圖，在△ABC中，∠C=90，AB=10，AC=6，以AC為直徑作圓與斜邊交于點(diǎn)P，則BP的長(zhǎng)為( ) A．6．4 B．3．2 C ．3．6 D．8 5．如圖，⊙O的弦AB平分半徑OC，交OC于P點(diǎn)，已知PA、PB的長(zhǎng)分別為方程的兩根，則此圓的直徑為( ) A． B． C． D． ⌒ ⌒ ⌒ 6．如圖，⊙O的直徑Ab垂直于弦CD，垂足為H，點(diǎn)P是AC上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A、C兩點(diǎn)重合)，連結(jié)PC、PD、PA、AD，點(diǎn)E在AP的延長(zhǎng)線上，PD與AB交于點(diǎn)F，給出下列四個(gè)結(jié)論：①CH2=AHBH；②AD＝AC：③AD2=DFDP；④∠EPC=∠APD，其中正確的個(gè)數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 7．如圖，BC是半圓的直徑，O為圓心，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA切半圓于點(diǎn)A，AD⊥BC于點(diǎn)D． (1)若∠B=30，問(wèn)AB與AP是否相等?請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)求證：PDPO=PCPB； (3)若BD：DC=4：l，且BC＝10，求PC的長(zhǎng)． 8．如圖，已知PA切⊙O于點(diǎn)A，割線PBC交⊙O于點(diǎn)B、C，PD⊥AB于點(diǎn)D，PD、AO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，連CE并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連AF． (1)求證：△PBD∽△PEC； (2)若AB=12，tan∠EAF=，求⊙O的半徑的長(zhǎng)． 9．如圖，已知AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點(diǎn)B，PA交⊙O于點(diǎn)C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰哈好是關(guān)于x的方程 (其中為實(shí)數(shù))的兩根． (1)求證：BE=BD；(2)若GEEF=，求∠A的度數(shù)． 10．如圖，△ABC中，∠C=90，O為AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點(diǎn)E，與AC相切于點(diǎn)D，已知AD=2，AE=1，那么BC= ． 11．如圖，已知A、B、C、D在同一個(gè)圓上，BC=CD，AC與BD交于E，若AC=8，CD=4，且線段BE、ED為正整數(shù)，則BD= ． 12．如圖，P是半圓O的直徑BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA切半圓于點(diǎn)A，AH⊥BC于H，若PA=1，PB+PC=(>2)，則PH=( ) A． B． C． D． 13．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，弦EF經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)D，且EF∥AB，若AB=2，則DE的長(zhǎng)為( ) A． B． C． D．1 14．如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，B E交⊙O于F，AF交CE于P，求證：PE=PC． 15．已知：如圖，ABCD為正方形，以D點(diǎn)為圓心，AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O相交于P、C兩點(diǎn)，連結(jié)AC、AP、CP，并延長(zhǎng)CP、AP分別交AB、BC、⊙O于E、H、F三點(diǎn)，連結(jié)OF． (1)求證：△AEP∽△CEA；(2)判斷線段AB與OF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (3)求BH:HC 16．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，PEC是一條割線，D是AB與PC的交點(diǎn)，若PE=2，CD=1，求DE的長(zhǎng)． 17．如圖，⊙O的直徑的長(zhǎng)是關(guān)于x的二次方程(是整數(shù))的最大整數(shù)根，P是⊙O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O 的切線PA和割線PBC，其中A為切點(diǎn)，點(diǎn)B、C是直線PBC與⊙O的交點(diǎn)，若PA、PB、PC的長(zhǎng)都是正整數(shù)，且PB的長(zhǎng)不是合數(shù)，求PA+PB+PC 的值． 參考答案