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二次函數與幾何圖形綜合題 滿分訓練 類型1 二次函數與圖形判定 1.（xx陜西中考）在同一平面直角坐標系中，拋物線C1：y=ax2-2x-3與拋物線C2：y=x2+mx+n關于y軸對稱，C2與x軸交于A，B兩點，其中點A在點B的左側。 （1）求拋物線C1，C2的函數解析式； （2）求A，B兩點的坐標； （3）在拋物線C1上是否存在一點P，在拋物線C2上是否存在一點Q，使得以AB為邊，且以A，B，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P，Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由。 2.如圖，拋物線C1:y=x2+bx+c經過原點，與x軸的另一個交點為（2,0），將拋物線C1向右平移m(m＞0)個單位得到拋物線C2,C2與x軸交于A，B(點A在點B的左邊)，交y軸于點C。 （1）求拋物線C1的解析式及頂點坐標； （2）以AC為斜邊向上作等腰直角三角形ACD,當點D落在拋物線C2的對稱軸上時，求拋物線C2的解析式； （3）若拋物線C2的對稱軸上存在點P，使△PAC為等邊三角形，請直接寫出m的值。 3.如圖，拋物線y=ax2+bx-2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，已知A（3,0），且M是拋物線上另一點。 （1）求a，b的值； （2）連接AC,設點P是y軸上任意一點，若以P，A，C為頂點的三角形為等腰三角形，求P點坐標。 4.（xx甘肅中考節(jié)選）如圖，已知二次函數y=ax2+2x+c的圖像經過點C（0，3），與x軸分別交于點A，點B（3，0）。點P是直線BC上方的拋物線上一動點。 （1）求二次函數y=ax2+2x+c的解析式； （2）連接PO，PC，并把△POC沿y軸翻折，得到四邊形POP′C。若四邊形POP′C為菱形，請求出此時點P的坐標。 5.（xx某鐵一中摸擬）在平面直角坐標系中，拋物線C1∶y=-x2+3與x軸交于A,B兩點，其中點A在點B的左側，拋物線C1的頂點為M。設D（n,0）是x軸上的一點，且點D位于點A的右側，將拋物線C1繞點D旋轉180，得到拋物線C2，設拋物線C2的頂點為M′。 （1）直接寫出A,B,M三點的坐標； （2）當拋物線C2經過原點時，求n的值； （3）設點Q是第四象限內拋物線C1上一點，點P是拋物線C2上的動點，是否存在四邊形MQM′P為正方形的情形？若存在，請求出此時n的值；若不存在，請說明理由。 類型2 二次函數與相似三角形（全等三角形） 6.如圖，已知拋物線的頂點為A（2，1），且經過原點O，與x軸的另一個交點為B。 （1）求拋物線的解析式； （2）連接OA，AB，在x軸下方的拋物線上是否存在點P，使得△OBP與△OAB相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由。 7.（xx某高新一中模擬）已知拋物線C1：y=ax2+bx+c（a≠0）經過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點，D為OC中點。 （1）求拋物線C1的函數表達式。 （2）將拋物線C1向左或向右平移m（m>0）個單位，平移后的拋物線為C2，C2的對稱軸為l，頂點為P，C2與y軸交于點E，P點在y軸右側，過點E作l的垂線交l于點F，是否存在這樣的m，使得△ODB與△PEF相似？若存在求出m的值；若不存在，請說明理由。 8.（xx某交大附中模擬）拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經過點A（-1，0）,B，且與y軸交于點C。 （1）求這條拋物線的表達式； （2）求∠ACB的度數； （3）設點D為所求拋物線第一象限上一點，且在對稱軸的右側，點E在線段AC上，且DE⊥AC,當△DCE與△AOC相似時，求點D的坐標。 9.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，D為OC的中點，直線AD交拋物線于點E（2，6），且△ABE與△ABC的面積之比為3∶2。 （1）求直線AD和拋物線的解析式； （2）拋物線的對稱軸與x軸相交于點F，點Q為直線AD上一點，且△ABQ與△ADF相似，求出點Q的坐標。 類型3 二次函數與圖形面積 10.如圖，拋物線y=ax2+bx+2經過A(-1,0),B(4,0),交y軸于點C。 （1）求此拋物線的解析式（用一般式表示）。 （2）點D是y軸右側拋物線上一點，是否存在點D使S△ABC=S△ABD?若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由。 11.如圖，拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點A（0，2），對稱軸為直線x=-2，平行于x軸的直線與拋物線交于B，C兩點，點B在對稱軸左側，BC=6。 （1）求此拋物線的解析式。 （2）點P在x軸上，直線CP將△ABC面積分成2∶3兩部分，請直接寫出P點坐標。 12.（xx上海中考）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=-x2+bx+c經過點A（-1，0）和點B（0，），頂點為C，點D在其對稱軸上且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉90，點C落在拋物線上的點P處。 （1）求這條拋物線的表達式； （2）求線段CD的長； （3）將拋物線平移，使其頂點C移到原點O的位置，這時點P落在點E的位置，如果點M在y軸上，且以O，D，E，M為頂點的四邊形面積為8，求點M的坐標。 13.（xx成都中考節(jié)選）如圖，在平面直角坐標系xOy中，以直線x=為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與直線l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B兩點，與y軸交于點C（0，5），直線l與y軸交于點D。 （1）求拋物線的解析式。 （2）設直線l與拋物線的對稱軸的交點為F，G是拋物線上位于對稱軸右側的一點，若，且△BCG與△BCD面積相等，求點G的坐標。 類型4 二次函數與圖形變換 14.在平面直角坐標系中，拋物線C:y=-3x2+bx+c的頂點為M，與x軸交于A(1,0)，B(3,0)兩點。 (1)求拋物線C的表達式。 （2）若拋物線C繞x軸上一點旋轉180得到拋物線C′,拋物線C′的頂點記為M′, 點A，B旋轉后的對應點分別為A′，B′,是否存在矩形B′M′BM?若存在，求出矩形B′M′BM的面積，若不存在，請說明理由。 15.在平面直角坐標系xOy中，拋物線C1:y=ax2+bx+2過B（-2，6），C（2，2）兩點。 （1）試求拋物線C1的表達式； （2）記拋物線C1的頂點為D，求△BCD的面積； （3）把拋物線C1先向下平移m個單位長度，得到拋物線C2，再以x軸為對稱軸作拋物線C2的軸對稱圖形C3，如果拋物線C3與原拋物線C1只有一個交點，求m的值以及拋物線C3的表達式。 16.已知點A（-1，n）（n＞0）和點B（2，3）在拋物線y1=x2+bx+c上，點C（1，0）是x軸上一點，且CA+CB的值最小。 （1）求拋物線y1的表達式。 （2）左右平移拋物線y1=ax2+bx+c，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，點E（-1，0）和點F（-3，0）是x軸上的兩個定點，問：是否存在某個位置，使四邊形A′B′EF的周長最短？若存在，求出此時拋物線的表達式；若不存在，請說明理由。 類型5 二次函數與線段最值、面積最值問題 17.（xx廣西南寧中考）如圖，拋物線y=ax2-5ax+c與坐標軸分別交于點A，C，E三點，其中A（-3，0），C（0，4），點B在x軸上，AC=BC，過點B作BD⊥x軸交拋物線于點D，點M，N分別是線段CO，BC上的動點，且CM=BN，連接MN，AM，AN。 （1）求拋物線的解析式及點D的坐標。 （2）當△CMN是直角三角形時，求點M的坐標。 （3）試求出AM+AN的最小值。 18.（xx四川遂寧中考節(jié)選）如圖，已知拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點（點B在點A右側）與y軸交于點C。 （1）求拋物線的解折式和A，B兩點的坐標； （2）若點P是拋物線上B，C兩點之間的一個動點（不與點B，C重合），則是否存在一點P，使△PBC的面積最大。若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由。 參考答案