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2019年九年級數(shù)學(xué)上冊 22.1 一元二次方程教案 新人教版 一、教學(xué)目標 1.經(jīng)歷一元二次方程概念的形成過程，知道什么是一元二次方程. 2.會把一元二次方程化成一般形式，并知道各項及系數(shù)的名稱. 二、教學(xué)重點和難點 1.重點：一元二次方程的概念. 2.難點：把一元二次方程化成一般形式. 三、教學(xué)過程 （一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課 師：（板書：3x-5=0）這是一個什么方程？（稍停）3x-5=0是一個一元一次方程（板書：一元一次方程）. 師：哪位同學(xué)知道什么樣的方程是一元一次方程？ 生：……（讓幾名同學(xué)回答） 師：（指準3x-5=0）只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的方程，叫做一元一次方程.（指準“一元一次方程”）一元指的是含有一個未知數(shù)，一次指的是未知數(shù)的次數(shù)是1. 師：一元一次方程是我們在初一已經(jīng)學(xué)過的，從今天開始，我們要學(xué)習(xí)一種新的方程，叫做一元二次方程（板書：一元二次方程）. （二）嘗試指導(dǎo)，講授新課 師：什么樣的方程是一元二次方程？（板書：x2-x=56）x2-x=56是一個一元二次方程，（板書：4x2-9=0）4x2-9=0也是一元二次方程，（板書：x2+3x=0）x2+3x=0也是一元二次方程，（板書：3y2-5y=7）3y2-5y=7也是一元二次方程. 師：從這些一元二次方程，哪位同學(xué)能概括什么樣的方程是一元二次方程？（等到有一部分同學(xué)舉手再叫學(xué)生） 生：……（多讓幾名同學(xué)回答） 師：（指準x2-x=56）只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的方程叫做一元二次方程. （師出示下面的板書） 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程. 師：請大家把一元二次方程的定義讀兩遍.（生讀） 師：根據(jù)一元二次方程的定義，（指準方程）我們很容易判斷x2-x=56，4x2-9=0，x2+3x=0，3y2-5y=7這些方程都是一元二次方程.（板書：3x(x-1)=5(x+2)）現(xiàn)在請大家判斷，這個方程是不是一元二次方程？為什么？（讓生思考一會兒） 生：……（讓幾名學(xué)生發(fā)表看法） 師：把這個方程兩邊去括號，得到3x2-3x=5x+10（邊講邊板書：3x2-3x=5x+10），去括號后容易看出，這個方程是一元二次方程. 師：（指3x2-3x=5x+10）這個方程還可以繼續(xù)整理，怎么繼續(xù)整理？（指準方程）先把右邊的5x和10都移到左邊去，再合并，得到3x2-8x-10=0（邊講邊板書：3x2-8x-10=0）. 師：（指原方程和3x2-8x-10=0）大家可以比較這兩個方程，這個方程是這個方程經(jīng)過整理得到的，這個方程的形式又簡單又整齊，我們把這種形式叫做一元二次方程的一般形式（板書：一元二次方程的一般形式）. 師：從這個例子大家可以看到，任何一個一元二次方程，經(jīng)過整理，都可以化成一般形式，一般形式就是ax2+bx+c=0這樣的形式（邊講邊板書：ax2+bx+c=0）. 師：（指準ax2+bx+c=0）在一元二次方程的一般形式中，我們把ax2叫做二次項，a是二次項系數(shù)（板書：其中a是二次項系數(shù)）；bx叫做一次項，b是一次項系數(shù)（板書：b是一次項系數(shù)）；c叫做常數(shù)項（板書：c是常數(shù)項）. 師：（指準3x2-8x-10=0）譬如，在這個方程中，二次項是3x2，二次項系數(shù)是3；一次項是-8x，一次項系數(shù)是-8；常數(shù)項是-10. 師：（指x2+3x=0）大家看這個方程，它的二次項、二次項系數(shù)是什么？ 生：二次項是x2，二次項系數(shù)是1.（多讓幾名同學(xué)回答） 師：（指x2+3x=0）它的一次項、一次項系數(shù)是什么？ 生：一次項是3x，一次項系數(shù)是3.（多讓幾名同學(xué)回答） 師：（指x2+3x=0）它的常數(shù)項是什么？ 生：常數(shù)項是0.（多讓幾名同學(xué)回答，如有必要師作解釋） 師：（指4x2-9=0）大家再看這個方程，它的二次項、二次項系數(shù)是什么？ 生：二次項是4x2，二次項系數(shù)是4. 師：（指4x2-9=0）它的一次項、一次項系數(shù)是什么？ 生：……（多讓幾名同學(xué)回答） 師：這個方程的一次項可以寫成0x（邊講邊板書：0x），所以這個方程的一次項是0x，一次項系數(shù)是0. 師：（指4x2-9=0）它的常數(shù)項是什么？ 生：常數(shù)項是-9. 師：前面我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的概念和一般形式，下面請大家利用這些知識來做幾個練習(xí). （三）試探練習(xí)，回授調(diào)節(jié) 1.填空： (1)把5x2-1=4x化成一元二次方程的一般形式，結(jié)果是 ，其中二次項系數(shù)是 ，一次項系數(shù)是 ，常數(shù)項是 ； (2)把4x2=81化成一元二次方程的一般形式，結(jié)果是 ，其中二次項系數(shù)是 ，一次項系數(shù)是 ，常數(shù)項是 ； (3)把x(x+2)=15化成一元二次方程的一般形式，結(jié)果是 ，其中二次項系數(shù)是 ，一次項系數(shù)是 ，常數(shù)項是 ； (4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方程的一般形式，結(jié)果是 ，其中二次項系數(shù)是 ，一次項系數(shù)是 ，常數(shù)項是 . 2.填空： (1)一個一元二次方程，它的二次項系數(shù)為2，一次項系數(shù)為3，常數(shù)項為-5，這個一元二次方程是 ； (2)一個一元二次方程，它的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為-3，常數(shù)項為3，這個一元二次方程是 ； (3)一個一元二次方程，它的二次項系數(shù)為5，一次項系數(shù)為-1，常數(shù)項為0，這個一元二次方程是 ； (4)一個一元二次方程，它的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為0，常數(shù)項為-6，這個一元二次方程是 . （四）歸納小結(jié)，布置作業(yè) 師：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么？哪位同學(xué)能幫老師小結(jié)一下？ 生：……（讓一兩名學(xué)生小結(jié)） （作業(yè)：P28習(xí)題1） 四、板書設(shè)計 一元一次方程：3x-5=0 3x(x-1)=5(x+2) 一元二次方程：x2-x=56 3x2-3x=5x+10 4x2-9=0 3x2-8x-10=0 x2+3x=0 一元二次方程的一般形式： 3y2-5y=7 ax2+bx+c=0，其中a是二次項系數(shù)，b是一次項系 只含有一個未知數(shù)……叫做 數(shù)，c是常數(shù)項 一元二次方程. 課題：22.1一元二次方程（第2課時） 一、教學(xué)目標 1.知道什么是一元二次方程的解（根）. 2.會用直接開平方法解一元二次方程，滲透轉(zhuǎn)化思想. 二、教學(xué)重點和難點 1.重點：一元二次方程解（根）的概念，直接開平方法. 2.難點：直接開平方法. 三、教學(xué)過程 （一）基本訓(xùn)練，鞏固舊知 1.填空： (1)只含有 個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 的方程，叫做一元二次方程； (2)ax2+bx+c=0(a≠0)這種形式叫做一元二次方程的 形式，其中 是二次項系數(shù)， 是一次項系數(shù)， 是常數(shù)項. 2.填空： (1)把(x+3)(x-4)=0化成一元二次方程的一般形式，結(jié)果是 ，其中二次項系數(shù)是 ，一次項系數(shù)是 ，常數(shù)項是 ； (2)把(2x+1)2=4x化成一元二次方程的一般形式，結(jié)果是 ，其中二次項系數(shù)是 ，一次項系數(shù)是 ，常數(shù)項是 . （二）嘗試指導(dǎo)，講授新課 師：（板書：2x-6=0）這是一個一元一次方程，這個方程的解是什么？ 生：（齊答）解是x=3.（師板書：解是x=3） 師：（指準方程）2x-6=0的解是x=3，這話是什么意思？（稍停）把x=3代入方程，左邊=23-6=0，右邊=0，左邊和右邊恰好相等.2x-6=0的解x=3，意思是，x=3能使方程左右兩邊恰好相等. 師：（板書：x2-x=0）這是一個一元二次方程，這個方程的解是什么？（讓生思考一會兒再叫學(xué)生） 生：解是x=0.（師板書：x=0） 師：（指準方程）把x=0代入方程，左邊和右邊相等，所以x=0是這個一元二次方程的一個解. 師：除了x=0，這個方程還有沒有別的的解？ 生：x=1.（師板書：x=1） 師：（指準方程）把x=1代入方程，左邊和右邊相等，所以x=1也是這個一元二次方程的一個解. 師：可見x2-x=0有兩個解，一個解x1=0（邊講邊標下標），另一個解x2=1（邊講邊標下標）. 師：一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（板書：（根）），所以也可以這樣說，（指準板書）x2-x=0有兩個根，一個根x1是0，另一個根x2是1. 師：下面請同學(xué)們做一個練習(xí). （三）試探練習(xí)，回授調(diào)節(jié) 3.填空：在-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4這些數(shù)中，是一元二次方程x2-x-6=0的根的是 . 4.填空：方程x2-36=0的根是x1= ，x2= . （四）嘗試指導(dǎo)，講授新課 師：（板書：x2-36=0）剛才我們求了x2-36=0這個一元二次方程的兩個根，x1=6，x2=-6.我們是怎么求的？我們是通過湊數(shù)字求的.大家可以想到，湊數(shù)字求根是有局限性的，什么局限性？（稍停）通過湊數(shù)字只能求那些很簡單的一元二次方程的根，如果方程稍微復(fù)雜一點，數(shù)字就不好湊了.譬如，我們把右邊的0改為2x（邊講邊把x2-36=0中的0改為2x），x2-36=2x這個方程就很難用湊數(shù)字來求根.所以，求一元二次方程的根不能光靠湊數(shù)字，還需要有專門的方法. 師：解一元二次方程的方法有好幾種，下面我們先來介紹第一種方法，叫直接開平方法（板書：直接開平方法）. 師：怎么用直接開平方法解一元二次方程？（稍停）讓我們來看一個例子. （師出示例題） 例 解下列一元二次方程： (1)4x2-9=0； (2)3(2x-1)2=15. （師邊講解邊板書，解題過程如下所示） 解：(1)原方程化成. 開平方，得， x1=，x2=-. (2)原方程化成. 開平方，得， x1=，x2=. 師：（指準例題）從這兩個題目，哪位同學(xué)會概括用直接開平方法解一元二次方程的步驟？ 生：……（讓一兩名好生概括） 師：（指準例題）用直接開平方法解一元二次方程，有三步，第一步把原方程化成x2=常數(shù)，或者含x的式子的平方=常數(shù)的形式（板書：第一步：化成什么2＝常數(shù)）；第二步開平方，把一元二次方程化成一元一次方程（板書：第二步：開平方）；第三步解一元一次方程，得到兩個根（板書：第三步：解一元一次方程）. 師：下面請同學(xué)們按這三步來做兩個題目. （五）試探練習(xí)，回授調(diào)節(jié) 5.完成下面的解題過程： (1)解方程：2x2-6=0； 解：原方程化成 . 開平方，得 ， x1= ，x2= . (2)解方程：9(x-2)2=1. 解：原方程化成 . 開平方，得 ， x1= ，x2= . （六）歸納小結(jié)，布置作業(yè) 師：（指準板書）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一元二次方程根的概念，還學(xué)習(xí)了用直接開平方法解一元二次方程.用直接開平方法解一元二次方程有這么三步，第一步把原方程化成什么2=常數(shù)這種形式；第二步開平方，把一元二次方程化成一元一次方程，也就是把二次降為一次（板書：降次）；第三步解一元一次方程，得到兩個根. （作業(yè)：P28習(xí)題3，P42習(xí)題1） 四、板書設(shè)計 2x-6=0解是x=3 直接開平方法 例 x2-x=0解是x1=0,x2=1 第一步：化成什么2＝常數(shù)； x2-36=2x 第二步：開平方，降次； 第三步：解一元一次方程.