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2019版中考數(shù)學一輪復習 第八單元 相似三角形與銳角 三角函數(shù)知識梳理學案 班級 姓名 日期 【學習目標】 1. 掌握相似三角形、位似圖形、三角函數(shù)的相關概念。 2. 利用相似三角形的性質(zhì)，解決簡單問題；利用三角函數(shù)解決實際問題。 【學習重難點】 1. 相似三角形、位似圖形的性質(zhì)，三角函數(shù)的相關計算是學習的重點。 2. 相似三角形、位似圖形的性質(zhì)的應用和三角函數(shù)的應用是學習的難點。 【知識結構圖】 【知識概要】 1.同一個長度單位下， 的比叫做兩條線段的比； 【練習】已知a=5mm，b=2cm，則= ； 2.比例尺=，結果一般寫成1：m的形式； 【練習】甲乙兩地的實際距離為250km，如果畫在比例尺為1:5000000的地圖上，那么甲、乙兩地的圖上距離是 cm。 3. 在四條線段a、b、c、d中，如果 , 則稱這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段，簡稱比例線段； 【練習】1.下列線段中，其中成比例的是（　　） A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm 2. 已知a、b、d、c是成比例線段，a=4，b=6，d=9，則c= ； 4. 比例的基本性質(zhì)：若，則有 ； 反之，若 ，則有； 即: 兩個外項之積=兩個內(nèi)項之積 【練習】1.若，則= ； 若，則= ； 2.若，且，則x= ，y= ； 5．在中，若 ，則稱b（或c）叫做a和d的比例中項； 【練習】已知線段a=1cm，b=4cm，那么線段a、b的比例中項c= cm； 6．如圖，如果點C把線段AB分成兩部分（AC＞BC），且滿足 ，則稱線段AB被點C 黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．線段BC與AC（或AC與AB）的比值為 ，大約為 ，這個比值稱做黃金比。 【練習】已知線段AB=4cm，點C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，則AC= cm； 7.各角分別 ，各邊 的兩個多邊形稱為相似多邊形； 8.性質(zhì)：（1）相似多邊形的 ， ； （2）相似多邊形的 的比叫做相似比； 【練習】如圖1，四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，則邊x= ，α= ； （圖1） （圖2） （圖3） 9.平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的 成比例； 【數(shù)學符號語言】∵直線l1∥l2∥l3（如圖2） ∴ ；（寫出一種結論即可） 【練習】如圖2，如果l1∥l2∥l3，AC=12，DE=3，EF=5，那么BC= ． 10.相似三角形的判定方法： （1）平行于三角形的一邊的直線與其它兩邊（或延長線）相交，所截的三角形與原三角形相似； （2） 分別相等的兩個三角形相似； （3）兩條 且夾角 的兩個三角形相似； （4）三邊 的兩個三角形相似； 【練習】如圖，已知O是△ABC內(nèi)一點，D、E、F分別是OA、OB、OC的中點．求證：△ABC∽△DEF． 【思考】你能想到幾種證明方法？ 11.三角形的重心： （1）三角形的 相交于一點，這點叫做三角形的重心； （2）重心的性質(zhì)：三角形的重心到三角形 的距離與到三角形 的距離的比為 ； 【練習】如圖3，點G是△ABC的重心，連結AG并延長交BC于點D，GE∥AB，若AB=6，那么GE= ； 12.相似三角形的性質(zhì)： 1.相似三角形的對應角 ； 2. 相似三角形的對應線段（邊、中線、角平分線、高）、對應周長的比等于 ； 3.相似三角形的面積比等于相似比的 ； 【練習】如圖4，點D、E分別在AC、AB上，∠ADE=∠B，AG⊥DE，AH⊥BC，若AD=2，AB=6， 則有 （圖4） （圖5） （圖6） （圖7） 13.如果兩個多邊形不僅 ，而且對應頂點所在的直線相交于 ，對應邊互相平行（或在同一條直線上），那么這兩個多邊形是位似多邊形；這個點叫做 ，位似中心到 距離的比叫做位似比； 14.位似的性質(zhì)：對應頂點的連線經(jīng)過 ，對應邊 （或 ）； 【練習】如圖5，線段AB端點B的坐標分別為B（8，2），以原點O為位似中心，在第 一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，則端點D的坐標為 ； 15. 在 光線的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為平行投影； 16. 平行投影性質(zhì)：在平行光線的照射下，不同物體的物高與其影長 ； 【練習】一根1.5米長的標桿直立在水平地面上,它在陽光下的影長為2.1米；此時一棵水杉樹的影長為10.5米,這棵水杉樹高為 。 17.在 的照射下，物體產(chǎn)生的影稱為中心投影，同一物體在不同位置的物高與影長 。 【練習】如圖6，身高為1.6米的小華站在離路燈燈桿8米處測得影長2米，則燈桿的高度為 米； 18．三角函數(shù)定義： 如圖7，在Rt△ABC中，∠C＝90，a、b分別是∠A的對邊和鄰邊，c是斜邊。 正切tanA＝＝； 正弦sinA＝＝； 余弦cosA＝＝； 【注意】tanA、 sinA隨著銳角A的角度的增大而 ； cosA隨著角度的增大而 ； 【練習】已知，如圖7，在Rt△ABC中，∠C=90，AB=5，AC=3， 則tanA＝ ； sinA＝ ；cosA= ； 19.若銳角α、β滿足∠α=∠β，則tanα=tanβ，sinα=sinβ，cosα=cosβ； 【練習】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于D，AC=4，AB=5， 那么sin∠BCD= ； tan∠ACD= ； 20.特殊的三角函數(shù)值 （圖8） （圖9） 【練習】1. 計算：2sin60-tan45+4cos30= ； 2. 已知α是銳角，若tan 2α=，則∠α= ；若tanα=,則cosα=_____. 21.由直角三角形中的邊、角的已知元素，求出所有邊、角的未知元素的過程叫做解直角三角形. 【練習】如圖，在△ABC中，∠B為銳角，AB=3，AC=5，sinC=，求BC的長． 22.坡角是 與 的夾角. 23.坡度是坡面的鉛垂高度（h）與水平長度（l）的比，記作：i，坡度i= ； 24. 坡度i與坡角α的關系：坡度i= ， 【練習】1.若坡度是，則坡角________；若坡角為60，則坡度i= ； 2.如圖8，已知斜坡AB的坡度為1：3．若坡長AB=10m，則BC= ； 25.仰角與俯角 【練習】如圖，甲樓AB的高度為20米，自甲樓樓頂A處，測得乙樓頂端C處的仰角為45，測得乙樓底部D處的俯角為30，求乙樓CD的高度； 26．方向角 【練習】如圖9，某輪船由西向東航行，在A處測得小島P的方位是北偏東75，又繼續(xù)航行7海里后，在B處測得小島P的方位是北偏東60，則此時輪船與小島P的距離BP= ；