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等腰三角形 一、選擇題 1．（xx山東煙臺(tái)）如圖，Rt△ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，B點(diǎn)與0刻度線的一端重合，∠ABC=40，射線CD繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，與量角器外沿交于點(diǎn)D，若射線CD將△ABC分割出以BC為邊的等腰三角形，則點(diǎn)D在量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)是（　　） A．40 B．70 C．70或80 D．80或140 【考點(diǎn)】角的計(jì)算． 【分析】如圖，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，連接DO，易知點(diǎn)D在量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)=∠DOB=2∠BCD，只要求出∠BCD的度數(shù)即可解決問(wèn)題． 【解答】解：如圖，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，連接DO． ∵點(diǎn)D在量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)=∠DOB=2∠BCD， ∵當(dāng)射線CD將△ABC分割出以BC為邊的等腰三角形時(shí)， ∠BCD=40或70， ∴點(diǎn)D在量角器上對(duì)應(yīng)的度數(shù)=∠DOB=2∠BCD=80或140， 故選D． 2．（xx山東棗莊）如圖，在△ABC中，AB = AC，∠A = 30，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D，則∠D等于 A．15 B．17. 5 C．20 D．22.5 第4題圖 【答案】A. 【解析】 試題分析：在△ABC中，AB=AC，∠A=30，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB=75，所以∠ACE=180-∠ACB=180-75=105，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠DBC=37.5，∠ACD=52.5，即可得∠BCD=127.5，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠D=180-∠DBC-∠BCD=180-37.5-127.5=15，故答案選A. 考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；三角形的內(nèi)角和定理. 3．（xx.山東省泰安市，3分）如圖，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點(diǎn)，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44，則∠P的度數(shù)為（　?。? A．44 B．66 C．88 D．92 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠B，證明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出∠A=∠MKN=44，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可． 【解答】解：∵PA=PB， ∴∠A=∠B， 在△AMK和△BKN中， ， ∴△AMK≌△BKN， ∴∠AMK=∠BKN， ∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK， ∴∠A=∠MKN=44， ∴∠P=180﹣∠A﹣∠B=92， 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)，掌握等邊對(duì)等角、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 4．（xx江蘇省揚(yáng)州）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6．將該矩形紙片剪去3個(gè)等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面積的最小值是（　?。? A．6 B．3 C．2.5 D．2 【考點(diǎn)】幾何問(wèn)題的最值． 【分析】以BC為邊作等腰直角三角形△EBC，延長(zhǎng)BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四邊形EFDG，此時(shí)剩余部分面積的最小 【解答】解：如圖以BC為邊作等腰直角三角形△EBC，延長(zhǎng)BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形， 作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形， 在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四邊形EFDG，此時(shí)剩余部分面積的最小=46﹣44﹣36﹣33=2.5． 故選C． 　 二、填空題 1.（xx湖北黃岡）如圖，已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4個(gè)全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG，GI在同一條直線上，且AB=2，BC=1. 連接AI，交FG于點(diǎn)Q，則QI=_____________. A D F H Q B C E G I （第14題） 【考點(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì). 【分析】過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC. 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到MC=BC=，從而MI=MC+CE+EG+GI=.再根據(jù)勾股定理，計(jì)算出AM和AI的值；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出角相等，從而證明AC∥GQ，則△IAC∽△IQG，故=，可計(jì)算出QI=. A D F H Q B M C E G I 【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC. 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得 MC=BC=. ∴MI=MC+CE+EG+GI=. 在Rt△AMC中，AM2=AC2-MC2= 22-（）2=. AI===4. 易證AC∥GQ，則△IAC∽△IQG ∴= 即= ∴QI=. 故答案為：. 2. (xx四川資陽(yáng))如圖，在33的方格中，A、B、C、D、E、F分別位于格點(diǎn)上，從C、D、E、F四點(diǎn)中任取一點(diǎn)，與點(diǎn)A、B為頂點(diǎn)作三角形，則所作三角形為等腰三角形的概率是　?。? 【考點(diǎn)】概率公式；等腰三角形的判定． 【分析】根據(jù)從C、D、E、F四個(gè)點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，一共有4種可能，選取D、C、F時(shí)，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案． 【解答】解：根據(jù)從C、D、E、F四個(gè)點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，一共有4種可能，選取D、C、F時(shí)，所作三角形是等腰三角形， 故P（所作三角形是等腰三角形）=； 故答案為：． 3. （xx四川成都4分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE垂直平分OB于點(diǎn)E，則AD的長(zhǎng)為　3?。? 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)證出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可． 【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴OB=OD，OA=OC，AC=BD， ∴OA=OB， ∵AE垂直平分OB， ∴AB=AO， ∴OA=AB=OB=3， ∴BD=2OB=6， ∴AD===3； 故答案為：3． 　 4. （xx四川達(dá)州3分）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段AQ，連接BQ．若PA=6，PB=8，PC=10，則四邊形APBQ的面積為　24+9?。? 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】連結(jié)PQ，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC=60，AB=AC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=PQ=6，∠PAQ=60，則可判斷△APQ為等邊三角形，所以PQ=AP=6，接著證明△APC≌△ABQ得到PC=QB=10，然后利用勾股定理的逆定理證明△PBQ為直角三角形，再根據(jù)三角形面積公式，利用S四邊形APBQ=S△BPQ+S△APQ進(jìn)行計(jì)算． 【解答】解：連結(jié)PQ，如圖， ∵△ABC為等邊三角形， ∴∠BAC=60，AB=AC， ∵線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段AQ， ∴AP=PQ=6，∠PAQ=60， ∴△APQ為等邊三角形， ∴PQ=AP=6， ∵∠CAP+∠BAP=60，∠BAP+∠BAQ=60， ∴∠CAP=∠BAQ， 在△APC和△ABQ中， ， ∴△APC≌△ABQ， ∴PC=QB=10， 在△BPQ中，∵PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=102， 而64+36=100， ∴PB2+PQ2=BQ2， ∴△PBQ為直角三角形，∠BPQ=90， ∴S四邊形APBQ=S△BPQ+S△APQ=68+62=24+9． 故答案為24+9． 5. （xx江蘇淮安，16，3分）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2和4，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是　10?。? 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分析】根據(jù)任意兩邊之和大于第三邊，知道等腰三角形的腰的長(zhǎng)度是4，底邊長(zhǎng)2，把三條邊的長(zhǎng)度加起來(lái)就是它的周長(zhǎng)． 【解答】解：因?yàn)?+2＜4， 所以等腰三角形的腰的長(zhǎng)度是4，底邊長(zhǎng)2， 周長(zhǎng)：4+4+2=10， 答：它的周長(zhǎng)是10， 故答案為：10 【點(diǎn)評(píng)】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是先判斷出三角形的兩條腰的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)的計(jì)算方法，列式解答即可． 6.（xx廣東廣州）如圖，中，,點(diǎn)在上，,將線段沿方向平移得到線段，點(diǎn)分別落在邊上，則的周長(zhǎng)是 cm. ［難易］ 容易 ［考點(diǎn)］ 平移 ，等腰三角形等角對(duì)等邊 ［解析］ ∵CD沿CB平移7cm至EF ［參考答案］ 13 7.（xx廣西賀州）如圖，在△ABC中，分別以AC、BC為邊作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE、BD交于點(diǎn)O，則∠AOB的度數(shù)為　120　． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】先證明∴△DCB≌△ACE，再利用“8字型”證明∠AOH=∠DCH=60即可解決問(wèn)題． 【解答】解：如圖：AC與BD交于點(diǎn)H． ∵△ACD，△BCE都是等邊三角形， ∴CD=CA，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60， ∴∠DCB=∠ACE， 在△DCB和△ACE中， ， ∴△DCB≌△ACE， ∴∠CAE=∠CDB， ∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180，∠AOH+∠AHO+∠CAE=180，∠DHC=∠OHA， ∴∠AOH=∠DCH=60， ∴∠AOB=180﹣∠AOH=120． 故答案為120 【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，學(xué)會(huì)利用“8字型”證明角相等，屬于中考?？碱}型． 8．（xx山東煙臺(tái)）如圖，O為數(shù)軸原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)﹣3，3，作腰長(zhǎng)為4的等腰△ABC，連接OC，以O(shè)為圓心，CO長(zhǎng)為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為　?。? 【考點(diǎn)】勾股定理；實(shí)數(shù)與數(shù)軸；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)得到OC⊥AB，則利用勾股定理可計(jì)算出OC=，然后利用畫法可得到OM=OC=，于是可確定點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)． 【解答】解：∵△ABC為等腰三角形，OA=OB=3， ∴OC⊥AB， 在Rt△OBC中，OC===， ∵以O(shè)為圓心，CO長(zhǎng)為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M， ∴OM=OC=， ∴點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為． 故答案為． 9．（xx.山東省青島市,3分）如圖，以邊長(zhǎng)為20cm的正三角形紙板的各頂點(diǎn)為端點(diǎn)，在各邊上分別截取4cm長(zhǎng)的六條線段，過(guò)截得的六個(gè)端點(diǎn)作所在邊的垂線，形成三個(gè)有兩個(gè)直角的四邊形．把它們沿圖中 虛線剪掉，用剩下的紙板折成一個(gè)底為正三角形的無(wú)蓋柱形盒子，則它的容積為　448﹣480　cm3． 【考點(diǎn)】剪紙問(wèn)題． 【分析】由題意得出△ABC為等邊三角形，△OPQ為等邊三角形，得出∠A=∠B=∠C=60，AB=BC=AC．∠POQ=60，連結(jié)AO，作QM⊥OP于M，在Rt△AOD中，∠OAD=∠OAK=30，得出OD=AD=2cm，AD=OD=2cm，同理：BE=AD=2cm，求出PQ、QM，無(wú)蓋柱形盒子的容積=底面積高，即可得出結(jié)果． 【解答】解：如圖，由題意得：△ABC為等邊三角形，△OPQ為等邊三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60，AB=BC=AC，∠POQ=60， ∴∠ADO=∠AKO=90． 連結(jié)AO，作QM⊥OP于M， 在Rt△AOD中，∠OAD=∠OAK=30， ∴OD=AD=2cm， ∴AD=OD=2cm， 同理：BE=AD=2cm， ∴PQ=DE=20﹣22=20﹣4（cm）， ∴QM=OP?sin60=（20﹣4）=10﹣6，（cm）， ∴無(wú)蓋柱形盒子的容積=（20﹣4）（10﹣6）4=448﹣480（cm3）； 故答案為：448﹣480． 10．（xx江蘇泰州）如圖，已知直線l1∥l2，將等邊三角形如圖放置，若∠α=40，則∠β等于　20?。? 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)． 【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD∥l1，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAD=∠β．根據(jù)平行線的傳遞性可得AD∥l2，從而得到∠DAC=∠α=40．再根據(jù)等邊△ABC可得到∠BAC=60，就可求出∠DAC，從而解決問(wèn)題． 【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD∥l1，如圖， 則∠BAD=∠β． ∵l1∥l2， ∴AD∥l2， ∵∠DAC=∠α=40． ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠BAC=60， ∴∠β=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60﹣40=20． 故答案為20． 　 三.解答題 1. （xx年浙江省寧波市）從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線于對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線． （1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40，∠B=60，求證：CD為△ABC的完美分割線． （2）在△ABC中，∠A=48，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)． （3）如圖2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】新定義． 【分析】（1）根據(jù)完美分割線的定義只要證明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可． （2）分三種情形討論即可①如圖2，當(dāng)AD=CD時(shí)，②如圖3中，當(dāng)AD=AC時(shí)，③如圖4中，當(dāng)AC=CD時(shí)，分別求出∠ACB即可． （3）設(shè)BD=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解決問(wèn)題． 【解答】解：（1）如圖1中，∵∠A=40，∠B=60， ∴∠ACB=80， ∴△ABC不是等腰三角形， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40， ∴∠ACD=∠A=40， ∴△ACD為等腰三角形， ∵∠DCB=∠A=40，∠CBD=∠ABC， ∴△BCD∽△BAC， ∴CD是△ABC的完美分割線． （2）①當(dāng)AD=CD時(shí)，如圖2，∠ACD=∠A=45， ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96． ②當(dāng)AD=AC時(shí)，如圖3中，∠ACD=∠ADC==66， ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114． ③當(dāng)AC=CD時(shí)，如圖4中，∠ADC=∠A=48， ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48， ∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍棄． ∴∠ACB=96或114． （3）由已知AC=AD=2， ∵△BCD∽△BAC， ∴=，設(shè)BD=x， ∴（）2=x（x+2）， ∵x＞0， ∴x=﹣1， ∵△BCD∽△BAC， ∴==， ∴CD=2=﹣． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)分類討論思想，屬于中考?？碱}型． 2．（xx上海）如圖所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90，AD=15，AB=16，BC=12，點(diǎn)E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是射線CD上一點(diǎn)，射線ED和射線AF交于點(diǎn)G，且∠AGE=∠DAB． （1）求線段CD的長(zhǎng)； （2）如果△AEC是以EG為腰的等腰三角形，求線段AE的長(zhǎng)； （3）如果點(diǎn)F在邊CD上（不與點(diǎn)C、D重合），設(shè)AE=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍． 【考點(diǎn)】四邊形綜合題． 【專題】綜合題． 【分析】（1）作DH⊥AB于H，如圖1，易得四邊形BCDH為矩形，則DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理計(jì)算出AH，從而得到BH和CD的長(zhǎng)； （2）分類討論：當(dāng)EA=EG時(shí)，則∠AGE=∠GAE，則判斷G點(diǎn)與D點(diǎn)重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如圖1，則AM=AD=，通過(guò)證明Rt△AME∽R(shí)t△AHD，利用相似比可計(jì)算出此時(shí)的AE長(zhǎng)；當(dāng)GA=GE時(shí)，則∠AGE=∠AEG，可證明AE=AD=15， （3）作DH⊥AB于H，如圖2，則AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE=，再證明△EAG∽△EDA，則利用相似比可表示出EG=，則可表示出DG，然后證明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的關(guān)系． 【解答】解：（1）作DH⊥AB于H，如圖1， 易得四邊形BCDH為矩形， ∴DH=BC=12，CD=BH， 在Rt△ADH中，AH===9， ∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7， ∴CD=7； （2）當(dāng)EA=EG時(shí)，則∠AGE=∠GAE， ∵∠AGE=∠DAB， ∴∠GAE=∠DAB， ∴G點(diǎn)與D點(diǎn)重合，即ED=EA， 作EM⊥AD于M，如圖1，則AM=AD=， ∵∠MAE=∠HAD， ∴Rt△AME∽R(shí)t△AHD， ∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=； 當(dāng)GA=GE時(shí)，則∠AGE=∠AEG， ∵∠AGE=∠DAB， 而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG， ∴∠GAE=∠ADG， ∴∠AEG=∠ADG， ∴AE=AD=15， 綜上所述，△AEC是以EG為腰的等腰三角形時(shí)，線段AE的長(zhǎng)為或15； （3）作DH⊥AB于H，如圖2，則AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9， 在Rt△ADE中，DE==， ∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA， ∴△EAG∽△EDA， ∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：， ∴EG=， ∴DG=DE﹣EG=﹣， ∵DF∥AE， ∴△DGF∽△EGA， ∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（﹣）：， ∴y=（9＜x＜）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握梯形的性質(zhì)等等腰三角形的性質(zhì)；常把直角梯形化為一個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形解決問(wèn)題；會(huì)利用勾股定理和相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題． 　3．（xx江蘇省宿遷）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，點(diǎn)P是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，若滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，則AB的長(zhǎng)為　4?。? 【分析】如圖，當(dāng)AB=AD時(shí)，滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)． 【解答】解：如圖，當(dāng)AB=AD時(shí)，滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)， △P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C）， 則AB=AD=4， 故答案為4． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，屬于中考?？碱}型． 4．（xx江蘇省宿遷）如圖，已知BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求證：BE=CF． 【分析】先利用平行四邊形性質(zhì)證明DE=CF，再證明EB=ED，即可解決問(wèn)題． 【解答】證明：∵ED∥BC，EF∥AC， ∴四邊形EFCD是平行四邊形， ∴DE=CF， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD=∠DBC， ∵DE∥BC， ∴∠EDB=∠DBC， ∴∠EBD=∠EDB， ∴EB=ED， ∴EB=CF． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用直線知識(shí)解決問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型． 5．（xx江蘇省宿遷）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（A、B兩點(diǎn)除外），將△CAD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α得到△CEF，其中點(diǎn)E是點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F是點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)． （1）如圖1，當(dāng)α=90時(shí)，G是邊AB上一點(diǎn)，且BG=AD，連接GF．求證：GF∥AC； （2）如圖2，當(dāng)90≤α≤180時(shí)，AE與DF相交于點(diǎn)M． ①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C、D不重合時(shí)，連接CM，求∠CMD的度數(shù)； ②設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，當(dāng)α從90變化到180時(shí)，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)． 【分析】（1）欲證明GF∥AC，只要證明∠A=∠FGB即可解決問(wèn)題． （2）①先證明A、D、M、C四點(diǎn)共圓，得到∠CMF=∠CAD=45，即可解決問(wèn)題． ②利用①的結(jié)論可知，點(diǎn)M在以AC為直徑的⊙O上，運(yùn)動(dòng)路徑是弧CD，利用弧長(zhǎng)公式即可解決問(wèn)題． 【解答】解：（1）如圖1中，∵CA=CB，∠ACB=90， ∴∠A=∠ABC=45， ∵△CEF是由△CAD旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針α得到，α=90， ∴CB與CE重合， ∴∠CBE=∠A=45， ∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90， ∵BG=AD=BF， ∴∠BGF=∠BFG=45， ∴∠A=∠BGF=45， ∴GF∥AC． （2）①如圖2中，∵CA=CE，CD=CF， ∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD， ∵∠ACD=∠ECF， ∴∠ACE=∠CDF， ∵2∠CAE+∠ACE=180，2∠CDF+∠DCF=180， ∴∠CAE=∠CDF， ∴A、D、M、C四點(diǎn)共圓， ∴∠CMF=∠CAD=45， ∴∠CMD=180﹣∠CMF=135． ②如圖3中，O是AC中點(diǎn)，連接OD、CM． ∵AD=DB，CA=CB， ∴CD⊥AB， ∴∠ADC=90， 由①可知A、D、M、C四點(diǎn)共圓， ∴當(dāng)α從90變化到180時(shí)， 點(diǎn)M在以AC為直徑的⊙O上，運(yùn)動(dòng)路徑是弧CD， ∵OA=OC，CD=DA， ∴DO⊥AC， ∴∠DOC=90， ∴的長(zhǎng)==． ∴當(dāng)α從90變化到180時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)A、D、M、C四點(diǎn)共圓，最后一個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵，正確探究出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑，記住弧長(zhǎng)公式，屬于中考?jí)狠S題． 6．（xx?遼寧沈陽(yáng)）在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△ADE，旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α＜180），點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，連接BD，BE． （1）如圖，當(dāng)α=60時(shí)，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F． ①求證：△ABD是等邊三角形； ②求證：BF⊥AD，AF=DF； ③請(qǐng)直接寫出BE的長(zhǎng)； （2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)D作DG垂直于直線AB，垂足為點(diǎn)G，連接CE，當(dāng)∠DAG=∠ACB，且線段DG與線段AE無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出BE+CE的值． 溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補(bǔ)充圖形，以便作答． 【考點(diǎn)】三角形綜合題． 【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知AB=AD，∠BAD=60即可得證；②由BA=BD、EA=ED根據(jù)中垂線性質(zhì)即可得證；③分別求出BF、EF的長(zhǎng)即可得； （2）由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC得∠BAE=∠BAC且AE=AC，根據(jù)三線合一可得CE⊥AB、AC=5、AH=3，繼而知CE=2CH=8、BE=5，即可得答案． 【解答】解：（1）①∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60得到△ADE， ∴AB=AD，∠BAD=60， ∴△ABD是等邊三角形； ②由①得△ABD是等邊三角形， ∴AB=BD， ∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60得到△ADE， ∴AC=AE，BC=DE， 又∵AC=BC， ∴EA=ED， ∴點(diǎn)B、E在AD的中垂線上， ∴BE是AD的中垂線， ∵點(diǎn)F在BE的延長(zhǎng)線上， ∴BF⊥AD，AF=DF； ③由②知BF⊥AD，AF=DF， ∴AF=DF=3， ∵AE=AC=5， ∴EF=4， ∵在等邊三角形ABD中，BF=AB?sin∠BAF=6=3， ∴BE=BF﹣EF=3﹣4； （2）如圖所示， ∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC， ∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180， 又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180， ∴∠BAE=∠ABC， ∵AC=BC=AE， ∴∠BAC=∠ABC， ∴∠BAE=∠BAC， ∴AB⊥CE，且CH=HE=CE， ∵AC=BC， ∴AH=BH=AB=3， 則CE=2CH=8，BE=5， ∴BE+CE=13． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、中垂線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．