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2019版九年級數(shù)學(xué)下冊 第27章 圓基礎(chǔ)訓(xùn)練（新版）華東師大版 一、圓的概念 集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合； 二、點與圓的位置關(guān)系 1、點在圓內(nèi) 點在圓內(nèi)； 2、點在圓上 點在圓上； 3、點在圓外 點在圓外； 三、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。 推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧； （2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧； （3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論，即： ①是直徑 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧 中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。 推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧 六、1、圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧等，弦心距等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結(jié)論，即：①；②；③；④ 弧弧 七、1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。 即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角∴ 2、圓周角定理的推論： 推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧； 即：在⊙中，∵、都是所對的圓周角 ∴ 推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。 即：在⊙中，∵是直徑 或∵ ∴ ∴是直徑 推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。 即：在△中，∵ ∴△是直角三角形或 注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。 【例1】用直角鋼尺檢查某一工件是否恰好是半圓環(huán)形，根據(jù)圖形3-3-19所表示的情形，四個工件哪一個肯定是半圓環(huán)形？ 【例2】如圖，已知⊙O中，AB為直徑，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC、AD和BD的長． 【例3】如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，AC為弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm． （1）求證：AC⊥OD； （2）求OD的長； （3）若2sinA－1=0，求⊙O的直徑． 【例4】四邊形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如圖3-3-15，求BD的長． 【例5】如圖1，AB是半⊙O的直徑，過A、B兩點作半⊙O的弦，當(dāng)兩弦交點恰好落在半⊙O上C點時，則有ACAC＋BCBC=AB2． （1）如圖2，若兩弦交于點P在半⊙O內(nèi)，則APAC＋BPBD=AB2是否成立？請說明理由． （2）如圖3，若兩弦AC、BD的延長線交于P點，則AB2= ．參照（1）填寫相應(yīng)結(jié)論，并證明你填寫結(jié)論的正確性． 1、已知⊙O中的弦AB長等于半徑，求弦AB所對的圓周角和圓心角的度數(shù)． 2、如圖，OA、OB、OC都是圓O的半徑，∠AOB=2∠BOC．求證：∠ACB=2∠BAC 3、如圖，已知圓心角∠AOB=100，求圓周角∠ACB、∠ADB的度數(shù)？ 4、一條弦分圓為1：4兩部分，求這弦所對的圓周角的度數(shù)？ 5、已知AB為⊙O的直徑，AC和AD為弦，AB=2，AC=，AD=1，求∠CAD的度數(shù)． 6、 如圖，A、B、C、D、E是⊙O上的五個點，則圖中共有 個圓周角，分別是 ． 7、如圖，已知△ABC是等邊三角形，以BC為直徑的⊙O交AB、AC于D、E．（1）求證：△DOE是等邊三角形；（2）如圖3-3-14，若∠A=60，AB≠AC，則①中結(jié)論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由？ 二、練習(xí)： 1．在⊙O中，同弦所對的圓周角（ ）A．相等 B．互補(bǔ) C．相等或互補(bǔ) D．都不對 2．如圖，在⊙O中，弦AD=弦DC，則圖中相等的圓周角的對數(shù)是（ ） A．5對 B．6對 C．7對 D．8對 3．下列說法正確的是（ ） A．頂點在圓上的角是圓周角 B．兩邊都和圓相交的角是圓周角 C．圓心角是圓周角的2倍 D．圓周角度數(shù)等于它所對圓心角度數(shù)的一半 4．下列說法錯誤的是（ ） A．等弧所對圓周角相等 B．同弧所對圓周角相等 C．同圓中，相等的圓周角所對弧也相等． D．同圓中，等弦所對的圓周角相等 5．如圖4，AB是⊙O的直徑，∠AOD是圓心角，∠BCD是圓周角．若∠BCD=25，則∠AOD= ． 6． 如圖5，⊙O直徑MN⊥AB于P，∠BMN=30，則∠AON= 7． 如圖6，AB是⊙O的直徑，=，∠A=25，則∠BOD= ． 8．如圖7，A、B、C是⊙O上三點，∠BAC的平分線AM交BC于點D，交⊙O于點M．若∠BAC=60，∠ABC=50，則∠CBM= ，∠AMB= ． 9．⊙O中，若弦AB長2cm，弦心距為cm，則此弦所對的圓周角等于 ． 10．如圖8，⊙O中，兩條弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半徑． 11．如圖9，AB是⊙O的直徑，F(xiàn)B交⊙O于點G，F(xiàn)D⊥AB，垂足為D，F(xiàn)D交AG于E．求證：EFDE=AEEG． 12．如圖，AB是半圓的直徑，AC為弦，OD⊥AB，交AC于點D，垂足為O，⊙O的半徑為4，OD=3，求CD的長． 13．如圖，⊙O的弦AD⊥BC，垂足為E，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sinα=，cosβ=，AC=2，求（1）EC的長；（2）AD的長． 作業(yè)： 1、如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠OBC=25，則∠A的度數(shù)為 2如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，D是AB上一點，AB與CD交于E點，則60的角共有 個、 3、圓內(nèi)接三角形三個內(nèi)角所對的弧長為3:4:5，那么這個三角形內(nèi)角的度數(shù)分別為_____ 4、⊙O的弦AB等于半徑，那么弦AB所對的圓周角一定是 5、△ABC中，∠B＝90，以BC為直徑作圓交AC于E，若BC=12，AB=12 ，則 的度數(shù)為 ．． 7、已知：如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，⊙O的直徑BD交AC于E，AF⊥BD于F，延長AF交BC于G．求證： 8．如圖，在圓內(nèi)接△ABC中，AB=AC，D是BC邊上一點．（1）求證：AB2=ADAE；（2）當(dāng)D為BC延長線上一點時，第（1）小題的結(jié)論還成立嗎？ 9．如圖，已知BC為半圓的直徑，O為圓心，D是的中點，四邊形ABCD對角線AC、BD交于點E． （1）求證：△ABE∽△DBC；（2）已知BC=，CD=，求sin∠AEB的值； （3）在（2）的條件下，求弦AB的長． 10．如圖，以△ABC的BC邊為直徑的半圓交AB于D，交AC于E，過E點作EF⊥BC，垂足為F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的長．