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2019年高考數(shù)學 考點匯總 考點27 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題（含解析） 一、選擇題 1. (xx湖北高考文科T4)若變量x,y滿足約束條件錯誤！未找到引用源。則2x+y的最大值是　(　　) A.2 B.4 C.7 D.8 【解題提示】根據(jù)已知的約束條件畫出滿足約束條件的可行域,再用角點法,求出目標函數(shù)的最大值. 【解析】選C. 滿足約束條件的可行域如下圖中陰影部分所示： 目標函數(shù)z=2x+y,即y=-2x+z,顯然,當直線經(jīng)過點B時z的值最大,最大值為7. 2.(xx廣東高考文科T4)若變量x,y滿足約束條件則z=2x+y的最大值等于　(　　) A.7 B.8 C.10 D.11 【解題提示】畫出可行域,標出邊界點,目標函數(shù)對應動直線的斜率為-2. 【解析】選C.作出可行域OABCD是34的矩形去掉一個12的直角三角形,其中B(2,3),C(4,2),所以當動直線z=2x+y經(jīng)過點C(4,2)時取得最大值10. 3.(xx廣東高考理科)若變量x,y滿足約束條件且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n,則m-n=　(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 【解題提示】畫出可行域,標出邊界點,目標函數(shù)對應動直線的斜率為-2. 【解析】選B.如圖,可行域是以A,B(-1,-1),C(2,-1)為頂點的等腰直角三角形, 所以當動直線z=2x+y經(jīng)過點C(2,-1)時取得最大值3,經(jīng)過點B(-1,-1)時取得最小值-3,所以m-n=6. 4.（xx福建高考文科Ｔ11）11．已知圓，設平面區(qū)域，若圓心,且圓C與x軸相切，則的最大值為 （ ） 【解題指南】畫出可行域，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解． 【解析】由圓C 與x 軸相切可知，b=1． 又圓心C（a,b）在平面區(qū)域（如圖2）內(nèi)， 由，解得； 由，解得． 故． 所以當時，取最大值為37． 5. （xx山東高考理科Ｔ9） 已知滿足約束條件當目標函數(shù)在該約束條件下取到最小值時，的最小值為（ ） A、5 B、4 C、 D、2 【解題指南】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，再利用兩點間距離公式的幾何意義求解. 【解析】選B.解方程組求得交點為，則，的最小值即為在直線上找一點使得它到原點的距離平方最小.即求點到直線的距離的平方為. 6. （xx山東高考文科Ｔ10）與(xx山東高考理科Ｔ9）相同 已知滿足約束條件當目標函數(shù)在該約束條件下取到最小值時，的最小值為（ ） A、5 B、4 C、 D、2 【解題指南】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，再利用兩點間距離公式的幾何意義求解. 【解析】選B.解方程組求得交點為，則，的最小值即為在直線上找一點使得它到原點的距離平方最小.即求點到直線的距離的平方為. 7. （xx天津高考文科Ｔ2同xx天津高考理科Ｔ2））設變量滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【解析】選B. 由得。作出可行域如圖， A 平移直線，由圖象可知當直線經(jīng)過點A時，直線的截距最小，此時最小，由，得，即代入，得. 8.（xx安徽高考理科Ｔ5）滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)的值為（ ） A, B. C.2或1 D. 【解題提示】 畫出線性約束條件的圖像，數(shù)形結合判斷。 【解析】選D.由線性約束條件可得其圖象如圖所示，由圖象可知直線經(jīng)過AB或AC時取得最大值的最優(yōu)解不唯一，此時a=2或-1 9. (xx新課標全國卷Ⅱ高考文科數(shù)學T9) 設x,y滿足約束條件則z=x+2y的最大值為(　　) A.8 B.7 C.2 D.1 【解題提示】結合約束條件,畫出可行域,然后將目標函數(shù)化為斜截式,平移得最大值. 【解析】選B.畫可行區(qū)域知為三角形,可以代值.兩兩求解,得三點坐標(1,0),(3,2),(0,1). 代入z=x+2y,則最大值為7.故選B. 10. (xx新課標全國卷Ⅱ高考理科數(shù)學T9)設x,y滿足約束條件則z=2x-y的最大值為 (　　) A.10 B.8 C.3 D.2 【解題提示】結合約束條件,畫出可行域,然后將目標函數(shù)化為斜截式,平移得最大值. 【解析】選B.畫出區(qū)域,可知區(qū)域為三角形,經(jīng)比較斜率,可知目標函數(shù)z=2x-y在兩條直線x-3y+1=0與x+y-7=0的交點(5,2)處,取得最大值z=8.故選B. 二、填空題 11.（xx湖南高考理科Ｔ14）若變量滿足約束條件，且的最小值為－6，則 【解題提示】畫出可行域，，把最值點帶入解方程。 【解析】如圖，畫出可行域，，， 當運動到過點時，目標函數(shù)取得最小值-6，所以. 答案： 12. （xx 湖南高考文科Ｔ13）若變量滿足約束條件，則的最大值為_________. 【解題提示】畫出可行域，，把最值點帶入求解。 【解析】如圖，畫出可行域，，， 當運動到過點時，目標函數(shù)取得最小值7。 答案：7 13.（xx福建高考理科Ｔ11） 若變量滿足約束條件則的最小值為________ 【解題指南】先畫好可行域，對于線性規(guī)劃問題，可以考慮直接將可行域的幾個端點坐標直接代入計算。 【解析】畫出可行域，三個端點分別為,將坐標代入,可得． 【答案】1 14. （xx浙江高考文科Ｔ12）若實數(shù)滿足，則的取值范圍是_____________； 【解析】作出不等式組所表示的區(qū)域，如圖所示： 令，解方程組得，解方程組得 平移直線，經(jīng)過點使得取最大值，即，當直線經(jīng)過點B時，取最小值，即，所以的取值范圍是. 答案： 15.（xx浙江高考理科Ｔ13）當實數(shù)，滿足時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________. 【解析】作出不等式組所表示的區(qū)域，由得，由圖可知， 且在點取得最小值，在點取得最大值，所以，故的取值范圍為 答案：． 16. （xx遼寧高考文科Ｔ1４）已知滿足約束條件 則目標函數(shù)的最大值為________. 【解析】畫出約束條件對應的平面區(qū)域，如圖， 將目標函數(shù)化為，顯然直線過點時，目標函數(shù)取得最大值，. 答案： 【誤區(qū)警示】避免將二元一次不等式表示的區(qū)域搞錯,弄清楚直線的斜率的大小與傾斜程度的關系 17. （xx浙江高考文科Ｔ12）若實數(shù)滿足，則的取值范圍是_____________； 【解析】作出不等式組所表示的區(qū)域，如圖所示： 令，解方程組得，解方程組得 平移直線，經(jīng)過點使得取最大值，即，當直線經(jīng)過點B時，取最小值，即，所以的取值范圍是. 答案： 18.（xx安徽高考文科Ｔ13）不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_______ 【解題提示】正確畫出平面區(qū)域的可行域是一個三角形，再數(shù)形結合計算面積。 【解析】如圖所示可得點A(0，2)，B(2，0),C(8，-2)，根據(jù)圖像計算可得。 答案： 4 三、解答題 19.(xx陜西高考文科T18)(本小題滿分12分)在直角坐標系xOy中,已知點A(1,1),B(2,3),C(3,2),點P(x,y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上,且 =m+n.(m,n∈R). (1)若m=n=,求. (2)用x,y表示m-n,并求m-n的最大值. 【解題指南】(1)先利用點的坐標求得向量坐標,代入已知關系式,再利用向量模的公式解得所求.(2)利用已知轉化求得m-n與x,y的關系,再利用平面直角坐標系中簡單的線性規(guī)劃問題求其最值. 【解析】(1)因為m=n=,=(1,2),=(2,1), 所以=+=(1,2)+(2,1)=(2,2), 所以||==2. (2)因為=m+n, 所以(x,y)=(m+2n,2m+n), 所以 兩式相減得,m-n=y-x, 令y-x=t,由圖知,當直線y=x+t過點B(2,2)時,t取得最大值1,故m-n的最大值為1. 20.(xx陜西高考理科T18)(本小題滿分12分)在直角坐標系xOy中,已知點A(1,1),B(2,3),C(3,2),點P(x,y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上. (1)若++=0,求. (2)設=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值. 【解題指南】(1)先利用點的坐標求得向量坐標,代入已知關系式得點P坐標,再利用向量模的公式解得所求.(2)利用已知轉化求得m-n與x,y的關系,再利用平面直角坐標系中簡單的線性規(guī)劃問題求其最值. 【解析】(1)因為++=0, 又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y) =(6-3x,6-3y), 所以解得x=2,y=2, 即=(2,2),故||=2. (2)因為=m+n, 所以(x,y)=(m+2n,2m+n), 所以 兩式相減得,m-n=y-x, 令y-x=t,由圖知,當直線y=x+t過點B(2,2)時,t取得最大值1,故m-n的最大值為1.