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三角形（含多邊形及其內角和） 一、選擇題 1. （xx湖南長沙，4題，3分）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（ ） A.4cm,5cm,9cm B.8cm,8cm,15cm C.5cm,5cm,10cm D.6cm,7cm,14cm 【答案】B 【解析】三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。A選項中4+5=9，兩邊之和等于第三邊，故A錯誤；C選項5+5=10，兩邊之和等于第三邊，故C錯誤；D選項6+7=13<14，兩邊之和小于第三邊，故D錯誤；B選項8+8=16>15，故B正確。 【知識點】三角形三邊關系 2. （xx山東省濟寧市，8，3）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E=300.DP，CP分別平分∠EDC，∠BCD，則∠P的度數是 ( ) A.50 B.55 C.60 D.65 【答案】D 【解析】根據五邊形的內角和等于540，由∠A+∠B+∠E=300，可求∠BCD+∠CDE的度數，再根據角平分線的定義可得∠PDC與∠PCD的角度和，進一步求得∠P的度數． ∵五邊形的內角和等于540，∠A+∠B+∠E=300，∴∠BCD+∠CDE=540-300=240， ∵∠BCD、∠CDE的平分線在五邊形內相交于點P，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120， ∴∠P=180-120=60，因此，本題應該選D. 【知識點】多邊形的內角和公式 角平分線的定義 3. （xx浙江杭州，5，3分） 若線段AM，AN分別是△ABC的BC邊上的高線和中線，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】AM和AN可以看成是直線為一定點到直線上兩定點的距離，由垂線段最短，則，再考慮特殊情況，當AB=AC的時候AM=AN 【知識點】垂線段最短 4. （xx寧波市，5題，4分） 已知正多邊形的一個外角等于40,那么這個正多邊形的邊數為 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】利用正多邊形的每個外角都相等，外角和360，除以外角的度數，即可求得邊數 解：36040=9 【知識點】多邊形外角和 1. （xx湖北鄂州，5，3分）一副三角板如圖放置，則∠AOD的度數為（ ） A． 75 B． 100 C． 105 D．120 【答案】C 【解析】如下圖（1），由題意可知，∠ABC＝45，∠DBC＝30，∴∠ABO＝∠ABC－∠DBC＝45－30＝15，又∵∠BOC是△AOB的一個外角，∴∠BOC＝∠ABO＋∠A＝15＋90＝105，∴∠AOD＝∠BOC＝105． 【知識點】三角形的外角；對頂角 2. （xx內蒙古呼和浩特，3，3分）已知一個多邊形的內角和為1080，則這個多邊形是（ ） A.九邊形 B.八邊形 C.七邊形 D.六邊形 答案B 【解析】設這個多邊形為n邊形，則（n-2） 180=1080，解得n=8，故選B. 【知識點】多邊形的內角和 3. （xx河北省，1，3）下列圖形具有穩(wěn)定性的是( ) 【答案】A 【解析】三角形是具有穩(wěn)定性的圖形，故選A． 【知識點】三角形的穩(wěn)定性 4. （xx福建A卷，3，4）下列各組數中，能作為一個三角形三邊邊長的是( ) A．1，1，2 B.1，2，4 C. 2，3，4 D.2，3，5 【答案】C 【解析】三數中，若最小的兩數和大于第三數，符合三角形的三邊關系，則能成為一個三角形三邊長，否則不可能．解：∵1＋1=2 ，∴選項A不能；∵1＋2＜4，∴選項B不可能；∵2＋3＞4，∴選項C能；∵2＋3=5，∴選項D不能．故選C． 【知識點】三角形三邊的關系 5. （xx福建A卷，4，4）一個邊形的內角和是360，則等于( ) A．3 B.4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】先確定該多邊形的內角和是360゜，根據多邊形的內角和公式，列式計算即可求解．解：∵多邊形的內角和是360゜，∴多邊形的邊數是：360゜=(-2)180，=4. 【知識點】多邊形 ；多邊形的內角和 6.（xx福建B卷，3，4）下列各組數中，能作為一個三角形三邊邊長的是( ) A．1，1，2 B.1，2，4 C. 2，3，4 D.2，3，5 【答案】C 【解析】三數中，若最小的兩數和大于第三數，符合三角形的三邊關系，則能成為一個三角形三邊長，否則不可能．解：∵1＋1=2 ，∴選項A不能；∵1＋2＜4，∴選項B不可能；∵2＋3＞4，∴選項C能；∵2＋3=5，∴選項D不能．故選C． 【知識點】三角形三邊的關系 7. （xx福建B卷，4，4）一個邊形的內角和是360，則等于( ) A．3 B.4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】先確定該多邊形的內角和是360゜，根據多邊形的內角和公式，列式計算即可求解．解：∵多邊形的內角和是360゜，∴多邊形的邊數是：360゜=(-2)180，=4. 【知識點】多邊形 ；多邊形的內角和 8. （xx四川雅安，5題，3分）已知n邊形的每個外角都等于60，則它的內角和是 A.180 B.270 C.360 D.720 【答案】D 【解析】n邊形的外角和為360，因為每個外角都等于60，所以這個多邊形是六邊形，所以內角和=(6-2)180=720，故選D 【知識點】多邊形的內角和、外角和 9.（xx浙江省臺州市，7，3分） 正十邊形的每一個內角的度數為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要計算正十邊形的內角，首先利用內角和公式計算出正十邊形的內角和，然后再計算每一個內角.∵（10-2）180=1440，∴144010=144，還有1種解法，利用正多邊形的外角和是360進行計算，36010=36，180-36=144，故選D. 【知識點】正多邊形的內角和公式，外角和是360；鄰補角的定義； 10. （xx北京，5，2）若正多邊形的一個外角為60，則該多邊形的內角和為 （ ） A．360 B．540 C．720 D．900 【答案】C． 【解析】∵正多邊形的一個外角為60，∴該正多邊形的邊數n＝＝6．∴正多邊形的的內角和＝(6－2)180＝720．故選C． 【知識點】多邊形的內角和；正多邊形 11. （xx江蘇省宿遷市，6，3）若實數m、n滿足等式∣m－2∣＋＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長是（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【解析】根據兩個非負數的和為0，則各自為0．∴m－2＝0，n－4＝0．∴m＝2，n＝4．根據三角形中兩邊之和大于第三邊，則三條邊長分別是2，4，4，∴周長是10．故選B． 【知識點】非負數的性質，三角形的三邊關系 二、填空題 1. （xx山東濱州，13，5分）在△ ABC中，若∠A＝30，∠B＝50，則∠C＝___________． 【答案】100 【解析】∠A＋∠B＋∠C＝180，所以∠C＝100 【知識點】三角形內角和定理。 2. （xx甘肅白銀，13，4） 若正多邊形的內角和是1080，則該正多邊的邊數是 。 【答案】8 【解析】由多邊形的內角公式得：，解得：n=8. 故填8. 【知識點】多邊形的內角和公式：多邊形的內角和= 3. （xx甘肅白銀，15，4）已知是△ABC的三邊長，滿足，為奇數，則= 。 【答案】7. 【解析】∵ ∴，即a=7,b=1 ∴由三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊得到：7-1<<7+1 即：6<<8 又因為為奇數，所以=7. 故填7. 【知識點】非負數性質，三角形的三邊關系定理，奇數與偶數的概念。 4. （xx山東聊城，16，3分）如果一個正方形被截掉一個角后，得到一個多邊形，那么這個多邊形的內角和是 . 【答案】180或360或540 【解析】如圖所示，一個正方形被截掉一個角后，可能得到如下的多邊形： ∴這個多邊形的內角和是180或360或540. 【知識點】三角形、四邊形、五邊形的內角和公式 5. （xx四川廣安，題號12，分值：3）一個n邊形的每個內角的等于108，那么n=____. 【答案】5. 【解析】根據多邊形的內角和公式可知(n-2)180=108n， 解得n=5. 【知識點】多邊形的內角和 6.（xx江蘇泰州，12，3分）已知三角形兩邊的長分別為1,5，第三邊長為整數，則第三邊的長為 . 【答案】5 【解析】由“三角形三邊關系”得5－1＜第三邊的長＜5＋1，即4＜第三邊的長＜6，又因為第三邊長為整數，所以第三邊的長為5. 【知識點】三角形三邊關系1. (xx山東菏澤，11，3分)若正多邊形的每一個內角為135，則這個正多邊形的邊數是 ． 【答案】8 【解析】∵每一個內角為135，∴每一個外角是45，36045=8，∴這個正多邊形的邊數是8． 【知識點】正多邊形的內角和、外角和； 2. （xx貴州遵義，16題，4分）每一層三角形的個數與層數的關系如下圖所示，則第xx層的三角形個數為_____個 第16題圖 【答案】4035 【解析】每層的三角形個數構成一個等差數列：1,3,5，......，第n層有三角形(2n-1)個，所以第xx層有4035個三角形 【知識點】找規(guī)律 3. （xx湖南郴州，11，3） 一個正多邊形的每個外角為60，那么這個正多邊形的內角和是 . 【答案】720 【解析】先確定該多邊形的外角和是360゜，根據多邊形的每一個外角都相等，多邊形的邊數＝36060=6，再代入內角和公式（n－2）180求解即可． 【知識點】多邊形；多邊形的外角和 4. （xx河北省，19，3）如圖（1），作∠BPC平分線的反向延長線PA，現要分別以∠APB，∠APC，∠BPC為內角作正多邊形，且邊長均為1，將作出的三個正多邊形填充不同花紋后成為一個圖案． 例如，若以∠BPC為內角，可作出一個邊長為1的正方形，此時，∠BPC＝90，而902＝45是360（多邊形外角和）的18，這樣就恰好可以作出兩個邊長均為1的正八邊形，填充花紋后得到一個符合要求的圖案，如圖（2）所示． 圖（2）中的圖案外輪廓周長是 ； 在所有符合要求的圖案中選一個外輪廓周長最大的定為會標，則會標的外輪廓周長是 ． 【答案】14，21 【解析】外輪廓一共14條邊，∴周長是14．故第一個空填14． 當∠BPC＝120時，圖案由三個正六邊形組成，外部輪廓一共12條邊，故周長是12； 當∠BPC＝60時，圖案的上方是一個等邊三角形，下方是兩個正十二邊形，外部輪廓一共21條邊，∴周長是21． 當∠BPC＜60，不能構成符合要求的圖案． ∴外部輪廓的最大周長是21，故第（2）空填21． 【知識點】正多邊形的周長，圖形的鑲嵌 5. （xx江蘇省宿遷市，12，3）一個多邊形的內角和是其外角和的3倍，則這個多邊形的邊數是 ． 【答案】8 【解析】設邊數為n，則（n－2）180＝3603．n＝8．故填8． 【知識點】多邊形的內角和與外角和 6.（xx陜西，12，3分）如圖，在正五邊形ABCDE中，AC與BE相交于點F，則∠AFE的度數為 ． 【答案】72 【解析】∵五邊形內角和為（5－2）180=540． ∴∠ABC=∠BAE=5405=108． ∵AB=BC, ∴∠BAC=∠ACB=． 同理：∠ABE=36． ∴∠AFE=∠BAC＋∠ABE=36＋36=72． 【知識點】正多邊形，等腰三角形 三、解答題 1. （xx山東省淄博市，19，5分）已知：如圖，△ABC是任意一個三角形. 求證：∠A+∠B+∠C=180. 【思路分析】經過點A作BC的平行線，將三角形各內角轉移到一個頂點上即可. 【解題過程】 證明：過點A作DE∥BC.∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC. ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180 ∴∠BAC+∠B+∠C=180 【知識點】平行線的性質 1. （xx湖北宜昌，18，7分）如圖，在中，，,的外角的平分線交的延長線于點. (1)求的度數； (2)過點作,交的延長線于點.求的度數. (第18題圖) 【思路分析】（1）由直角三角形的兩個銳角互余，求出∠ABC,由補角求出∠DBC,再由外角的平分線，求出∠CBE. (2) 由直角三角形的兩個銳角互余，求出再根據平行線的性質，求出∠F. 【解析】 解：(1)在中，,, , ∴, ∵是的平分線， . (2)∵,, ∵, ∴. 【知識點】直角三角形的兩個銳角互余，角的平分線，平行線的性質. 2. （xx江西，15，6分）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，AB＝2CD，E為AB的中點．請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖(保留畫圖痕跡)． (1)在圖1中，畫出△ABD的BD邊上的中線； (2)在圖2中，若BA＝BD，畫出△ABD的AD邊上的高． 第15題圖 【思路分析】(1)連接CE，∵AB∥CD，AB＝2CD，E為AB的中點，∴四邊形AECD是平行四邊形. 由AECD得DC＝AE＝BE，∴四邊形EBCD也是平行四邊形，∴AF為BD上的中線． （2）由(1)知AF、DE為等腰△ABD兩腰上的中線，∴G是等腰△ABD三條中線的交點，故連接BG并延長交AD于H，則利用三線合一知BH為高． 【解析】(1)如解圖①，AF為所求； 如解圖②，BH為所求． 第15題解圖① 第15題解圖② 【知識點】等腰三角形，平行四邊形，創(chuàng)新作圖