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標(biāo)準(zhǔn)仿真模擬練（二） (120分鐘　150分) 第Ⅰ卷 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合要求的) 1.設(shè)集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},則(?RS)∪T= (　　) A.(-2,1] B.(-∞,-4] C.(-∞,1] D.[1,+∞) 【解析】選C.因?yàn)镾={x|x>-2},所以?RS={x|x≤-2},而T={x|x2+3x-4≤0}={x|-4≤x≤1}, 所以(?RS)∪T={x|x≤1}. 2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足1+2iz=i,則z= (　　) A.-2+i B.-2-i C.2+i D.2-i 【解析】選C.設(shè)z=a+bi(a,b∈R), 由題意知,1+2iz=i,所以1+2i=ai-b, 則a=2,b=-1,所以z=2-i,z=2+i. 3.若tanα+π4=-3,則cos2α+2sin 2α= (　　) A.95 B.1 C.-35 D.-75 【解析】選A.tan(α+π4)=1+tanα1-tanα=-3,解得tan α=2, cos2α+2sin 2α=cos2α+4sinαcosαsin2α+cos2α=1+4tanαtan2α+1=95. 4.在等比數(shù)列{an}中,a3=7,前3項(xiàng)之和S3=21,則公比q的值為 (　　) A.1 B.-12 C.1或-12 D.-1或12 【解析】選C.根據(jù)已知條件得a1q2=7,a1+a1q+a1q2=21,所以1+q+q2q2=3,即2q2-q-1=0,解得q=1或q=-12. 5.方程x+lg x=3的解x0∈ (　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞) 【解析】選C.若x∈(0,1),則lg x<0,則x+lg x<1;若x∈(1,2),則03,lg x>0,則x+ lg x>3. 6.函數(shù)f(x)=9x-a3x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函數(shù),則a+b= (　　) A.1 B.-1 C.-12 D.12 【解析】選D.函數(shù)f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且當(dāng)x=0時(shí),f(x)有意義.所以f(0)=0,得a=1.又g(x)為偶函數(shù), 所以g(-1)=g(1),得b=-12.所以a+b=12. 7.分別在區(qū)間[1,6]和[1,4]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù),依次記為m和n,則m>n的概率為 (　　) A.710 B.310 C.35 D.25 【解析】選A.如圖,則在區(qū)間[1,6]和[1,4]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù), 依次記為m和n,則(m,n)表示的圖形面積為35=15, 其中滿足m>n,即在直線m=n右側(cè)的點(diǎn)表示的圖形面積為:12(2+5)3=212,故m>n的概率P=21215=710. 8.定義d(a,b)=|a-b|為兩個(gè)向量a,b間的“距離”.若向量a,b滿足:①|(zhì)b|=1;②a≠b;③對(duì)任意的t∈R,恒有d(a,tb)≥d(a,b).則 (　　) A.a⊥b B.a⊥(a-b) C.b⊥(a-b) D.(a+b)⊥(a-b) 【解析】選C.如圖所示,因?yàn)閨b|=1,所以b的終點(diǎn)在單位圓上.設(shè)點(diǎn)B在單位圓上.點(diǎn)A不在單位圓上,則可用OB表示b,用OA表示a,用BA表示a-b.設(shè)OC=tb,所以d(a,tb)=|CA|, d(a,b)=|BA|,因?yàn)閷?duì)任意t∈R,d(a,tb)≥d(a,b),所以|CA|≥|BA|恒成立,所以BA⊥OB,即b⊥(a-b). 9.已知x,y滿足x+y-1≥0,x-2y-4≤0,2x-y-2≥0,如果目標(biāo)函數(shù)z=y+1x-m的取值范圍為[0,2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 (　　) A.0,12 B.-∞,12 C.-∞,12 D.(-∞,0] 【解析】選C.由約束條件,作出可行域如圖中陰影部分所示,而目標(biāo)函數(shù)z=y+1x-m的幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與A(m,-1)連線的斜率,由x+y-1=0,x-2y-4=0,得x=2,y=-1,即B(2,-1).由題意知m=2不符合題意,故點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合,因而當(dāng)連接AB時(shí),斜率取到最小值0.由y=-1與2x-y-2=0,得交點(diǎn)C12,-1,在點(diǎn)A由點(diǎn)C向左移動(dòng)的過程中,可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)A連線的斜率小于2,因而目標(biāo)函數(shù)的取值范圍滿足z∈[0,2),則m<12. 10.已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),且|+|=|-|(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則實(shí)數(shù)a等于 (　　) A.2 B.-2 C.2或-2 D.6或-6 【解析】選C.由|+|=|-|知OA⊥OB,所以由題意可得|a|2=2,所以a=2.另外也可以用畫圖直接寫出答案. 11.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),執(zhí)行程序框圖(如圖),當(dāng)k=4時(shí),輸出S=13, 則a2017= (　　) A.2 015 B.2 016 C.2 017 D.2 018 【解析】選D.由程序框圖可知,{an}是公差為1的等差數(shù)列,且1a1a2+1a2a3+1a3a4+1a4a5=13, 所以1a1-1a2+1a2-1a3+1a3-1a4+1a4-1a5=1a1-1a5=13,所以1a1-1a1+4=13,解得a1=2, 所以a2 017=a1+2 016d=2+2 016=2 018. 12.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,則不等式f(x)>3ex+1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為 (　　) A.(0,+∞) B.(-∞,0)∪(3,+∞) C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(3,+∞) 【解析】選A.由f(x)>3ex+1,得exf(x)>3+ex. 構(gòu)造函數(shù)F(x)=exf(x)-ex-3,得F′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)-1]. 由f(x)+f′(x)>1,ex>0,可知F′(x)>0,即F(x)在R上單調(diào)遞增. 又因?yàn)镕(0)=e0f(0)-e0-3=f(0)-4=0. 所以F(x)>0的解集為(0,+∞). 第Ⅱ卷 　　本卷包含必考題和選考題兩部分.第13題～第21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22題～第23題為選考題,考生根據(jù)要求作答. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分) 13.已知點(diǎn)A(x1,ax1),B(x2,ax2)是函數(shù)y=ax(a>1)的圖象上任意不同兩點(diǎn),依據(jù)圖象可知,線段AB總是位于A,B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方,因此有結(jié)論ax1+ax22>ax1+x22成立.運(yùn)用類比思想方法可知,若點(diǎn)A(x1,sin x1),B(x2,sin x2)是函數(shù)y=sin x(x∈(0,π))的圖象上任意不同兩點(diǎn),則類似地有____________成立. 【解析】對(duì)于函數(shù)y=ax(a>1)的圖象上任意不同兩點(diǎn)A,B,依據(jù)圖象可知,線段AB總是位于A,B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方,因此有結(jié)論ax1+ax22>ax1+x22成立;對(duì)于函數(shù)y=sin x(x∈(0,π))的圖象上任意不同的兩點(diǎn)A(x1,sin x1),B(x2,sin x2),線段AB總是位于A,B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的下方,類比可知應(yīng)有sin x1+sin x22b>0)的離心率為63,以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線2x-2y+6=0相切. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)已知點(diǎn)A,B為動(dòng)直線y=k(x-2)(k≠0)與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn),問:在x軸上是否存在定點(diǎn)E,使得EA2+EAAB為定值?若存在,試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值;若不存在,請(qǐng)說明理由. 【解析】　(1)由e=63,得ca=63,即c=63a, ① 又以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長半軸長為半徑的圓為x2+y2=a2,且該圓與直線2x-2y+6=0相切,所以a=|6|22+(-2)2=6,代入①得c=2,所以b2=a2-c2=2,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26+y22=1. (2)由x26+y22=1,y=k(x-2),得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=12k21+3k2,x1x2=12k2-61+3k2. 根據(jù)題意,假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E(m,0),使得EA2+EAAB=(EA+AB)EA=EAEB為定值, 則EAEB=(x1-m,y1)(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(k2+1)x1x2- (2k2+m)(x1+x2)+(4k2+m2)=(3m2-12m+10)k2+(m2-6)1+3k2,要使上式為定值,即與k無關(guān),只需3m2-12m+10=3(m2-6),解得m=73,此時(shí),EA2+EAAB=m2-6=-59, 所以在x軸上存在定點(diǎn)E73,0,使得EA2+EAAB為定值,且定值為-59. 21.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-12ax2-bx. (1)當(dāng)a=b=12時(shí),求f(x)的最大值. (2)令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax(00) 當(dāng)00,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減. 所以f(x)的極大值為f(1)=-34,此即為最大值. (2)F(x)=ln x+ax,x∈(0,3],則有k=F′(x0)=x0-ax02≤12,在x0∈(0,3]上恒成立, 所以a≥-12x02+x0max,x0∈(0,3], 當(dāng)x0=1時(shí),-12x02+x0取得最大值12, 所以a≥12. (3)因?yàn)榉匠?mf(x)=x2有唯一實(shí)數(shù)解, 所以x2-2mln x-2mx=0有唯一實(shí)數(shù)解, 設(shè)g(x)=x2-2mln x-2mx, 則g′(x)=2x2-2mx-2mx, 令g′(x)=0,x2-mx-m=0, 因?yàn)閙>0,x>0, 所以x1=m-m2+4m2<0(舍去), x2=m+m2+4m2, 當(dāng)x∈(0,x2)時(shí),g′(x)<0,g(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減, 當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)單調(diào)遞增, 當(dāng)x=x2時(shí),g′(x2)=0,g(x)取最小值g(x2). 則g(x2)=0,g(x2)=0,即x22-2mln x2-2mx2=0x22-mx2-m=0. 所以2mln x2+mx2-m=0, 因?yàn)閙>0,所以2ln x2+x2-1=0　(*). 設(shè)函數(shù)h(x)=2ln x+x-1,因?yàn)楫?dāng)x>0是,h(x)是增函數(shù),所以h(x)=0至多有一解. 因?yàn)閔(1)=0,所以方程(*)的解為x2=1, 即m+m2+4m2=1,解得m=12. 　　請(qǐng)考生在第22、23二題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分. 22.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 點(diǎn)Ρ是曲線ρ=2(0≤θ≤π)上的動(dòng)點(diǎn),Α(2,0),ΑΡ的中點(diǎn)為Q. (1)求點(diǎn)Q的軌跡C的直角坐標(biāo)方程. (2)若C上點(diǎn)Μ處的切線斜率的取值范圍是-3,-33,求點(diǎn)Μ橫坐標(biāo)的取值范圍. 【解析】(1)由ρ=2(0≤θ≤π),得x2+y2=4(y≥0), 設(shè)P(x1,y1),Q(x,y), 則x=x1+22,y=y12,即x1=2x-2,y1=2y, 代入x12+y12=4(y≥0), 得(2x-2)2+(2y)2=4,所以(x-1)2+y2=1(y≥0). (2)軌跡C是一個(gè)以(1,0)為圓心,1半徑的半圓,如圖所示, 設(shè)M(1+cos φ,sin φ),設(shè)點(diǎn)M處切線l的傾斜角為α,由l斜率范圍-3,-33, 可得2π3≤α≤5π6,而φ=α-π2, 所以π6≤φ≤π3,所以32≤1+cos φ≤2+32, 所以,點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍是32,2+32. 23.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講 設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-4|-a. (1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值. (2)若f(x)≥4a+1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【解析】 (1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x+1|+|x-4|-1≥|x+1-(x-4)|-1=4,所以f(x)min=4. (2)f(x)≥4a+1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立?|x+1|+|x-4|-1≥a+4a對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立?a+4a≤4, 當(dāng)a<0時(shí),上式成立; 當(dāng)a>0時(shí),a+4a≥2a4a=4, 當(dāng)且僅當(dāng)a=4a,即a=2時(shí)上式取等號(hào),此時(shí)a+4a≤4成立. 綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,0)∪{2}.