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2019版中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第五講 韋達(dá)定理學(xué)案 新人教版 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1、學(xué)會用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值。 2、理解并掌握應(yīng)用韋達(dá)定理求待定系數(shù)。 3、理解并掌握應(yīng)用韋達(dá)定理構(gòu)造方程，解方程組。 4、能應(yīng)用韋達(dá)定理分解二次三項式。 知識框圖 求代數(shù)式的值 求待定系數(shù) 一元二次 韋達(dá)定理 應(yīng) 用 構(gòu)造方程 方程的求根公式 解特殊的二元二次方程組 二次三項式的因式分解 【典型例題】 例1、已知 、是方程x-5x+1=0 的兩個根，求下列代數(shù)式的值 （1） + （2）（ - ） （3） + （4）α+β （5）α-5α+3αβ-β 解：由韋達(dá)定 理知α+β=5，αβ=1 （1）α+β=（α+β）-2αβ=23 （2）（α-β）=（α+β）-4αβ=21 （3） + ＋　　 =　　　　　 　　　　=　　　 = （4）α+β =（α+β）-3αβ（α+β）=110 （5）α-5α+3αβ-β=3αβ-（α+β）= -2 評注：求關(guān)于兩根的代數(shù)式的值，關(guān)鍵是將所給代數(shù)式合理地進(jìn)行恒等變形，使其轉(zhuǎn)化成α+β，αβ表示的形式，主要運(yùn)用配方法，通分，因式分解等方法。 例2：已知方程2x-kx+4=0的一個根是1+ ，求另一根及k的值。 解：設(shè)方程的另一根為x,由韋達(dá)定理知 　　解得 ∴方程的另一根為 -1，k的值為4。 評注：本例主要熟悉并掌握運(yùn)用根的定義及韋達(dá)定理求待定系數(shù)和方程的根。 例3：已知關(guān)于x的方程x+2(m-2)x+m+4=0有兩個實數(shù)根，且這兩個根的平方和比兩根積大21，求m的值。 解：設(shè)x+2(m-2)x+m+4=0的兩根值為x1, x2則x1+x2= -2(m-2), x1 x2=m+4 由題意得：x12+ x22= x1 x2+21 (x1+ x2) -3 x1x2-21=0 4(m-2) -3(m+4)-21=0 m　=17 , m　= -1 把 m1=17 代入原方程得x+30x+293=0, Δ＜0 ∴方程無實數(shù)根， ∴ m1=17 不合題意，舍去 把 m2= -1代入原方程得x-6x+5=0 , Δ＞0 ∴m= -1 評注：應(yīng)用韋達(dá)定理求一元二次方程中待定系數(shù)是一種常見的方法，但應(yīng)特別注意一元二次方程是否有根的檢驗，同時還應(yīng)注意二次項系數(shù)及本身隱含的取值范圍。 例4：在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式。 （1）x-x+1 (2)-3y+y+1 (3)4x+8xy-y 解：（1）令x-x+1=0，解方程得x= 　　 ∴x-x+1 =(x- )(x- ) (2)令-3y+y+1=0，解方程得y= ∴-3y+y+1=-3(y- )(y- ) (3)把4x+8xy-y=0看作關(guān)于x為未知數(shù)的方程。 令4x+8xy-y=0解方程得x= y , ∴4x+8xy-y=4(x- y ) (x- y) =(2x+2y- y)(2x+2y+ y) 評注：當(dāng)二次三項式不能公式進(jìn)行分解時，往往令二次三項式等于0轉(zhuǎn)化為一元二次方程，令ax+bx+c=0 兩根為x１,x２,則ax+bx+c=a(x-x１)(x-x２),注意分解時二次項系數(shù)不要漏掉，當(dāng)二次三項式含有兩個字母時把其中一個字母看作未知數(shù)，另一個字母看作常數(shù)來解。 【選講例題】 例：在三角形ABC中，a,b,c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，且C=5 ，若關(guān)于x的方程 （5 +b) x2+2ax+(5 -b)=0有兩個相等的實數(shù)根，又方程2x-(10SinA)x+5SinA=0的兩個實數(shù)根的平方和為6，求ΔABC的面積。 解：∵方程（5 　+b)x+2ax+(5 -b)=0有兩個相等的實數(shù)根 ∴Δ=4a-(5 +b)(5 　-b)=0 即a+b=75 ∵c=5 ∴a+b=c ∴ΔABC為 直角三角形，用∠C=90 設(shè)x1,x2是2x-(10SinA)x+5SinA=0的兩個實數(shù)根，則x1+ x2=5SinA ，x1 x2= SinA ∵x1+ x2=6 ∴(5SinA ) -SinA=6 ∴SinA= 或SinA= - (舍去） 在RtΔABC中，C=5 , a=c， SinA=3 b= =4 ∴SΔABC= ab=18 評注：這是一道典型的綜合性題，這匯集了根的判別式，勾股定理，根與系數(shù)的關(guān)系，三角函數(shù)，三角形面積等多方面的知識，解這類綜合題時，要理清楚思路，抓拄每個給出的條件，得到相應(yīng)的結(jié)論，從而環(huán)環(huán)地將繩索解開。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1、填空：（1）設(shè)α，β是方程3x-5x+1=0的兩根，則αβ+αβ=_______ （2）若 +1是方程x-kx+1=0的一個根，則k=________ （3）分解因式2x+3x-1=__________ （4）若方程3x-x+m-4=0有一正一負(fù)兩個根，則m的取值范圍是_____________ （5）已知a,b是方程x+(m-1)x+1=0的兩個根，則（a+ma+1)(b+mb+1)的值為_______ （6）方程x+8x-1=0的兩個根為α，β，則3α+2αβ+8α-9=_______ 2、已知a-3a=1,b-3b=1,求 + 　 的值。 3、三角形ABC 的三邊長分別為 a,b,c，滿足b=8-c, a-12a-bc+52=0,試判斷三角形ABC的形狀。 4、s,t滿足19s+99s+1=0,t+99t+19=0 ，并且st≠1,求 的值。 【課堂小結(jié)】 1、掌握韋達(dá)定理 2、掌握韋達(dá)定理的幾個應(yīng)用。 【鞏固練習(xí)】 1、因式分解6xy+7xy-3=___________ 2、解方程組 3、如果直角三角形三條邊a,b,c,都滿足方程x-mx+ =0,求三角形的面積。 4、已知方程2x-8x-1=0的兩個根為α,β,不解方程，求解以 + ,( α-1)( β-1)為根的一元二次方程。 5、已知某二次項系數(shù)為1的一元二次方程的兩個實數(shù)根為p,q，且滿足關(guān)系式 , 試求這個一元二次方程。 6、已知α, β是一元二次方程4kx-4kx+k+1=0的兩個實根 （1）是否存在實數(shù)根k，使（2α-β)( α-2β)= -　成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。 （2）求使 + -2的值為整數(shù)的實數(shù)k的整數(shù)值。 【課后反思】