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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第二十三講 圓與圓 圓與圓的位置關系有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種情形，判定兩圓的位置關系有如下三種方法： 1．通過兩圓交點的個數(shù)確定； 2．通過兩圓的半徑與圓心距的大小量化確定； 3．通過兩圓的公切線的條數(shù)確定． 為了溝通兩圓，常常添加與兩圓都有聯(lián)系的一些線段，如公共弦、共切線、連心線，以及兩圓公共部分相關的角和線段，這是解圓與圓位置關系問題的常用輔助線． 熟悉以下基本圖形、基本結論： 【例題求解】 【例1】 如圖，⊙Ol與半徑為4的⊙O2內(nèi)切于點A，⊙Ol經(jīng)過圓心O2，作⊙O2的直徑BC交⊙Ol于點D，EF為過點A的公切線，若O2D=，那么∠BAF= 度． 思路點撥 直徑、公切線、O2的特殊位置等，隱含豐富的信息，而連O2Ol必過A點，先求出∠D O2A的度數(shù)． 注：(1)兩圓相切或相交時，公切線或公共弦是重要的類似于“橋梁”的輔助線，它可以使弦切角與圓周角、圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角與外角得以溝通．同時，又是生成圓冪定理的重要因素． (2)涉及兩圓位置關系的計算題，常作半徑、連心線，結合切線性質(zhì)等構造直角三角形，將分散的條件集中，通過解直角三角形求解． 【例2】 如圖，⊙Ol與⊙O2外切于點A，兩圓的一條外公切線與⊙O1相切于點B，若AB與兩圓的另一條外公切線平行，則⊙Ol 與⊙O2的半徑之比為( ) A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3 思路點撥 添加輔助線，要探求兩半徑之間的關系，必須求出∠COlO2 (或∠DO2Ol)的度數(shù)，為此需尋求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的關系． 【例3】 如圖，已知⊙Ol與⊙O2相交于A、B兩點，P是⊙Ol上一點，PB的延長線交⊙O2于點C，PA交⊙O2于點D，CD的延長線交⊙Ol于點N． (1)過點A作AE∥CN交⊙Oll于點E，求證：PA=PE； (2)連結PN，若PB=4，BC=2，求PN的長． 思路點撥 (1)連AB，充分運用與圓相關的角，證明∠PAE=∠PEA；(2)PBPC=PDPA，探尋PN、PD、PA對應三角形的聯(lián)系． 【例4】 如圖，兩個同心圓的圓心是O，AB是大圓的直徑，大圓的弦與小圓相切于點D，連結OD并延長交大圓于點E，連結BE交AC于點F，已知AC=，大、小兩圓半徑差為2． (1)求大圓半徑長； (2)求線段BF的長； (3)求證：EC與過B、F、C三點的圓相切． 思路點撥 (1)設大圓半徑為R，則小圓半徑為R-2，建立R的方程；(2)證明△EBC∽△ECF；(3)過B、F、C三點的圓的圓心O′，必在BF上，連OˊC，證明∠O′CE=90． 注：本例以同心圓為背景，綜合了垂徑定理、直徑所對的圓周角為直角、切線的判定、勾股定理、相似三角形等豐富的知識．作出圓中基本輔助線、運用與圓相關的角是解本例的關鍵． 【例5】 如圖，AOB是半徑為1的單位圓的四分之一，半圓O1的圓心O1在OA上，并與弧AB內(nèi)切于點A，半圓O2的圓心O2在OB上，并與弧AB內(nèi)切于點B，半圓O1與半圓O2相切，設兩半圓的半徑之和為，面積之和為． (1)試建立以為自變量的函數(shù)的解析式； (2)求函數(shù)的最小值． 思路點撥 設兩圓半徑分別為R、r，對于(1)，，通過變形把R2+r2用“=R+r”的代數(shù)式表示，作出基本輔助線；對于(2)，因=R+r，故是在約束條件下求的最小值，解題的關鍵是求出R+r的取值范圍． 注：如圖，半徑分別為r、R的⊙Ol 、⊙O2外切于C，AB，CM分別為兩圓的公切線，OlO2與AB交于P點，則： (1)AB=2； (2) ∠ACB=∠Ol M O2=90； (3)PC2=PAPB； (4)sinP=； (5)設C到AB的距離為d，則． 學力訓練 1．已知：⊙Ol和⊙O2交于A、B兩點，且⊙Ol經(jīng)過點O2，若∠AOlB=90，則∠A O2B的度數(shù)是 ． 2．矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分別以A、C為圓心的兩圓相切，點D在圓C內(nèi)，點B在圓C外，那么圓A的半徑r的取值范圍 ． 3．如圖；⊙Ol 、⊙O2相交于點A、B，現(xiàn)給出4個命題： (1)若AC是⊙O2的切線且交⊙Ol于點C，AD是⊙Ol的切線且交⊙O2于點D，則AB2=BCBD； (2)連結AB、OlO2，若OlA=15cm，O2A=20cm，AB=24cm，則OlO2=25cm； (3)若CA是⊙Ol的直徑，DA是⊙O2 的一條非直徑的弦，且點D、B不重合，則C、B、D三點不在同一條直線上， (4)若過點A作⊙Ol的切線交⊙O2于點D，直線DB交⊙Ol于點C，直線CA 交⊙O2于點E，連結DE，則DE2=DBDC，則正確命題的序號是 (寫出所有正確命題的序號) ． 4．如圖，半圓O的直徑AB=4，與半圓O內(nèi)切的動圓Ol與AB切于點M，設⊙Ol的半徑為，AM的長為，則與的函數(shù)關系是 ，自變量的取值范圍是 ． 5．如圖，施工工地的水平地面上，有三根外徑都是1米的水泥管兩兩相切摞在一起，則其最高點到地面的距離是( ) A．2 B． C． D． 6．如圖，已知⊙Ol、⊙O2相交于A、B兩點，且點Ol在⊙O2上，過A作⊙Oll的切線AC交B Ol的延長線于點P，交⊙O2于點C，BP交⊙Ol于點D，若PD=1，PA=，則AC的長為( ) A． B． C． D． 7．如圖，⊙Ol和⊙O2外切于A，PA是內(nèi)公切線，BC是外公切線，B、C是切點①PB=AB；②∠PBA=∠PAB；③△PAB∽△OlAB；④PBPC=OlAO2A． 上述結論，正確結論的個數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 8．兩圓的半徑分別是和r (R>r)，圓心距為d，若關于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則兩圓的位置關系是( ) A．一定內(nèi)切 B．一定外切 C．相交 D．內(nèi)切或外切 9．如圖，⊙Ol和⊙O2內(nèi)切于點P，過點P的直線交⊙Ol于點D，交⊙O2于點E，DA與⊙O2相切，切點為C． （1）求證：PC平分∠APD； (2)求證：PDPA=PC2+ACDC； (3)若PE=3，PA=6，求PC的長． 10．如圖，已知⊙Ol和⊙O2外切于A，BC是⊙Ol和⊙O2的公切線，切點為B、C，連結BA并延長交⊙Ol于D，過D點作CB的平行線交⊙O2于E、F，求證：(1)CD是⊙Ol的直徑；(2)試判斷線段BC、BE、BF的大小關系，并證明你的結論． 11．如圖，已知A是⊙Ol、⊙O2的一個交點，點M是 OlO2的中點，過點A的直線BC垂直于MA，分別交⊙Ol、⊙O2于B、C． (1)求證：AB=AC； (2)若Ol A切⊙O2于點A，弦AB、AC的弦心距分別為dl、d2，求證：dl+d2=O1O2； (3)在(2)的條件下，若dld2=1，設⊙Ol、⊙O2的半徑分別為R、r，求證：R2+r2= R2r2． 12．已知半徑分別為1和2的兩個圓外切于點P，則點P到兩圓外公切線的距離為 ． 13．如圖，7根圓形筷子的橫截面圓半徑為r，則捆扎這7根筷子一周的繩子的長度為 ． 14．如圖，⊙Ol和⊙O2內(nèi)切于點P，⊙O2的弦AB經(jīng)過⊙Ol的圓心Ol，交⊙Ol于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，則⊙Ol與⊙O2的直徑之比為( ) A．2：7 B．2：5 C．2：3 D． 1：3 15．如圖，⊙Ol與⊙O2相交，P是⊙Ol上的一點，過P點作兩圓的切線，則切線的條數(shù)可能是( ) A．1，2 B．1，3 C．1，2，3 D．1，2，3，4 16．如圖，相等兩圓交于A、B兩點，過B任作一直線交兩圓于M、N，過M、N各引所在圓的切線相交于C，則四邊形AMCN有下面關系成立( ) A．有內(nèi)切圓無外接圓 B有外接圓無內(nèi)切圓 C．既有內(nèi)切圓，也有外接圓 D．以上情況都不對 17．已知：如圖，⊙O與相交于A，B兩點，點P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于點A，CP及其延長線交⊙P P于點D，E，過點E作EF⊥CE交CB的延長線于F． （1）求證：BC是⊙P的切線； (2)若CD=2，CB=，求EF的長； (3)若k=PE：CE，是否存在實數(shù)k，使△PBD恰好是等邊三角形?若存在，求出是的值；若不存在，請說明理由． 18．如圖，⊙A和⊙B是外離兩圓，⊙A的半徑長為2，⊙B的半徑長為1，AB=4，P為連接兩圓圓心的線段AB上的一點，PC切⊙A于點C，PD切⊙B于點D． (1)若PC=PD，求PB的長； (2)試問線段AB上是否存在一點P，使PC2+PD2=4？，如果存在，問這樣的P點有幾個?并求出PB的值；如果不存在，說明理由； (3)當點F在線段AB上運動到某處，使PC⊥PD時，就有△APC∽△PBD． 請問：除上述情況外，當點P在線段AB上運動到何處(說明PB的長為多少，或PC、PD具有何種關系)時，這兩個三角形仍相似；并判斷此時直線CP與OB的位置關系，證明你的結論． 19．如圖，D、E是△ABC邊BC上的兩點，F(xiàn)是BA延長線上一點，∠DAE=∠CAF． (1)判斷△ABD的外接圓與△AEC的外接圓的位置關系，并證明你的結論； (2)若△ABD的外接圓半徑是△AEC的外接圓半徑的2倍，BC=6，AB=4，求BE的長． 20．問題：要將一塊直徑為2cm的半圓形鐵皮加工成一個圓柱的兩個底面和一個圓錐的底面． 操作：方案一：在圖甲中，設計一個使圓錐底面最大，半圓形鐵皮得以最充分利用的方案(要求，畫示意圖) ． 方案二；在圖乙中，設計一個使圓柱兩個底面最大，半圓形鐵皮得以最充分利用的方案(要求：畫示意圖)； ， 探究：(1)求方案一中圓錐底面的半徑； (2)求方案二中圓錐底面及圓柱底面的半徑； (3)設方案二中半圓圓心為O，圓柱兩個底面的圓心為O1、O2，圓錐底面的圓心為O3，試判斷以O1、O2、O3、O為頂點的四邊形是什么樣的特殊四邊形，并加以證明． 參考答案