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課時訓練(十八)　相似三角形及其應(yīng)用 (限時:40分鐘) |夯實基礎(chǔ)| 1.如圖K18-1,添加一個條件:　　　　　,使得△ADE∽△ACB(寫出一個即可). 圖K18-1 2.如圖K18-2,在△ABC中,D為BC上一點,∠BAD=∠C,AB=6,BD=4,則CD的長為　　　　. 圖K18-2 3.[xx連云港] 如圖K18-3,△ABC中,點D,E分別在AB,AC上,DE∥BC,AD∶DB=1∶2,則△ADE與△ABC的面積的比為　　　　. 圖K18-3 4.[xx成都] 已知a6=b5=c4,且a+b-2c=6.則a的值為　　　　. 5.[xx岳陽] 如圖K18-4,《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著,書中有下列問題:“今有勾五步,股十二步,問勾中容方幾何?”其意思為:“今有直角三角形,勾(短直角邊)長為5步,股(長直角邊)長為12步,問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步?”該問題的答案是　　　　步. 圖K18-4 6.[xx重慶A卷] 要制作兩個形狀相同的三角形框架,其中一個三角形的三邊長分別為5 cm,6 cm和9 cm,另一個三角形的最短邊長為2.5 cm,則它的最長邊為 (　　) A.3 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm 7.如圖K18-5,已知直線a∥b∥c,直線m分別交直線a,b,c于點A,B,C,直線n分別交直線a,b,c于點D,E,F,若ABBC=12,則DEEF= (　　) 圖K18-5 A.13 B.12 C.23 D.1 8.[xx內(nèi)江] 已知△ABC與△A1B1C1相似,且相似比為1∶3,則△ABC與△A1B1C1的面積比為 (　　) A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9 9.如圖K18-6,在△ABC中,AE交BC于點D,∠C=∠E,AD∶DE=3∶5,AE=8,BD=4,則DC的長等于 (　　) 圖K18-6 A.154 B.125 C.203 D.174 10.[xx成都] 如圖K18-7,四邊形ABCD和四邊形ABCD是以點O為位似中心的位似圖形,若OA∶OA=2∶3,則四邊形ABCD和四邊形ABCD的面積比為 (　　) 圖K18-7 A.4∶9 B.2∶5 C.2∶3 D.2∶3 11.如圖K18-8,把一張三角形紙片ABC沿中位線DE剪開后,在平面上將△ADE繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)180,點D到了點F的位置,則S△ADE∶S?BCFD的值是 (　　) 圖K18-8 A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶1 12.[xx紹興] 學校門口的欄桿如圖K18-9所示,欄桿從水平位置BD繞O點旋轉(zhuǎn)到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分別為B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為 (　　) 圖K18-9 A.0.2 m B.0.3 m C.0.4 m D.0.5 m 13.[xx江西] 如圖K18-10,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分線,BD交AC于點E.求AE的長. 圖K18-10 14.[xx杭州] 如圖K18-11,在△ABC中,AB=AC,AD為BC邊上的中線,DE⊥AB于點E. (1)求證:△BDE∽△CAD; (2)若AB=13,BC=10,求線段DE的長. 圖K18-11 15.[xx陜西] 周末,小華和小亮想用所學的數(shù)學知識測量家門前小河的寬.測量時,他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹,將其底部作為點A,在他們所在的岸邊選擇了點B,使得AB與河岸垂直,并在B點豎起標桿BC,再在AB的延長線上選擇點D,豎起標桿DE,使得點E與點C,A共線. 已知:CB⊥AD,ED⊥AD,測得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.測量示意圖如圖K18-12所示. 請根據(jù)相關(guān)測量信息,求河寬AB. 圖K18-12 |拓展提升| 16.如圖K18-13,在矩形ABCD中,E是AD邊的中點,BE⊥AC,垂足為點F,連接DF,分析下列四個結(jié)論: ①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD=2.其中正確的結(jié)論有 (　　) A.4個 B.3個 C.2個 D.1個 圖K18-13  參考答案 1.答案不唯一,如∠ADE=∠C或ADAC=AEAB等 2.5　3.1∶9 4.12　[解析] 設(shè)a6=b5=c4=k,則a=6k,b=5k,c=4k, ∵a+b-2c=6,∴6k+5k-8k=6,3k=6,解得k=2, ∴a=6k=12. 5.6017　[解析] 如圖①,∵四邊形CDEF是正方形,∴CD=ED=CF.設(shè)ED=x,則CD=x,AD=12-x.∵DE∥CF,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B,∴△ADE∽△ACB, ∴DEBC=ADAC,∴x5=12-x12,∴x=6017. 如圖②,四邊形DGFE是正方形,過C作CP⊥AB于P,交DG于Q,設(shè)ED=y,S△ABC=12ACBC=12ABCP,則125=13CP,CP=6013,同理得:△CDG∽△CAB,∴DGAB=CQCP,∴y13=6013-y6013,y=780229<6017,∴該直角三角形能容納的正方形邊長最大是6017步,故答案為:6017. 6.C　7.B　8.D　9.A 10.A　[解析] 由位似的性質(zhì)得,四邊形ABCD和四邊形ABCD的位似比為2∶3,所以四邊形ABCD和四邊形ABCD的面積比為4∶9. 11.A 12.C　[解析] 由題意可知△ABO∽△CDO,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AOCO=ABCD,∵AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,∴41=1.6CD,∴CD=1.614=0.4(m),故選C. 13.解:∵BD為∠ABC的平分線, ∴∠ABD=∠DBC, 又∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD, ∴∠DBC=∠D,∴BC=CD=4. 又∵∠AEB=∠CED,∴△AEB∽△CED, ∴ABCD=AECE, ∴AECE=84=2, ∴AE=2EC,解得EC=12AE, ∵AC=AE+EC=6, ∴AE+12AE=6,解得AE=4. 14.解:(1)證明:∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵AD是BC邊上的中線, ∴BD=CD,AD⊥BC. ∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADC. 又∵∠B=∠C, ∴△BDE∽△CAD. (2)∵BC=10, ∴BD=12BC=5. 在Rt△ABD中,有AD2+BD2=AB2, ∴AD=132-52=12. ∵△BDE∽△CAD,∴BDCA=DEAD, 即513=DE12,∴DE=6013. 15.解:∵CB⊥AD,ED⊥AD, ∴∠ABC=∠ADE=90, ∵∠CAB=∠EAD, ∴△ABC∽△ADE, ∴BCED=ABAD. ∵BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m, ∴AD=AB+8.5, ∴11.5=ABAB+8.5. 解得:AB=17. ∴河寬AB的長為17 m. 16.B　[解析] 過D作DM∥BE交AC于N,交BC于M. ∵四邊形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠ABC=90,AD=BC, ∵BE⊥AC于點F, ∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90, ∴△AEF∽△CAB,故①正確; ∵AD∥BC, ∴△AEF∽△CBF, ∴AEBC=AFCF, ∵AE=12AD=12BC, ∴AFCF=12, ∴CF=2AF,故②正確; ∵DE∥BM,BE∥DM, ∴四邊形BMDE是平行四邊形, ∴BM=DE=12BC, ∴BM=CM, ∴CN=NF, ∵BE⊥AC于點F,DM∥BE, ∴DN⊥CF, ∴DF=DC,故③正確; 設(shè)AD=a,AB=b,由△BAE∽△ADC,得ba=a2b. 即a2=2b2,a=2b. ∴tan∠CAD=ba=22≠2, 故④錯誤. 故選B.