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2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 第三十三講《平行四邊形》教案3 北師大版 　　平行四邊形是一種極重要的幾何圖形．這不僅是因為它是研究更特殊的平行四邊形——矩形、菱形、正方形的基礎(chǔ)，還因為由它的定義知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關(guān)平行線的許多性質(zhì)，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應(yīng)用． 　　由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質(zhì)： 　　(1)平行四邊形對角相等； 　　(2)平行四邊形對邊相等； 　　(3)平行四邊形對角線互相平分． 　　除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法： 　　(1)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形； 　　(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形； 　　(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形； 　　(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形． 　　例1 如圖2-32所示．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求證：EF與MN互相平分． 　　分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角形下手． 　　證 因為ABCD是平行四邊形，所以 ADBC，ABCD，∠B=∠D． 　　又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，從而 AE=CF． 　　所以 　　Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以 △BEM≌△DFN(SAS)， 　　ME=NF． ① 　　又因為AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以 △MAF≌△NCE(SAS)， 　　所以 MF=NF． ② 　　由①，②，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對角線EF與MN互相平分． 　　例2 如圖2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求證：AE=CF． 　　分析 AE與CF分處于不同的位置，必須通過添加輔助線使兩者發(fā)生聯(lián)系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分線，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又連接EH，可證△ABE≌△HBE，從而AE=HE．這樣，將AE“轉(zhuǎn)移”到EH位置．設(shè)法證明EHCF為平行四邊形，問題即可獲解． 　　證 作GH⊥BC于H，連接EH．因為BG是∠ABH的平分線，GA⊥BA，所以GA=GH，從而 △ABG≌△HBG(AAS)， 　　所以 AB=HB． ① 　　在△ABE及△HBE中， ∠ABE=∠CBE，BE=BE， 　　所以 △ABE≌△HBE(SAS)， 　　所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH． 　　下面證明四邊形EHCF是平行四邊形． 　　因為AD∥GH，所以 　　∠AEG=∠BGH(內(nèi)錯角相等)． ② 　　又∠AEG=∠GEH(因為∠BEA=∠BEH，等角的補角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形對應(yīng)角相等)，所以 ∠AGB=∠GEH． 　　從而 EH∥AC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)． 　　由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四邊形，所以 FC=EH=AE． 　　說明 本題添加輔助線GH⊥BC的想法是由BG為∠ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點到角的兩邊距離相等)，從而構(gòu)造出全等三角形ABG與△HBG．繼而發(fā)現(xiàn)△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的過渡．這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了． 　　人們在學(xué)習中，經(jīng)過刻苦鉆研，形成有用的經(jīng)驗，這對我們探索新的問題是十分有益的． 　　例3 如圖2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：∠EMC=3∠BEM． 　　分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．從而，應(yīng)該有∠B=2∠BEM，這個論斷在△BEM內(nèi)很難發(fā)現(xiàn)，因此，應(yīng)設(shè)法通過添加輔助線的辦法，將這兩個角轉(zhuǎn)移到新的位置加以解決．利用平行四邊形及M為BC中點的條件，延長EM與DC延長線交于F，這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此， 只要證明∠MCF=2∠F即可．不難發(fā)現(xiàn)，△EDF為直角三角形(∠EDF=90)及M為斜邊中點，我們的證明可從這里展開． 　　證 延長EM交DC的延長線于F，連接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以 △MCF≌△MBE(AAS)， 　　所以M是EF的中點．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知 ∠F=∠MDC， 　　又由已知MC=CD，所以 ∠MDC=∠CMD， 　　則 ∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F． 　　從而 ∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM． 　　例4 如圖2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延長線于F．求證：CA=CF． 　　分析 只要證明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45-∠CAD，所以，在添加輔助線時，應(yīng)設(shè)法產(chǎn)生一個與∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45-a．為此，延長DC交AF于H，并設(shè)AF與BC交于G，我們不難證明∠FCH=∠CAD． 　　證 延長DC交AF于H，顯然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因為矩形對角線相等，所以△DCB≌△CDA，從而∠DBC=∠CAD，因此， 　　∠FCH=∠CAD． ① 　　又AG平分∠BAD=90，所以△ABG是等腰直角三角形，從而易證△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45．由于∠CHG是△CHF的外角，所以 ∠CHG=∠CFH+∠FCH=45， 　　所以 ∠CFH=45-∠FCH． ② 　　由①，② ∠CFH=45-∠CAD=∠CAF， 　　于是在三角形CAF中，有 CA=CF． 　　例5 設(shè)正方形ABCD的邊CD的中點為E，F(xiàn)是CE的中點(圖2-36)．求證： 　 　　分析 作∠BAF的平分線，將角分為∠1與∠2相等的兩部分，設(shè)法證明∠DAE=∠1或∠2． 　　證 如圖作∠BAF的平分線AH交DC的延長線于H，則∠1=∠2=∠3，所以 FA=FH． 　　設(shè)正方形邊長為a，在Rt△ADF中， 　　 　　　 　　從而 　　 　　所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)， 　　 　　從而 Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)， 　　 　　例6 如圖2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延長線上取點E，F(xiàn)，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G．求證：△GHD是等腰三角形． 　　分析 準確地畫圖可啟示我們證明∠GDH=∠GHD． 　　證 因為DEBC，所以四邊形BCED為平行四邊形，所以∠1=∠4．又BD=FD，所以 　 　　所以 BC=GC=CD． 　　因此，△DCG為等腰三角形，且頂角∠DCG=45，所以 　　又 　　所以 ∠HDG=∠GHD， 　　從而GH=GD，即△GHD是等腰三角形． 練習十二 　　1．如圖2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形． 　　2．如圖2-39所示．在平行四邊形ABCD中，△ABE和△BCF都是等邊三角形．求證：△DEF是等邊三角形． 　 　　3．如圖2-40所示．ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求證：BE=CF． 　　4．如圖2-41所示．矩形ABCD中，F(xiàn)在CB延長線上，AE=EF，CF=CA．求證：BE⊥DE． 　　5．如圖2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分