《2019高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.1 圓的方程（第1課時(shí)）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程講義（含解析）新人教A版必修2.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.1 圓的方程（第1課時(shí)）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程講義（含解析）新人教A版必修2.doc（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第1課時(shí)　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 [核心必知] 1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入 根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P118～P120，回答下列問題． (1)圓是怎樣定義的？確定它的要素又是什么呢？各要素與圓有怎樣的關(guān)系？ 提示：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓．定點(diǎn)就是圓心，定長(zhǎng)就是半徑．圓心和半徑．圓心：確定圓的位置；半徑：確定圓的大?。? (2)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)常用哪些幾何性質(zhì)？ 提示：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是確定圓心坐標(biāo)和半徑，為此常用到圓的以下幾何性質(zhì)： ①弦的垂直平分線必過(guò)圓心． ②圓內(nèi)的任意兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)一定是圓心． ③圓心與切點(diǎn)的連線長(zhǎng)是半徑長(zhǎng)． ④圓心與切點(diǎn)的連線必與切線垂直． 2．歸納總結(jié)，核心必記 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ①圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為圓的半徑． ②確定圓的要素是圓心和半徑，如圖所示． ③圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a，b)，半徑長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 當(dāng)a＝b＝0時(shí)，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點(diǎn)為圓心、半徑為r的圓． (2)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑為r.設(shè)所給點(diǎn)為M(x0，y0)，則 位置 關(guān)系 判斷方法 幾何法 代數(shù)法 點(diǎn)在 圓上 │MA│＝r?點(diǎn)M在圓A上 點(diǎn)M(x0，y0)在圓上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝ 點(diǎn)在 圓內(nèi) │MA│r?點(diǎn)M在圓A外 點(diǎn)M(x0，y0)在圓外?(x0－a)2＋(y0－b)2＞ [問題思考] 　方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b，r∈R)表示一個(gè)圓嗎？為什么？ 提示：未必表示圓．當(dāng)r≠0時(shí)，表示圓心為(a，b)，半徑為|r|的圓；當(dāng)r＝0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)(a，b)． [課前反思] 通過(guò)以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)． (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？怎樣求解？ 　； (2)點(diǎn)與圓有哪些位置關(guān)系？ 　. “南昌之星”摩天輪2006年建成時(shí)是世界上最高的摩天輪，它位于江西省南昌市紅谷灘新區(qū)紅角洲贛江邊上的贛江市民公園，是南昌市標(biāo)志性建筑．該摩天輪總高度為160米，轉(zhuǎn)盤直徑為153米． [思考1]　游客在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中離摩天輪中心的距離一樣嗎？ 提示：一樣．圓上的點(diǎn)到圓心的距離都是相等的，都是圓的半徑． [思考2]　若以摩天輪中心所在位置為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，游客在任一點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足什么關(guān)系？ 提示：＝. [思考3]　以(1,2)為圓心，3為半徑的圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足什么關(guān)系？ 提示： ＝3. [思考4]　確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需具備哪些條件？ 名師指津：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中有三個(gè)參數(shù)，要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要確定這三個(gè)參數(shù)，其中圓心(a，b)是圓的定位條件，半徑r是圓的定量條件． 講一講 1．求過(guò)點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(鏈接教材P120－例3) [嘗試解答]　法一：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知條件知 解此方程組，得 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二：設(shè)點(diǎn)C為圓心，∵點(diǎn)C在直線x＋y－2＝0上， ∴可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,2－a)． 又∵該圓經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)， ∴|CA|＝|CB|. ∴＝， 解得a＝1. ∴圓心坐標(biāo)為C(1,1)，半徑長(zhǎng)r＝|CA|＝2. 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法三：由已知可得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)， kAB＝＝－1， ∴弦AB的垂直平分線的斜率為k＝1， ∴AB的垂直平分線的方程為y－0＝1(x－0)， 即y＝x.則圓心是直線y＝x與x＋y－2＝0的交點(diǎn)， 由得 即圓心為(1,1)， 圓的半徑為＝2， 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4. 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是設(shè)法確定圓心C(a，b)及半徑r，其求解的方法： (1)待定系數(shù)法，如法一，建立關(guān)于a，b，r的方程組，進(jìn)而求得圓的方程； (2)借助圓的幾何性質(zhì)直接求得圓心坐標(biāo)和半徑，如法二、三．一般地，在解決有關(guān)圓的問題時(shí)，有時(shí)利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡(jiǎn)捷． 練一練 1．求下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)圓心是(4,0)，且過(guò)點(diǎn)(2,2)； (2)圓心在y軸上，半徑為5，且過(guò)點(diǎn)(3，－4)； (3)過(guò)點(diǎn)P(2，－1)和直線x－y＝1相切，并且圓心在直線y＝－2x上． 解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝8. (2)設(shè)圓心為C(0，b)， 則(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8， ∴圓心為(0,0)或(0，－8)， 又r＝5， ∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. (3)∵圓心在y＝－2x上，設(shè)圓心為(a，－2a)， 則圓心到直線x－y－1＝0的距離為r. ∴r＝，?、? 又圓過(guò)點(diǎn)P(2，－1)， ∴r2＝(2－a)2＋(－1＋2a)2，?、? 由①②得或 ∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2或(x－9)2＋(y＋18)2＝338. 愛好運(yùn)動(dòng)的小華，小強(qiáng)，小兵三人相邀搞一場(chǎng)擲飛鏢比賽，他們把靶子釘在土墻上，規(guī)定誰(shuí)的飛鏢離靶心O越近，誰(shuí)獲勝，如圖A，B，C分別是他們擲一輪飛鏢的落點(diǎn)．看圖回答下列問題： [思考1]　點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種？ 提示：三種．點(diǎn)在圓外、圓上、圓內(nèi)． [思考2]　如何判斷他們的勝負(fù)？ 提示：利用點(diǎn)與圓心的距離． 講一講 2．已知圓心在點(diǎn)C(－3，－4)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圓的位置關(guān)系．(鏈接教材P119—例1) [嘗試解答]　因?yàn)閳A心是C(－3，－4)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)， 所以圓的半徑r＝＝5， 所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因?yàn)閨P1C|＝＝＝2<5，所以P1(－1,0)在圓內(nèi)； 因?yàn)閨P2C|＝＝5， 所以P2(1，－1)在圓上； 因?yàn)閨P3C|＝＝6>5， 所以P3(3，－4)在圓外． (1)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法 ①只需計(jì)算該點(diǎn)與圓的圓心距離，與半徑作比較即可； ②把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷． (2)靈活運(yùn)用 若已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，也可利用以上兩種方法列出不等式或方程，求解參數(shù)范圍． 練一練 2．已知點(diǎn)A(1,2)不在圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：由題意，點(diǎn)A在圓C上或圓C的外部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2， ∴2a＋5≥0， ∴a≥－，又a≠0， ∴a的取值范圍是∪(0，＋∞)． 講一講 3．已知x和y滿足(x＋1)2＋y2＝，試求： (1)x2＋y2的最值；(2)x＋y的最值． [思路點(diǎn)撥]　首先觀察x、y滿足的條件，其次觀察所求式子的幾何意義，最后結(jié)合圖形求出其最值． [嘗試解答]　(1)據(jù)題意知x2＋y2表示圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，顯然當(dāng)圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離取最大值和最小值時(shí)，其平方也相應(yīng)取得最大值和最小值．原點(diǎn)O(0,0)到圓心C(－1,0)的距離d＝1，故圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最大距離為1＋＝，最小距離為1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分別為和. (2)令y＋x＝b并將其變形為y＝－x＋b.問題轉(zhuǎn)化為斜率為－1的直線在經(jīng)過(guò)圓上的點(diǎn)時(shí)在y軸上的截距的最值．當(dāng)直線和圓相切時(shí)在y軸上的截距取得最大值和最小值，此時(shí)有＝，解得b＝－1，即最大值為－1，最小值為－－1. 數(shù)形結(jié)合思想能有效地找到解題的捷徑，解題時(shí)找到圓心和半徑，分析待求數(shù)學(xué)表達(dá)式的幾何意義，將“數(shù)”與“形”有機(jī)地結(jié)合起來(lái)是求解與圓有關(guān)的最值問題的關(guān)鍵． 練一練 3．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點(diǎn)A(0，－1)，B(0,1)，設(shè)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值． 解：設(shè)P(x，y)， 則d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2. ∵|CO|2＝32＋42＝25， ∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2. 即16≤x2＋y2≤36. ∴d的最小值為216＋2＝34. 最大值為236＋2＝74. ————————————[課堂歸納感悟提升]————————————— 1．本節(jié)課的重點(diǎn)是會(huì)用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．難點(diǎn)是根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法 (1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，見講1. (2)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法，見講2. (3)求與圓有關(guān)的最值的方法，見講3. 3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中易漏解，如練1. 課下能力提升(二十二) [學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練] 題組1　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1．圓(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圓心和半徑分別是(　　) A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3 C．(－2,3)， D．(2，－3)， 解析：選D　由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心坐標(biāo)為(2，－3)，半徑為. 2．(2016洛陽(yáng)高一檢測(cè))圓心為(0,4)，且過(guò)點(diǎn)(3,0)的圓的方程為(　　) A．x2＋(y－4)2＝25 B．x2＋(y＋4)2＝25 C．(x－4)2＋y2＝25 D．(x＋4)2＋y2＝25 解析：選A　由題意，圓的半徑r＝＝5，則圓的方程為x2＋(y－4)2＝25. 3．(2016達(dá)州高一檢測(cè))△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，則△ABC的外接圓方程是　　(　　) A．(x－2)2＋(y－2)2＝20 B．(x－2)2＋(y－2)2＝10 C．(x－2)2＋(y－2)2＝5 D．(x－2)2＋(y－2)2＝ 解析：選C　易知△ABC是直角三角形，∠B＝90，所以圓心是斜邊AC的中點(diǎn)(2,2)，半徑是斜邊長(zhǎng)的一半，即r＝，所以外接圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5. 4．經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，圓心在x軸的負(fù)半軸上，半徑為2的圓的方程是________． 解析：圓心是(－2,0)，半徑是2，所以圓的方程是(x＋2)2＋y2＝4. 答案：(x＋2)2＋y2＝4 5．求過(guò)點(diǎn)A(1,2)和B(1,10)且與直線x－2y－1＝0相切的圓的方程． 解：圓心在線段AB的垂直平分線y＝6上，設(shè)圓心為(a,6)，半徑為r，則圓的方程為(x－a)2＋(y－6)2＝r2. 將點(diǎn)(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2，　① 而r＝，代入①，得(a－1)2＋16＝， 解得a＝3，r＝2或a＝－7，r＝4. 故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－6)2＝20或(x＋7)2＋(y－6)2＝80. 題組2　點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 6．點(diǎn)P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是(　　) A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定 解析：選A　把點(diǎn)P(m2,5)代入圓的方程x2＋y2＝24得m4＋25>24，故點(diǎn)P在圓外． 7．點(diǎn)(5＋1，)在圓(x－1)2＋y2＝26的內(nèi)部，則a的取值范圍是________． 解析：由于點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以(5＋1－1)2＋()2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1. 答案：[0,1) 8．已知圓M的圓心坐標(biāo)為(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)三點(diǎn)一個(gè)在圓M內(nèi)，一個(gè)在圓M上，一個(gè)在圓M外，則圓M的方程為________． 解析：∵|MA|＝＝5， |MB|＝＝2， |MC|＝＝， ∴|MB|＜|MA|＜|MC|， ∴點(diǎn)B在圓M內(nèi)，點(diǎn)A在圓M上，點(diǎn)C在圓M外， ∴圓的半徑r＝|MA|＝5， ∴圓M的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25. 答案：(x－3)2＋(y－4)2＝25 題組3　與圓有關(guān)的最值問題 9．設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線x＝－3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為(　　) A．6　　　　B．4　　　　C．3　　　 D．2 解析：選B　由題意，知|PQ|的最小值即為圓心到直線x＝－3的距離減去半徑長(zhǎng)，即|PQ|的最小值為6－2＝4. 10．已知點(diǎn)P(x，y)在圓x2＋y2＝1上，則的最大值為________． 解析：的幾何意義是圓上的點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)(1,1)的距離，因此最大值為＋1. 答案：1＋ [能力提升綜合練] 1．與圓(x－3)2＋(y＋2)2＝4關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱的圓的方程為(　　) A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4 C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－3)2＋y2＝4 解析：選A　已知圓的圓心(3，－2)關(guān)于直線x＝－1的對(duì)稱點(diǎn)為(－5，－2)， ∴所求圓的方程為(x＋5)2＋(y＋2)2＝4. 2．圓心為C(－1,2)，且一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)落在兩坐標(biāo)軸上的圓的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝20 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝20 解析：選C　因?yàn)橹睆降膬蓚€(gè)端點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上，所以該圓一定過(guò)原點(diǎn)，所以半徑r＝＝，又圓心為C(－1,2)，故圓的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故選C. 3．方程y＝表示的曲線是(　　) A．一條射線 B．一個(gè)圓 C．兩條射線 D．半個(gè)圓 解析：選D　y＝可化為x2＋y2＝9(y≥0)，故表示的曲線為圓x2＋y2＝9位于x軸及其上方的半個(gè)圓． 4．當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過(guò)定點(diǎn)C，則以C為圓心，為半徑的圓的方程為(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5 解析：選C　直線方程變?yōu)?x＋1)a－x－y＋1＝0.由得 ∴C(－1,2)，∴所求圓的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5. 5．(2016合肥高一檢測(cè))圓心為直線x－y＋2＝0與直線2x＋y－8＝0的交點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 解析：由可得x＝2，y＝4， 即圓心為(2,4)，從而r＝＝2， 故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－4)2＝20. 答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20 6．若圓心在x軸上，半徑為的圓C位于y軸左側(cè)，且與直線x＋2y＝0相切，則圓C的方程是________． 解析：如圖所示，設(shè)圓心C(a,0)，則圓心C到直線x＋2y＝0的距離為＝，解得a＝－5，a＝5(舍去)， ∴圓心是(－5,0)．故圓的方程是(x＋5)2＋y2＝5. 答案：(x＋5)2＋y2＝5 7．已知某圓圓心在x軸上，半徑長(zhǎng)為5，且截y軸所得線段長(zhǎng)為8，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：法一：如圖所示，由題設(shè)|AC|＝r＝5，|AB|＝8， ∴|AO|＝4.在Rt△AOC中， |OC|＝ ＝ ＝3. 設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(a,0)， 則|OC|＝|a|＝3，∴a＝3. ∴所求圓的方程為(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. 法二：由題意設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋y2＝25. ∵圓截y軸線段長(zhǎng)為8，∴圓過(guò)點(diǎn)A(0,4)． 代入方程得a2＋16＝25，∴a＝3. ∴所求圓的方程為(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. 8．(1)如果實(shí)數(shù)x，y滿足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值和最小值； (2)已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋(y－1)2＝，求的取值范圍． 解：(1)法一：如圖，當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓(x－2)2＋y2＝3相切于上方時(shí)最大，過(guò)圓心A(2,0)作切線l的垂線交于B， 在Rt△ABO中，OA＝2，AB＝. ∴切線l的傾斜角為60，∴的最大值為. 同理可得的最小值為－. 法二：令＝n，則y＝nx與(x－2)2＋y2＝3聯(lián)立， 消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0， Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3， ∴－≤n≤，即的最大值、最小值分別為、－. (2)可以看成圓上的點(diǎn)P(x，y)到A(2,3)的距離．圓心C(0,1)到A(2,3)的距離為d＝＝2. 由圖可知，圓上的點(diǎn)P(x，y)到A(2,3)的距離的范圍是. 即 的取值范圍是2－，2＋.