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第十七章 勾股定理 教學目標： 1.會用勾股定理解決簡單問題。 2.會用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.會用勾股定理解決綜合問題和實際問題。 教學重點：回顧并思考勾股定理及逆定理 教學難點：勾股定理及逆定理在生活中的廣泛應用。 教學過程： 一、出示目標 1.會用勾股定理解決簡單問題。 2.會用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 3.會用勾股定理解決綜合問題和實際問題。 二、知識結(jié)構(gòu)圖 定理： 直角三角形的性質(zhì):勾股定理 應用:主要用于計算 勾股定理 直角三角形的判別方法::若三角形的三邊滿足 則它是一個直角三角形. 三、知識點回顧 1.勾股定理的應用 勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應用有：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊 （2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系。求直角三角形的另兩邊 （3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題 （4）勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意兩邊的長度，求第三邊的長．這里一定要注意找準斜邊、直角邊；二要熟悉公式的變形： ,． 勾股定理的探索與驗證，一般采用“構(gòu)造法”．通過構(gòu)造幾何圖形，并計算圖形面積得出一個等式，從而得出或驗證勾股定理． 2.如何判定一個三角形是直角三角形 （1） 先確定最大邊（如c） （2） 驗證與是否具有相等關(guān)系 （3） 若=，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形；若≠， 則△ABC不是直角三角形。 3、三角形的三邊分別為a、b、c，其中c為最大邊，若，則三角形是直角三角形；若，則三角形是銳角三角形；若，則三角形是鈍角三角形．所以使用勾股定理的逆定理時首先要確定三角形的最大邊 4、勾股數(shù) 滿足=的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù) 如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 四、典型例題分析 例1：如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6cm和8cm，那么這個三角形的周長和面積分別是多少? 分析： 這里知道了直角三角形的兩條邊的長度，應用勾股定理可求出第三條邊的長度，再求周長．但題中未指明已知的兩條邊是_________還是_______，因此要分兩種情況討論． 例2： 如圖19—11是一只圓柱形的封閉易拉罐，它的底面半徑為4cm，高為15cm，問易拉罐內(nèi)可放的攪拌棒(直線型)最長可以是多長? 分析：攪拌棒在易拉罐中的位置可以有多種情形，如圖中的、，但它們都不是最長的，根據(jù)實際經(jīng)驗，當攪拌棒的一個端點在B點，另一個端點在A點時最長，此時可以把線段AB放在Rt△ABC中，其中BC為底面直徑． 例3：已知單位長度為“1”，畫一條線段，使它的長為． 分析：是無理數(shù)，用以前的方法不易準確畫出表示長為的線段，但由勾股定理可知，兩直角邊分別為________的直角三角形的斜邊長為. 例4：如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)為CD上一點，且．求證：△AEF是直角三角形． 分析：要證△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要證_________________________________________即可． 例5：如圖，在四邊形ABCD中，∠C=90，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求證：AD⊥BD． 分析：可將直線的互相垂直問題轉(zhuǎn)化成直角三角形的判定問題． 例6：已知：如圖△ABC中，AB=AC=10，BC=16，點D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的長． 分析：可設BD長為xcm，然后尋找含x的等式即可，由AB=AC=10知△ABC為等腰三角形，可作高利用其“三線合一”的性質(zhì)來幫助建立方程． 例7：一只螞蟻從長、寬都是3，高是8的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所爬行的最短路線的長是__________________________________．（分析：可以） 分析：將點A與點B展開到同一平面內(nèi)，由：“兩點之間，線段最短。”再根據(jù)“勾股定理”求出最短路線 五、補充本章注意事項 勾股定理是平面幾何中的重要定理，其應用極其廣泛，在應用勾股定理時，要注意以下幾點：　 1、要注意正確使用勾股定理 例1 在Rt△ABC中，∠B=Rt∠，a=1，，求c。 2、要注意定理存在的條件 例2 在邊長為整數(shù)的△ABC中，AB>AC，如果AC=4，BC=3，求AB的長。 3、要注意原定理與逆定理的區(qū)別 例3 如圖1，在△ABC中，AD是高，且，求證：△ABC為直角三角形。 　 4、要注意防止漏解 例4 在Rt△ABC中，a=3，b=4，求c。 5、要注意正逆合用 在解題中，我們常將勾股定理及其逆定理結(jié)合起來使用，一個是性質(zhì)，一個是判定，真所謂珠聯(lián)壁合。當然在具體運用時，到底是先用性質(zhì)，還是先用判定，要視具體情況而言?！　　? 例5 在△ABC中，D為BC邊上的點，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，那么DC=_________。 6、要注意創(chuàng)造條件應用 例6 如圖3，在△ABC中，∠C=90，D是AB的中點，DE⊥DE，DE、DF分別交AC、BC、于E、F，求證： 　　分析 因為EF、AE、BF不是一個三解形的三邊，所以要證明結(jié)論成立，必須作適當?shù)妮o助線，把結(jié)論中三條線段遷移到一個三角形中，然后再證明與EF相等的邊所對的角為直角既可，為此，延長ED到G，使DG=DE，連結(jié)BG、FG，則易證明信BG=AE，GF=EF， 　　∠DBG=∠DAE=∠BAC，由題設易知∠ABC+∠BAC=90，故有∠FBG=∠FBD+∠DBG=∠ABC+∠BAC=90，在Rt△FBG中，由勾股定理有：，從而。