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2019-2020年八年級數(shù)學上冊 第七章 解二元一次方程組教案 北師大版 7.2.1 解二元一次方程組(一) 知識與技能目標： 1.代入消元法解二元一次方程組. 2.解二元一次方程組時的“消元”思想，“化未知為已知”的化歸思想. 過程與方法目標： 1.會用代入消元法解二元一次方程組. 2.了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會數(shù)學研究中“化未知為已知”的化歸思想. 情感態(tài)度與價值觀目標： 1.在學生了解二元一次方程組的“消元”思想，從而初步理解化“未知”為“已知”和化復雜問題為簡單問題的化歸思想中，享受學習數(shù)學的樂趣，提高學習數(shù)學的信心. 2.培養(yǎng)學生合作交流，自主探索的良好習慣. 教學重點 1.會用代入消元法解二元一次方程組. 2.了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體現(xiàn)數(shù)學研究中“化未知為已知”的化歸思想. 教學難點 1.“消元”的思想. 2.“化未知為已知”的化歸思想. 教學方法 啟發(fā)——自主探索相結(jié)合. 教師引導學生回憶一元一次方程解決實際問題的方法并從中啟發(fā)學生如果能將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程.二元一次方程便可獲解，從而通過學生自主探索總結(jié)用代入消元法解二元一次方程組的步驟. 教具準備 投影片兩張： 第一張：例題(記作7.2.1 A)； 第二張：問題串(記作7.2.1 B). 教學過程 Ⅰ.提出疑問，引入新課 ［師生共憶］上節(jié)課我們討論過一個“希望工程”義演的問題；沒去觀看義演的成人有x個，兒童有y個，我們得到了方程組成人和兒童到底去了多少人呢？ ［生］在上一節(jié)課的“做一做”中，我們通過檢驗是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34，得知這個解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根據(jù)二元一次方程組解的定義得出是方程組的解.所以成人和兒童分別去了5個人和3個人. ［師］但是，這個解是試出來的.我們知道二元一次方程的解有無數(shù)個.難道我們每個方程組的解都去這樣試？ ［生］太麻煩啦. ［生］不可能. ［師］這就需要我們學習二元一次方程組的解法. Ⅱ.講授新課 ［師］在七年級第一學期我們學過一元一次方程，也曾碰到過“希望工程”義演問題，當時是如何解的呢？ ［生］解：設(shè)成人去了x個，兒童去了(8－x)個，根據(jù)題意，得： 5x+3(8－x)=34 解得x=5 將x=5代入8－x=8－5=3 答：成人去了5個，兒童去了3個. ［師］同學們可以比較一下：列二元一次方程組和列一元一次方程設(shè)未知數(shù)有何不同？列出的方程和方程組又有何聯(lián)系？對你解二元一次方程組有何啟示？ ［生］列二元一次方程組設(shè)出有兩個未知數(shù)成人去了x個，兒童去了y個.列一元一次方程設(shè)成人去了x個，兒童去了(8－x)個.y應(yīng)該等于(8－x).而由二元一次方程組的一個方程x+y=8根據(jù)等式的性質(zhì)可以推出y=8－x. ［生］我還發(fā)現(xiàn)一元一次方程中5x+3(8－x)=34與方程組中的第二個方程5x+3y=34相比較，把5x+3y=34中的“y”用“8－x”代替就轉(zhuǎn)化成了一元一次方程. ［師］太好了.我們發(fā)現(xiàn)了新舊知識之間的聯(lián)系，便可尋求到解決新問題的方法——即將新知識轉(zhuǎn)化為舊知識便可.如何轉(zhuǎn)化呢？ ① ② ［生］上一節(jié)課我們就已知道方程組的兩個未知數(shù)所包含的意義是相同的.所以將 中的①變形，得y=8－x ③我們把y=8－x代入方程②，即將②中的y用8－x代替，這樣就有5x+3(8－x)=34.“二元”化成“一元”. ［師］這位同學很善于思考.他用了我們在數(shù)學研究中“化未知為已知”的化歸思想，從而使問題得到解決.下面我們完整地解一下這個二元一次方程組. ① ② 解： 由①得 y=8－x ③ 將③代入②得 5x+3(8－x)=34 解得x=5 把x=5代入③得y=3. 所以原方程組的解為 下面我們試著用這種方法來解答上一節(jié)的“誰的包裹多”的問題. ［師生共析］解二元一次方程組： ① ② 分析：我們解二元一次方程組的第一步需將其中的一個方程變形用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)，把表示了的未知數(shù)代入未變形的方程中，從而將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程. 解：由①得x=2+y ③ 將③代入②得(2+y)+1=2(y－1) 解得y=5 把y=5代入③，得 x=7. 所以原方程組的解為即老牛馱了7個包裹，小馬馱了5個包裹. ［師］在解上面兩個二元一次方程組時，我們都是將其中的一個方程變形，即用其中一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)，然后代入第二個未變形的方程，從而由“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”而得到消元的目的.我們將這種方法叫代入消元法.這種解二元一次方程組的思想為消元思想.我們再來看兩個例子. 出示投影片(7.2.1 A) ［例題］解方程組 ① ② (1) ① ② (2) (由學生自己完成，兩個同學板演). 解：(1)將②代入①，得 3+2y=8 3y+9+4y=16 7y=7 y=1 將y=1代入②，得 x=2 所以原方程組的解是 (2)由②，得x=13－4y ③ 將③代入①，得 2(13－4y)+3y=16 －5y=－10 y=2 將y=2代入③，得 x=5 所以原方程組的解是 ［師］下面我們來討論幾個問題： 出示投影片(7.2.1 B) (1)上面解方程組的基本思路是什么？ (2)主要步驟有哪些？ (3)我們觀察例1和例2的解法會發(fā)現(xiàn)，我們在解方程組之前，首先要觀察方程組中未知數(shù)的特點，盡可能地選擇變形后的方程較簡單和代入后化簡比較容易的方程變形，這是關(guān)鍵的一步.你認為選擇未知數(shù)有何特點的方程變形好呢？ (由學生分組討論，教師深入?yún)⑴c到學生討論中，發(fā)現(xiàn)學生在自主探索、討論過程中的獨特想法) ［生］我來回答第一問：解二元一次方程組的基本思路是消元，把“二元”變?yōu)椤耙辉? ［生］我們組總結(jié)了一下解上述方程組的步驟：第一步：在已知方程組的兩個方程中選擇一個適當?shù)姆匠蹋阉冃螢橛靡粋€未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù). 第二步：把表示另一個未知數(shù)的代數(shù)式代入沒有變形的另一個方程，可得一個一元一次方程. 第三步：解這個一元一次方程，得到一個未知數(shù)的值. 第四步：把求得的未知數(shù)的值代回到原方程組中的任意一個方程或變形后的方程(一般代入變形后的方程)，求得另一個未知數(shù)的值. 第五步：用“{”把原方程組的解表示出來. 第六步：檢驗(口算或筆算在草稿紙上進行)把求得的解代入每一個方程看是否成立. ［師］這個組的同學總結(jié)的步驟真棒，甚至連我們平時容易忽略的檢驗問題也提了出來，很值得提倡.在我們數(shù)學學習的過程中，應(yīng)該養(yǎng)成反思自己解答過程，檢驗自己答案正確與否的習慣. ［生］老師，我代表我們組來回答第三個問題.我們認為用代入消元法解二元一次方程組時，盡量選取一個未知數(shù)的分數(shù)是1的方程進行變形；若未知數(shù)的系數(shù)都不是1，則選取系數(shù)的絕對值較小的方程變形.但我們也有一個問題要問：在例2中，我們選擇②變形這是無可厚非的，把②變形后代入①中消元得到的是一元一次方程系數(shù)都為整數(shù)也較簡便.可例1中，雖然可直接把②代入①中消去x，可得到的是含有分母的一元一次方程，并不簡便，有沒有更簡捷的方法呢？ ［師］這個問題提的太好了.下面同學們分組討論一下.如果你發(fā)現(xiàn)了更好的解法，請把你的解答過程寫到黑板上來. ［生］解：由②得2x=y+3 ③ ③兩邊同時乘以2，得 4x=2y+6 ④ 由④得2y=4x－6 把⑤代入①得 3x+(4x－6)=8 解得7x=14,x=2 把x=2代入③得y=1. 所以原方程組的解為 ［師］真了不起，能把我們所學的知識靈活應(yīng)用，而且不拘一格，將“2y”整體上看作一個未知數(shù)代入方程①，這是一個“科學的發(fā)明”. Ⅲ.隨堂練習 課本P192 1.用代入消元法解下列方程組 ① ② 解：(1) 將①代入②，得 x+2x=12 x=4. 把x=4代入①，得 y=8 所以原方程組的解為 ① ② (2) 將①代入②，得 4x+3(2x+5)=65 解得x=5 把x=5代入①得 y=15 所以原方程組的解為 ① ② (3) 由①，得x=11－y ③ 把③代入②，得 11－y－y=7 y=2 把y=2代入③，得 x=9 所以原方程組的解為 ① ② (4) 由②，得x=3－2y ③ 把③代入①，得 3(3－2y)－2y=9 得y=0 把y=0代入③，得x=3 所以原方程組的解為 注：在隨堂練習中，可以鼓勵學生通過自主探索與交流，各個學生消元的具體方法可能不同，不必強調(diào)解答過程統(tǒng)一. Ⅳ.課時小結(jié) 這節(jié)課我們介紹了二元一次方程組的第一種解法——代入消元法.了解到了解二元一次方程組的基本思路是“消元”即把“二元”變?yōu)椤耙辉?主要步驟是：將其中的一個方程中的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個方程中，從而消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程.解這個一元一次方程，便可得到一個未知數(shù)的值，再將所求未知數(shù)的值代入變形后的方程，便求出了一對未知數(shù)的值.即求得了方程的解. Ⅴ.課后作業(yè) 1.課本P192習題7.2 2.解答習題7.1第3題 3.預習課本P193~P194 Ⅵ.活動與探究 已知代數(shù)式x2+px+q,當x=－1時，它的值是－5；當x=－2時，它的值是4,求p、q的值. 過程：根據(jù)代數(shù)式值的意義，可得兩個未知數(shù)都是p、q的方程，即 當x=－1時，代數(shù)式的值是－5，得 (－1)2+(－1)p+q=－5 ① 當x=－2時，代數(shù)式的值是4，得 (－2)2+(－2)p+q=4 ② 將①、②兩個方程整理，并組成方程組 ① ② 解方程組，便可解決. 結(jié)果：由④得q=2p 把q=2p代入③，得 －p+2p=－6 解得p=－6 把p=－6代入q=2p=－12 所以p、q的值分別為－6、－12. 板書設(shè)計 7.2.1 解二元一次方程組(一) 一、“希望工程”義演 二、“誰的包裹多”問題 三、例題 四、解方程組的基本思路：消元即二元—→一元 五、解二元一次方程組的基本步驟 7.2.2 解二元一次方程組(二) 知識與技能目標： 1.用加減消元法解二元一次方程組. 2.進一步了解解二元一次方程組時的“消元”思想，“化未知為已知”化歸思路. 過程與方法目標： 1.會用加減消元法解二元一次方程組. 2.根據(jù)不同方程的特點，進一步體會解二元一次方程組的基本思路——消元. 情感態(tài)度與價值觀目標： 1.進一步體會解二元一次方程組的消元思想，在化“未知為已知”的過程中，體驗學習的快樂. 2.根據(jù)方程組的特點，培養(yǎng)學生學習教學的創(chuàng)新、開拓的意識. 教學重點 1.掌握加減消元法解二元一次方程組的原理及一般步驟. 2.能熟練地運用加減消元法解二元一次方程組. 教學難點 1.解二元一次方程組的基本思路消元即化“二元”為“一元”的思想. 2.數(shù)學研究的“化未知為已知”的化歸思想. 教學方法 啟發(fā)——比較——自主探索相結(jié)合. 由一個引例啟發(fā)學生除可以利用代入消元法可以消去一個未知數(shù)，獲得問題的解答.通過觀察比較可以發(fā)現(xiàn)如果某個未知數(shù)的系數(shù)相反或相同，這時我們就可以依據(jù)等式的性質(zhì)將方程兩邊相加或相減，從而消去一個未知數(shù)，從而更進一步引導學生自主探索解二元一次方程組的加減消元法直至熟練掌握. 教具準備 投影片一張：問題串(記作7.2.2 A). 教學過程 Ⅰ.提出疑問，創(chuàng)設(shè)問題情景，引入新課 ［師］怎樣解下面的二元一次方程組呢？ ① ② ［生1］解：把②變形，得x= ③ 把③代入①，得 3+5y=21, 解得y=－3. 把y=3代入②，得 x=2. 所以方程組的解為 ［生2］解：由②得5y=2x+11 ③ 把5y當做整體將③代入①，得 3x+(2x+11)=21 解得x=2 把x=2代入③，得 5y=22+11 y=3 所以原方程的解為 ［師］我們可以發(fā)現(xiàn)第二種解法比第一種解法簡單.有沒有更好的解法呢？也就是說，我們上一節(jié)課學習了用代入的方法可以消元，從而使“二元”變?yōu)椤耙辉?那么有沒有別的消元辦法也可以使“二元”變?yōu)椤耙辉? ［生］我發(fā)現(xiàn)了方程①和②中的5y和－5y互為相反數(shù)，根據(jù)互為相反數(shù)的和為零，如果能將方程①和②的左右兩邊相加，根據(jù)等式的性質(zhì)我們可以得到一個含有x的等式，即一元一次方程，而5y+(－5y)=0消去了y. ［師］很好.這正是我們這節(jié)課要學習的二元一次方程組的解法中的第二種方法——加減消元法. Ⅱ.講授新課 ［師］下面我們就用剛才這位同學的方法解上面的二元一次方程組. ① ② 解： 由①+②，得 (3x+5y)+(2x－5y)=21+(－11), 即3x+2x=10, x=2, 把x=2代入②中，得 y=3. 所以原方程組的解為 ［師生共析］一個方程組我們用了三種方法，從中可以發(fā)現(xiàn)，恰當?shù)剡x擇解法可以起到事半功倍的效果.回憶上一節(jié)的練習和習題，看哪些題用代入消元法解起來比較簡單？哪些題我們用加減消元法簡單？我們分組討論，并派一個代表闡述自己的意見. ［生］我們組認為課本P192的隨堂練習的(3)(4)小題用加減消元法簡單. ［師］你們組能派兩位同學有加減消元法把這兩個方程組解一下嗎？ ［生］可以. (學生黑板板演，接著聽其他組討論的結(jié)果) ［生］我們組認為習題7.2.1(2)也可以用加減消元法，我可以到黑板上做. ［生］老師，習題7.2.1(4)把方程組變形后，得也可以用加減消元法.我在黑板上做. ［師］下面，我們講評一下剛才這幾位同學解方程組的方程.(1) (2)這兩個方程組中，y的系數(shù)都是互為相反數(shù)，因此這兩位同學都用了用方程組中的兩個方程相加，從而把y消去，將二元轉(zhuǎn)化為一元，最后解出了方程的解，很好.(3) 我們觀察此方程y的系數(shù)都是1，因此這位同學想到了用②－①,得x=3，代入①就解出y=2.(4) 這位同學將方程組整理，得 由②－③得8n=－16，n=－2，把n=－2代入②便得m=5.這幾位同學的解法很好，同學們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了方程組中如果一個未知數(shù)的系數(shù)相反或相同，我們就可以用加減消元法來解方程組. ③ ② ① ② ［生］老師，我有一個問題：習題7.2的(3)小題，用代入消元法解，較麻煩.用加減消元法解，x、y的系數(shù)不相同也不相反，沒有辦法用加減消元法.是不是還有別的方法. ① ② ［師］這個同學提的問題太好了.能發(fā)現(xiàn)問題是我們學習很重要的一個方面，同學們應(yīng)該向他學習.接下來，同學們分組討論，方程組 不用代入消元法如何解？ ［生］老師，我們組想出了一個辦法，能不能用等式的性質(zhì)將這個方程組中的x或y的系數(shù)化成相等(或相反)呢？ ［生］可以.我只要在方程①和方程②的兩邊分別除以3和4，x的系數(shù)不就變成“1”了嗎？這樣就可以用加減消元法了. ［生］我不同意.這樣做，y的系數(shù)和常數(shù)項都變成了分數(shù)，比代入消元法還麻煩.我覺得應(yīng)該找到y(tǒng)的系數(shù)－2的絕對值和3的最小公倍數(shù)6，在方程①兩邊同乘以3，得9x－6y=－12③,在方程②兩邊同乘以2，得8x+6y=－22④,然后③+④，就可以將y消去，得17x= －34,x=－2.把x=－2代入①得，y=－1.所以方程組的解為 ［師］同學們?yōu)樗恼?，他的想法太精彩了，我們祝賀他.其實在我們學習數(shù)學的過程中，不一定二元一次方程組中未知數(shù)的系數(shù)剛好是1，或同一個未知數(shù)的系數(shù)剛好相同或相反.我們遇到的往往就是象習題7.2.1.(3)題這樣的方程組，我們要想比較簡捷地把它解出來，就需要轉(zhuǎn)化為同一個未知數(shù)系數(shù)相同或相反的情形，從而用加減消元法，達到消元的目的.下面我們看一個例子. ① ② 解方程組 分析：未知數(shù)的系數(shù)沒有絕對值是1的，也沒有哪一個未知數(shù)的系數(shù)相同或相反.我們觀察可以發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)絕對值較小，因此我們找到2和3的最小公倍數(shù)6，然后①3，②2，便可將①②的x的系數(shù)化為相同. 解：①3得6x+9y=36 ③ ②2,得6x+8y=34 ④ ③－④，得y=2. 將y=2代入①，得x=3. 所以原方程組的解是 ［師］我們根據(jù)上面幾個方程組的解法，接下來討論下面兩個問題： 出示投影片(7.2.2 A) (1)加減消元法解二元一次方程組的基本思路是什么？ (2)用加減消元法解二元一次方程組的主要步驟有哪些？ (由學生分組討論、總結(jié)) ［師生共析］(1)用加減消元法解二元一次方程組的基本思路仍然是“消元”. (2)用加減法解二元一次方程組的一般步驟. 第一步：在所解的方程組中的兩個方程，如果某個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，可以把這兩個方程的兩邊分別相加，消去這個未知數(shù)；如果未知數(shù)的系數(shù)相等，可以直接把兩個方程的兩邊分別相減，消去這個未知數(shù). 第二步：如果方程組中不存在某個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等，那么應(yīng)選出一組系數(shù)(選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù))，求出它們的最小公倍數(shù)(如果一個系數(shù)是另一個系數(shù)的整數(shù)倍，該系數(shù)即為最小公倍數(shù))，然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對值相等(都等于原系數(shù)的最小公倍數(shù))，再加減消元. 第三步：對于較復雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡(去分母，去括號，合并同類項等).通常要把每個方程整理成含未知數(shù)的項在方程的左邊，常數(shù)項在方程右邊的形式，再作如上加減消元的考慮. Ⅲ.隨堂練習 課本P195.用加減消元法解下列方程組： ① ② 1.解：(1) ①+②，得16x=－16 x=－1 把x=－1代入①，得 y=－5 所以原方程的解為 ① ② (2) ②－①，得6y=－18 y=－3 把y=－3代入①，得 x=－2 所以原方程組的解為 ① ② (3) ①－②2得5t=15 t=3 把t=3代入②，得 s=－1 所以原方程組的解為 ① ② (4) ①2－②3,得－11x=33 x=－3 把x=－3代入①得y=－4 所以原方程組的解為 注：在隨堂練習中，可以鼓勵學生通過自主探索與交流，不必強調(diào)解答過程統(tǒng)一. Ⅳ.課時小結(jié) 關(guān)于二元一次方程組的解法：代入消元法和加減消元法我們?nèi)繉W完了.比較這兩種解法我們會發(fā)現(xiàn)其實質(zhì)都是消元，即通過消去一個未知數(shù)，化“二元”為“一元”. Ⅴ.課后作業(yè) 1.課本P197、習題7.3 2.閱讀P195讀一讀你知道計算機是如何解方程組嗎. Ⅵ.活動與探究 解三元一次方程組： ① ② ③ 過程：解二元一次方程組的實質(zhì)是消元，即通過消去一個未知數(shù)，由“二元”變?yōu)椤耙辉?，于是我們?lián)想，能否借助解二元一次方程組消元的思路，將三元一次方程組消元，由“三元”消為“二元”，不就是我們剛學過的二元一次方程組嗎.我們觀察這個方程組②中不含未知數(shù)z，如果能利用①和②消去z，不就又得到一個和②一樣只含x,y的二元一次方程④，將②和④聯(lián)立成二元一次方程組.也就將三元一次方程組消元，由“三元”變?yōu)椤岸? 結(jié)果：解：由①－③得 －x+2y=8 ④ ② ④ 聯(lián)立②、④得 由②+④得y=9 把y=9代入②，得x=10 把x=10、y=9代入①得z=7 所以三元一次方程組的解為： 板書設(shè)計 7.2.2 解二元一次方程組(二) 一、學生板演 解法一：代入消元法 解法二：(加減消元法) 解法三：(整體代入法) 二、加減消元法的思路和步驟 三、例題(用加減消元法求解) 四、課時小結(jié) 7.3 雞兔同籠 知識與技能目標： 1.會用二元一次方程組解決實際問題. 2.在解決實際問題的過程中，用方程組這樣的數(shù)學模型刻畫現(xiàn)實世界. 過程與方法目標： 1.在列方程組的建模過程中，強化方程的模型思想，培養(yǎng)學生列方程解決現(xiàn)實問題的意識和應(yīng)用能力. 2.將解方程組的技能訓練與實際問題的解決融為一體，進一步提高解方程組的技能. 情感態(tài)度與價值觀目標： 1.體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學的意識. 2.在用方程組解決實際問題的過程中，體驗數(shù)學的實用性，提高學習數(shù)學的興趣. 教學重點 1.讓學生經(jīng)歷和體驗到方程組解決實際問題的過程. 2.進一步體會方程(組)是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型，培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用能力. 教學難點 用方程(組)這樣的數(shù)學模型刻畫和解決實際問題，即數(shù)學建模的過程. 教學方法 自主發(fā)現(xiàn)法. 學生在教師的啟發(fā)引導下通過對具體實際的問題分解，組織學生自主交流，探索去發(fā)現(xiàn)列方程建模的過程，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生應(yīng)用數(shù)學的意識. 教具準備 投影片一張：雞兔同籠(記作7.3 A). 教學過程 Ⅰ.提出問題，激發(fā)興趣 ［師］我們本章的開頭就介紹過“雞兔同籠”的問題，這節(jié)課我們接著用方程來解決此問題，看結(jié)果如何？ Ⅱ.講授新課 出示投影片(7.3 A) 1.今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？ (1)“上有三十五頭”“下有九十四足”如何解釋？ (2)你能根據(jù)(1)中的數(shù)量關(guān)系列出方程組嗎？ (3)你能解決這樣的問題嗎？ 2.有2元，5元，10元人民幣共50張，合計305元，其中2元的張數(shù)與5元的張數(shù)相同，三種人民幣各有多少張？ (1)這個問題和上面的“雞兔同籠”問題有聯(lián)系嗎？ (2)你準備設(shè)幾個未知數(shù)？ (3)你能根據(jù)題目中的已知量、未知量及它們之間的關(guān)系列出方程組嗎？ (4)你能解決這樣的問題嗎？ ［師］就上面的問題，我們先分組討論. (學生在討論時，教師可參與到學生的討論，聽學生的想法，以便能及時了解學生的思路) ［師生共析］1.(1)“上有三十五頭”是指“雞和兔共有35只.即“雞的只數(shù)+兔的只數(shù)=35只”.“下有九十四足”是指雞的腿與兔子的腿的和為94條.即“雞的腿+兔子的腿=94”. (2)根據(jù)(1)中的數(shù)量關(guān)系，我們可以設(shè)雞有x只，兔有y只，可得x+y=35 ①，2x+4y=94 ②,把①和②聯(lián)立方程組，得 ① ② (3)解法一：由①得y=35－x ③ 把③代入②中，得2x+4(35－x)=94 解得x=23 把x=23代入①，得y=12. 所以原方程組的解為 解法二：②－①2，得 2y=24 y=12 把y=12代入①，得x=23 所以原方程組的解為 答：雞有23只，兔子有12只. 和這一章最開始引言中用算術(shù)方法和一元一次方程的方法來解“雞免同籠”的問題來比較，用列二元一次方程組來解決此題會更直觀，更容易理解. 2.(1)這個問題類似于“雞兔同籠”的問題.因為它也是將“2元，5元，10元”的人民幣混合在了一起，只知道總共有多少張，合起來共多少元，求2元，5元，10元的人民幣各有多少張？ (2)在這個題目中，設(shè)兩個未知數(shù)也可以；設(shè)三個未知數(shù)也可以.我們先來看設(shè)兩個未知數(shù)的情況.由于2元和5元的張數(shù)相同，我們可以各設(shè)有x張，10元的張數(shù)有y張. (3)根據(jù)題目中的已知條件可找到兩個等量關(guān)系即：2元的張數(shù)+5元的張數(shù)+10元的張數(shù)=50張，2元的總面值+5元的總面值+10元的總面值=305元，于是我們根據(jù)(1)中的未知數(shù)列出二元一次方程組： ① ② (4)用代入消元法和加減消元法都可解決.可由同學們板演完成. 解法一：由①得y=50－2x ③ 把③代入②，得x=15 把x=15代入③，得y=20 所以原方程組的解為 解法二：①10－②，得 x=15 把x=15代入①，得y=20 所以原方程組的解為 答：2元和5元的人民幣各有15張，10元的人民幣有20張. ［議一議］如果2、(2)中設(shè)有三個未知數(shù)，即如果設(shè)2元的人民幣有x張，5元的人民幣y張，10元的人民幣z張，如何列出方程組，解上述問題呢？ ［生］我們在設(shè)未知數(shù)時，沒有利用2元的人民幣和5元的人民幣張數(shù)相等這個條件，因此列出的方程就多出一個，再加上我們剛才的兩個相等關(guān)系，列出的是一個三元一次方程組即由x=y ①，x+y+z=50 ②，2x+5y+10z=305 ③，組成的三元一次方程組. ［師］我們沒有詳細地講過三元一次方程組的解法，但我們借鑒二元一次方程組的基本思路——消元，可以解答這個三元一次方程組.下面我們一同來解方程組 ① ② ③ 我們可以將①代入②和③，得二元一次方程組 解這個二元一次方程組，得 把y=15代入①得x=15 所以方程組的解為 ［生］老師，看來解方程組未知數(shù)出了并不可怕，關(guān)鍵是掌握解方程組的基本思路——消元. ［師］的確如此.我們學會了解方程組可以解決許多問題.下面我們再來看一下例子.估計大家小學的時候見過. ［例1］以繩測井.若將繩三折測之，繩多五尺；若將繩四折測之，繩多一尺.繩長、井深各幾何？ 誰來給大家解釋一下題意. ［生］老師，我試一下.這個題目的大意是：用繩子測量水井的深度，如果將繩子三折即折成三等份，則一份繩子的長度比井多五尺；如果將繩子四折即折成四等份，則一份繩子的長度比井深多一尺.繩長、井深各是多少尺？ ［師］這位同學解釋得很棒.接下來我們就將此問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型方程組來解決它.首先我們可以從題目中找到相等關(guān)系.你知道相等關(guān)系蘊含在哪兩句話里?你能用含文字的等式表示出來嗎? ［生］可以.我認為相等關(guān)系蘊含在“將繩三折測之，繩多五尺”和“若將繩四折測之，繩多一尺”.這兩句話中，用等式表示出來為： 繩長3－井深=5 ① 繩長4－井深=1 ② ［生］老師，我認為相等關(guān)系也在這兩句話中，但我用下面的等式表示： 繩長－3井深=53 ③ 繩長－4井深=14 ④ ［師］很好.我們現(xiàn)在設(shè)出未知數(shù)，設(shè)繩長為x尺，井深為y尺，根據(jù)①、②得方程組為： 根據(jù)③、④得方程組： 我們觀察這兩個方程組雖然形式上不同，但我們將第一個方程組中的方程化簡，整理便可得出第二個方程組.因此這兩個方程組是“同工異曲”的效果.下面我們在練習本上解出方程組的解，你可以任意選其中之一. (然后讓兩位學生黑板上板演，教師講評) 解法一：設(shè)繩長x尺，井深y尺，則 ① ② ①－②，得=4, =4 x=48 將x=48代入①，得y=11 答：繩長48尺，井深11尺. 解法二：設(shè)繩子長x尺，井深y尺，則 ③ ④ 由③－④，得y=11 把y=11代入④，得x=48 答：繩長48尺，井深11尺. ［師生共析］我們在列方程組解決實際問題時，應(yīng)先分析題目中的已知量、未知量是什么，各個量之間的關(guān)系是什么，找出它們之間的相等關(guān)系，列出方程(組)，建模過程就可完成，因此我們說解決實際問題的建模過程非常重要. Ⅲ.隨堂練習 課本P199. ① ② 1.解：設(shè)每頭牛值“金”x兩，每只羊值“金”y兩，則 由①2－②5，得y=. 把y=代入②，得x=. 所以，每頭牛值“金”兩，每頭羊值“金”兩. 2.解：設(shè)甲帶錢x，乙?guī)уXy， ① ② 則 由①2－②，得x=37 把x=37代入①，得y=25 所以甲帶錢37，乙?guī)уX25. Ⅳ.課時小結(jié) 本節(jié)課我們經(jīng)歷和體驗了列方程組解決實際問題的過程，體會到方程組是刻畫現(xiàn)實世界的有效模型，從而更進一步提高了我們應(yīng)用數(shù)學的意識及解方程組的技能. Ⅴ.課后作業(yè) 1.課本P199習題7.4. 2.收集資料：算經(jīng)+書(網(wǎng)址：CBE21)的數(shù)學史料，以一組為單位辦1份數(shù)學史料手抄報. Ⅵ.活動與探究 如圖，在一個正方體的頂點處填上1~9的數(shù)碼中的8個，每一個頂點只填一個數(shù)碼.使得正方體每個面上的四個頂點所填數(shù)碼之和均為18，那么未被填上的數(shù)碼是什么？ 過程：如果用1~9中的每一個數(shù)去試，過程會很繁.根據(jù)題意，我們可以利用方程這個數(shù)學模型，使問題簡單化. 結(jié)果：設(shè)未被填上的數(shù)為x，根據(jù)題意，可得： (1+2+…+9－x)2=18 得45－x=36 x=9 所以未被填上的數(shù)是9. 板書設(shè)計 7.3 雞兔同籠 一、雞兔同籠 解：設(shè)雞兔各有x只、y只， 根據(jù)題意，得： (由學生板演解方程組的過程) 二、例題講解 例1(課本P198) 三、隨堂練習 (由學生板演) 7.4 增收節(jié)支 知識與技能目標： 1.會用列表的方式分析題中已知量與未知量的關(guān)系，列出相應(yīng)的二元一次方程組. 2.繼續(xù)熟練二元一次方程組的解法和基本思路. 過程與方法目標： 1.讓學生進一步經(jīng)歷和體驗列方程組解決實際問題的過程，體會方程(組)是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型，培養(yǎng)學生數(shù)學的應(yīng)用能力. 2.加強學生列方程組的技能訓練，形成解決實際問題的一般性策略. 情感態(tài)度與價值觀目標： 1.通過列方程組解決實際問題培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學意識，提高學習數(shù)學的趣味性、現(xiàn)實性、科學性. 2.培養(yǎng)學生的創(chuàng)新、開拓、克服學習中困難的科學精神. 教學重點 用列表的方式分析題目中的各個量的關(guān)系.加強學生列方程組的技能訓練. 教學難點 借助列表分析問題中所蘊涵的數(shù)量關(guān)系. 教學方法 學生自主活動探究的方法. 學生在列一元一次方程解決實際問題經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，根據(jù)基本量關(guān)系，由學生自主探索，列表分析問題中所蘊涵的數(shù)量關(guān)系.從而列出二元一次方程組，解決實際問題. 教具準備 投影片兩張： 第一張：問題串(記作7.4 A)； 第二張：例1(記作7.4 B). 教學過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 ［師］我們來看一組填空題.(出示投影片7.4 A)填空： (1)某工廠去年的總產(chǎn)值是x萬元，今年的總產(chǎn)值比去年增加了20%，今年的總產(chǎn)值為_________. (2)某工廠去年的總支出為y萬元，今年的總支出比去年減少了10%，則今年的總支出為_________. (3)某工廠今年的利潤為780萬元，根據(jù)(1)、(2)可得_________=780萬元(利潤=總產(chǎn)值－總支出). 下面我們就一起分析上面的三個填空. ［師生共析］(1)今年的總產(chǎn)值比去年增加了20%，即今年的總產(chǎn)值=去年的總產(chǎn)值(1+20%)=(1+20%)x萬元. (2)今年的總支出比去年減少了10%，即今年的總支出=去年的總支出(1－10%)=(1－10%)y萬元. (3)今年的利潤為780萬元，由(1)、(2)可得今年的利潤又可表示為［(1+20%)x－(1－10%)y］萬元，所以(1+20%)x－(1－10%)y=780 這節(jié)課我們就來研究一下增收節(jié)支的問題. Ⅱ.講授新課 ［師］我們來看一個生活中實例：我校校辦工廠去年的總收入比總支出多50萬元，今年的總收入比去年增加了10%，總支出節(jié)約了20%，因而總收入比總支出多100萬元.求去年我校校辦工廠的總收入和總支出各多少萬元？ ［師生共析］我們可以注意到這個例子中蘊涵的數(shù)量關(guān)系比較復雜，我們是否可以用列表的形式將今年和去年的總支出和總收入列表進行對比，從而使他們的關(guān)系一目了解. ［議一議，試一試］如果設(shè)去年的總產(chǎn)值是x萬元，總支出是y萬元，根據(jù)題意，填充下面表格： 總收入/萬元 總支出/萬元 去年 x y 今年 (1+10%)x (1－20%)y 所以根據(jù)題意可填入表格，今年的總產(chǎn)值為(1+10%)x萬元，總支出為(1－20%)萬元，由條件就可得到方程組 ① ② ［師］下面我們就來解上面這個方程組，分組來完成，看哪一個組做得快. ［生］老師，我們組解出來了.解法如下： 解：化簡方程組，得 ① ③ 由①得x=50+y ④ 把④代入③，得 1.1(50+y)－0.8y=100, 0.3y=45 y=150 把y=150代入④，得x=200 所以方程組的解為 即去年的總產(chǎn)值是200萬元，總支出為150萬元. ［生］我們組也解出來了.我覺得剛才的一組在處理方程組中的方程②處理得不徹底，因此，系數(shù)是小數(shù)，給解方程帶來了不必要的麻煩.我們組的解法如下： 解：由②，得1.1x－0.8y=100 方程兩邊再同時乘以10，得 11x－8y=1000 ③ 由①，得x=50+y ④ 把④代入③，得3y=450 y=150 把y=150代入④，得x=200. ［師］不錯.能夠恰當?shù)乩玫仁降男再|(zhì)，使問題簡化，值得提倡. ［生］我們組用的不是代入消元法，我們組是在第二組解法的基礎(chǔ)上，用的加減消元法. ［師］我們已能用多種方法解方程組，看來我們最關(guān)鍵的一步應(yīng)是如何根據(jù)題意，列出方程組，下面我們再來看一個例子. 出示投影片7.4 B ［例1］醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配制營養(yǎng)品.每克甲原料含0.5單位蛋白質(zhì)和1單位鐵質(zhì)，每克乙原料含0.7單位蛋白質(zhì)和0.4單位蛋白質(zhì).若病人每餐需要35單位蛋白質(zhì)和40單位蛋白質(zhì)，那么每餐甲、乙兩種原料各多少克恰好滿足病人的需要？ ［師生共析］我們可以設(shè)每餐甲、乙兩種原料各x、y克恰好滿足病人的需要.根據(jù)題意可知每克甲原料含0.5單位蛋白質(zhì)和1單位鐵質(zhì)，所以x克甲原料含0.5x單位蛋白質(zhì)和x單位鐵質(zhì).每克乙原料含0.7單位蛋白質(zhì)和0.4單位鐵質(zhì)，所以y克乙原料含0.7x單位蛋白質(zhì)和0.4x單位鐵質(zhì)，因此，我們可列出下列表格： 甲原料x克 乙原料y克 所配制的營養(yǎng)品 其中所含的蛋白質(zhì) 0.5x單位 0.7y單位 35單位 其中所含的鐵質(zhì) x單位 0.4y單位 40單位 根據(jù)題意，得 ① ② 化簡，得 ①－②，得5y=150 y=30 將y=30代入①，得 x=28 所以每餐需甲原料28克，乙原料30克. Ⅲ.隨堂練習 課本P201. 1.解：設(shè)一、二兩班學生數(shù)分別為x名、y名，填寫下表： 一班 二班 兩班總數(shù) 學生數(shù)/名 x y 100 達標學生數(shù)/名 87.5%x 75%y 81%(x+y) ① ② 根據(jù)題意，得 ① ③ 化簡，得 ③+①60，得125x=6000 x=48 把x=48代入①，得y=52 所以一班有48人，二班有52人. 2.解：設(shè)甲、乙兩人每時分別行走x千米，y千米，填寫下表并求x、y的值. 甲行走的路程 乙行走的路程 兩人行走的路程和 第一種情況(甲先走2小時) (2+2.5)x 2.5y (2+2.5)x+2.5y 第二種情況(乙先走2小時) 3x (2+3)y 3x+(2+3)y 根據(jù)題意可得： ① ② ③ ④ 化簡，得 ③2－④得6x=36 x=6 把x=6代入④，得y=3.6 所以，甲乙兩人每小時各走6千米，3.6千米. Ⅳ.課時小結(jié) 這節(jié)課我們借助于列表分析具體問題中蘊涵的數(shù)量關(guān)系，使題目中的相等關(guān)系隨之而清晰地浮現(xiàn)出來.同時，我們通過解二元一次方程組使問題得以解決，提高了列方程組的技能. Ⅴ.課后作業(yè) 1.課本P202習題7.5. 2.總結(jié)列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟. Ⅵ.活動與探究 現(xiàn)有兩種溶液，甲種溶液由酒精1升，水3升配制而成，乙種溶液由酒精3升，水2升配制而成，要配制成50%的酒精溶液7升，問兩種溶液各需多少升？ 過程：題目中的數(shù)據(jù)較多，我們可以將它們統(tǒng)一列在表格中，從而使它們之間的關(guān)系一目了然，便于尋找等量關(guān)系. 首先有： 酒精(升) 水(升) 溶液(升) 濃度 甲 1 3 4 25% 乙 3 2 5 60% 設(shè)甲、乙兩種溶液分別需要x,y升，則： 溶液(升) 濃度 酒精(升) 甲 x(x≤4) 25% x25% 乙 y(y≤5) 60% y60% 合計 7 50% 3.5 有等量關(guān)系： 結(jié)果：解：設(shè)甲、乙兩種溶液x升、y升，根據(jù)題意，可得： 解得 所以需甲種溶液2升，乙種溶液5升(全部溶液)，可配制成50%的酒精溶液7升. 板書設(shè)計 7.4 增收節(jié)支 一、例1(P200)增收節(jié)支 分析：用表格分析題意： 解：(學生板演) 二、隨堂練習 (由學生板演) 三、課時小結(jié) 7.5 里程碑上的數(shù) 知識與技能目標： 1.用二元一次方程組解決“里程碑上的數(shù)”這一有趣場景中的數(shù)字問題和行程問題. 2.歸納出用二元一次方程組解決實際問題的一般步驟. 過程與方法目標： 1.讓學生進一步經(jīng)歷和體驗列方程組解決實際問題的過程，體會方程(組)是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型. 2.初步體會列方程組解決實際問題的一般步驟. 情感態(tài)度與價值觀目標： 1.“里程碑上的數(shù)”這一場景既是一個數(shù)字問題，又和行程有關(guān).相對而言有一定難度，讓學生體驗把復雜問題化為簡單問題策略的同時，培養(yǎng)學生克服困難的意志和勇氣. 2.鼓勵學生合作交流，培養(yǎng)學生的團隊精神. 教學重點 1.用二元一次方程組刻畫數(shù)學問題和行程問題. 2.初步體會列方程組解決實際問題的步驟. 教學難點 將實際問題轉(zhuǎn)化成二元一次方程組的數(shù)學模型. 教學方法 引導——討論——發(fā)現(xiàn)法. “里程碑上的數(shù)”既是一個數(shù)字問題，又是一個行程問題，相對較難，學生在教師的引導下化解成幾個簡單問題，通過學生討論解決關(guān)鍵問題，從而使問題迎刃而解.同時通過學生自己討論發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題不同情況下的字母表示方法. 教具準備 投影片兩張： 第一張：問題串(記作7.5 A)； 第一張：例1(記作7.5 B). 教學過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 出示投影片(7.5 A) ［問題1］(1)一個兩位數(shù)，個位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，那么這個數(shù)可表示為_________；如果交換個位和十位上的數(shù)字，得到一個新的兩位數(shù)可表示為_________. (2)有兩個兩位數(shù)x和y,如果將x放在y的左邊，就得到一個四位數(shù)，那么這個四位數(shù)就可以表示為_________；如果將x放在y的右邊，得到一個新的四位數(shù)，那么這個新的四位數(shù)又可表示為_________. (3)一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)為m，十位上的數(shù)為n，如果在它們之間添上一個零，就得到一個三位數(shù)，用代數(shù)式表示這個三位數(shù)為_________. ［師生共析］(1)個位上的數(shù)字是a，即有a個1，十位數(shù)字是b個10,所以這個兩位數(shù)是b個10和a個1的和即10b+a；如果交換它們的位置，得到一個新的兩位數(shù)，即a個10與b個1的和即10a+b. (2)兩位數(shù)x放在兩位數(shù)y的左邊，組成一個四位數(shù)，這時，x的個位數(shù)就變成了百位，十位數(shù)就變成了千位，因此這個四位數(shù)里含有x個100，而兩位數(shù)y在四位數(shù)中數(shù)位沒有變化，因此這個四位數(shù)中還含有y個1.因此用x、y表示這個四位數(shù)為100x+y.同理，如果將x放在y的右邊，得到一個新的四位數(shù)為100y+x. (3)一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)是m，十位上的數(shù)是n，如果在它們之間添上零，十位上的幾便成了百位上的數(shù).因此這個三位數(shù)是由n個100，0個10，m個1組成的，用代數(shù)式表示這個三位數(shù)即為100n+m. ［師］下面我們就用上面幾個小知識解決下面的綜合性問題. Ⅱ.講援新課 ［師］翻開課本P203，我們來研究“里程碑上的數(shù)”.同學們先閱讀課本上的第一段文字及文字下的三幅圖片，然后我請一位同學陳述一下問題的內(nèi)容. ［生］這個問題講的是：小明的爸爸騎著摩托車帶著小明在公路上勻速行駛.小明在12∶00時看到的里程碑上的數(shù)是一個兩位數(shù)，它的兩個數(shù)字之和是7；在13∶00時看到的里程碑上的數(shù)十位與個位數(shù)字與12∶00時看到的正好顛倒了；在14∶00時小明看到的里程碑上的數(shù)比12∶00時看到的兩位數(shù)中間多個0.試確定小明12∶00時看到里程碑上的數(shù). ［師］我們可以注意到“里程碑上的數(shù)”這一場景是非常有趣的，它既是一個數(shù)字問題，又和行程有關(guān),同時，相對而言又有一定的難度.但我們知道一個復雜的問題往往是由幾個簡單的問題組合而成的,要想求出12∶00時小明看到的里程碑上的數(shù)，就得確定這個兩位數(shù)個位和十位上的數(shù)字.我們不妨設(shè)小明在12∶00時看到的數(shù)十位數(shù)字是x，個位數(shù)字是y，根據(jù)題意，你能將12∶00、13∶00、14∶00時小明看到的里程碑上的數(shù)表示出來嗎？ ［生］小明12∶00時看到的里程碑上的數(shù)可以表示為10x+y；13∶00時看到的里程碑上的數(shù)可表示為10y+x;14∶00時看到的里程碑上的數(shù)可表示為100x+y. ［師］我們要想求出x、y的值，就得建立關(guān)于x、y的二元一次方程組這樣的數(shù)學模型，為此，我們必須找出題目中的等量關(guān)系. ［生］12∶00時小明看到的里程碑上的數(shù)，它的兩個數(shù)字之和是7，于是我們可得到一個等量關(guān)系，用x，y表示即為x+y=7. ［生］從題目中，我們還可以注意到小明的爸爸騎摩托車帶著小明在公路上是勻速行駛的.說明12∶00~13∶00與13∶00~14∶00兩段時間內(nèi)所行駛的路程相等.現(xiàn)在我們最關(guān)鍵的是用x、y表示出12∶00~13∶00時間段所行駛的路程，13∶00~14∶00時間段所行駛的路程. ［生］根據(jù)12∶00、13∶00、14∶00時小明看到的里程碑上的數(shù)可得：12∶00~13∶00間摩托車行駛的路程為(10y+x)－(10x+y);13:00~14:00間摩托車行駛的路程為(100x+y)－(10y+x).因此可列出相應(yīng)的方程為(10y+x)－(10x+y)=(100x+y)－(10y+x). ［師］根據(jù)以上分析，同學們在練習本上列出方程組，解出方程組的解. (由兩位同學黑板上板演) 解：設(shè)小明在12∶00時看到的十位數(shù)字是x,個位數(shù)字是y，根據(jù)題意，得方程組 ① ② 化簡，得 把②代入①，得x=1 把x=1代入②，得y=6 所以，這個方程組的解為 因此，小明在12：00時看到的里程碑上的數(shù)是16. ［師］從對上述問題的求解過程，我們可以得到一點啟示：遇到較復雜的問題，我們通過把它化解為幾個簡單問題去分析，可以使思路清晰，使復雜問題在化解的過程中迎刃而解，下面我們再來看一下例題. 出示投影片(7.5 B) ［例1］兩個兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個四位數(shù).已知前一個四位數(shù)比后一個四位數(shù)大2718，求這兩個兩位數(shù). 分析：(1)本題目中的兩個等量關(guān)系為：較大的兩位數(shù)+較小的兩位數(shù)=68；前一個四位數(shù)－后一個四位數(shù)=2178. (2)設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y，在較大的數(shù)的右邊接著寫較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為100x+y；在較大的數(shù)左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為100y+x. 解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x,較小的兩位數(shù)為y，則 化簡，得 即 解該方程組，得 所以這兩個兩位數(shù)分別是45和23. Ⅲ.隨堂練習 課本P202. 1.解：設(shè)十位數(shù)字是x,個位數(shù)字是y，則有方程組 解得 所以，這個兩位數(shù)是56. Ⅳ.課時小結(jié) ［議一議］列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟是怎樣的？ (引導學生回顧本章各個問題的解決過程，歸納出列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟.不一定要明晰一個十分具體的步驟.只要學生了解這個過程即可，不必要求學生回答規(guī)范化、統(tǒng)一化) ［師生共同分析］ 列二元一次方程組解應(yīng)用題的主要步驟： (1)弄清題意和題目中的等量關(guān)系.用字母表示題目中的兩個未知數(shù). (2)找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的兩個相等關(guān)系. (3)根據(jù)這兩個相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組. (4)解這個方程組并求出未知數(shù)的值. (5)根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理? (6)寫出符合題意的解釋. Ⅴ.課后作業(yè) 1.課本P202、習題7.6. 2.復習一次函數(shù)的圖象，預習下一節(jié)《二元一次方程與一次函數(shù)》. Ⅵ.活動與探究 北京和上海能制造同型號電子計算機，除本地使用外，北京支援外地10臺，上海可支援外地4臺，現(xiàn)在決定給重慶8臺，武漢6臺，每臺運費如表所示.現(xiàn)在有一種調(diào)運方案的總運費為7600元.問：這種調(diào)運方案中北京、上海分別應(yīng)調(diào)給武漢、重慶各多少臺？ 終 點 起 點 武漢 重慶 北京 4 8 上海 3 5 過程：如果設(shè)這種調(diào)運方案中北京應(yīng)調(diào)x臺到武漢，y臺到重慶；上海則應(yīng)調(diào)(6－x)臺到武漢，(8－y)臺到重慶.由每臺運費的表格可知： 北京—→武漢 費用需4x百元. 北京—→重慶 費用需8y百元. 上?！錆h 費用需3(6－x)百元. 上?！貞c 費用需5(8－y)百元. 合計7600元即76百元. 結(jié)果：解：設(shè)這種調(diào)運方案中北京應(yīng)調(diào)x臺到武漢，y臺到重慶；上海應(yīng)調(diào)(6－x)臺到武漢，(8－y)臺到重慶，根據(jù)題意，得 化簡得 解得 所以從北京調(diào)6臺到武漢，4臺到重慶；上海不用給武漢調(diào)，只需給重慶調(diào)4臺. 板書設(shè)計 7.5 里程碑上的數(shù) 一、里程碑上的數(shù) (1)相等關(guān)系： 12∶00~13∶00摩托車行駛的路程=13∶00~14∶00摩托車行駛的路程；12∶00時小明看到的十位上的數(shù)字+個位上的數(shù)字=7. (2)學生板演解答過程. 二、例題講解 例：(醫(yī)院為病人配制營養(yǎng)品) 三、隨堂練習 (學生板演) 四、列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟. 7.6 二元一次方程和一次函數(shù) 知識與技能目標： 1.二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系. 2.二元一次方程組的圖象解法. 過程與方法目標： 1.使學生初步理解二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系. 2.通過學生的思考和操作，在力圖提示出方程與圖象之間的關(guān)系，引入二元一次方程組的圖象解法.同時培養(yǎng)了學生初步的數(shù)形結(jié)合的意識和能力. 情感態(tài)度與價值觀目標： 通過學生的自主探索，提示出方程和圖象之間的對應(yīng)關(guān)系，加強了新舊知識的聯(lián)系，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣. 教學重點 1.二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系. 2.能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解. 教學難點 方程和函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系即數(shù)形結(jié)合的意識和能力. 教學方法 學生操作——自主探索的方法. 學生通過自己操作和思考，結(jié)合新舊知識的聯(lián)系，自主探索出方程與圖象之間的對應(yīng)關(guān)系，以引入二元一次方程組的圖象解法，同時也建立了“數(shù)”——二元一次方程組與“形”——函數(shù)的圖象(直線)之間的對應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)了學生數(shù)形結(jié)合的意識和能力. 教具準備 投影片兩張： 第一張：問題串(記作7.6 A)； 第二張：補充練習(記作7.6 B). 教學過程 Ⅰ.回憶舊知識，引入新課 ［師］舉例說明什么是二元一次方程？什么是二元一次方程的解？二元一次方程的解的個數(shù)如何？為什么？ ［生］例如x+y=8含有兩個未知數(shù)x,y且未知數(shù)的項的次數(shù)是一次，所以x+y=8是二元一次方程. 是適合方程x+y=8的一組未知數(shù)的值，所以是二元一次方程x+y=8的一個解. 我們不難發(fā)現(xiàn)適合x+y=8的一組未知數(shù)的值不只再例如;;……都適合方程x+y=8，所以說它們都是x+y=8的解.x+y=8有無數(shù)多個解，只要給出一個x的值，代入x+y=8中，就可得到一個y的值.這樣一組一組的未知數(shù)的值都是x+y=8的解. ［師］如果將