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第一講　直線與圓 考點(diǎn)一　直線的方程 1．兩條直線平行與垂直的判定 若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在． 2．兩個(gè)距離公式 (1)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝. (2)點(diǎn)(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝. [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2018東北三校聯(lián)考)過(guò)點(diǎn)(5,2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是(　　) A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0 [解析]　當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由題意可得直線方程為2x－5y＝0；當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出其截距式為＋＝1，再由過(guò)點(diǎn)(5,2)即可解出2x＋y－12＝0，故選B. [答案]　B 2．直線l過(guò)點(diǎn)(2,2)，且點(diǎn)(5,1)到直線l的距離為，則直線l的方程是(　　) A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0 C．3x－y－4＝0 D．x－3y－4＝0 [解析]　由已知，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，所以＝，解得k＝3，所以直線l的方程為3x－y－4＝0.故選C. [答案]　C 3．(2018湖北孝感五校聯(lián)考)已知直線y＝2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－4,2)，(3,1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(　　) A．(－2,4) B．(－2，－4) C．(2,4) D．(2，－4) [解析]　設(shè)A(－4,2)關(guān)于直線y＝2x的對(duì)稱點(diǎn)為A′(x，y)，則解得即A′(4，－2)，∴直線A′C即BC所在直線的方程為y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.又知點(diǎn)C在直線y＝2x上，聯(lián)立解得則C(2,4)，故選C. [答案]　C 4．(2018湖南東部十校聯(lián)考)經(jīng)過(guò)兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點(diǎn)，并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線方程為________________________． [解析]　解法一：由方程組解得 即交點(diǎn)為， ∵所求直線與直線3x＋4y－7＝0垂直， ∴所求直線的斜率為k＝. 由點(diǎn)斜式得所求直線方程為y－＝， 即4x－3y＋9＝0. 解法二：由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為4x－3y＋m＝0， 由方程組可解得交點(diǎn)為， 代入4x－3y＋m＝0得m＝9， 故所求直線方程為4x－3y＋9＝0. 解法三：由題意可設(shè)所求直線的方程為(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0， 即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，① 又因?yàn)樗笾本€與直線3x＋4y－7＝0垂直， 所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0 所以λ＝2，代入①式得所求直線方程為4x－3y＋9＝0. [答案]　4x－3y＋9＝0 [快速審題]　看到直線方程的求解，想到直線方程的五種形式，想到每種形式的適用條件． 　求直線方程的兩種方法 (1)直接法：選用恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，由題設(shè)條件直接求出方程中系數(shù)，寫出結(jié)果． (2)待定系數(shù)法：先由直線滿足的一個(gè)條件設(shè)出直線方程，使方程中含有待定系數(shù)，再由題設(shè)條件構(gòu)建方程，求出待定系數(shù)． 考點(diǎn)二　圓的方程 1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，方程為x2＋y2＝r2. 2．圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以為圓心，為半徑的圓． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2018福建漳州模擬)圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圓的方程為(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 [解析]　∵點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)為P′(y，x)， ∴(1,2)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)為(2,1)， ∴圓(x－1)2＋(y－2)2＝1關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1，故選A. [答案]　A 2．(2018廣東珠海四校聯(lián)考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 [解析]　由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－a)，則有＝，即|a|＝|a－2|，解得a＝1.故圓心坐標(biāo)為(1，－1)，半徑r＝＝，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故選B. [答案]　B 3．(2018重慶一模)若P(2,1)為圓(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為(　　) A．x－y－1＝0 B．2x－y－3＝0 C．x＋y－3＝0 D．2x＋y－5＝0 [解析]　圓心C的坐標(biāo)為(1,0)，所以直線PC的斜率為kPC＝＝1，所以直線AB的斜率為－1，故直線AB的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，故選C. [答案]　C 4．[原創(chuàng)題]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______________________________________________． [解析]　解法一：由題意得：半徑等于＝＝≤≤，當(dāng)且僅當(dāng)m＝1時(shí)取等號(hào)，所以半徑最大為r＝，所求圓為(x－1)2＋y2＝2. 解法二：直線mx－y－2m－1＝0過(guò)定點(diǎn)(2，－1)，當(dāng)切點(diǎn)為(2，－1)時(shí)圓的半徑最大，此時(shí)半徑r＝＝，故所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝2. [答案]　(x－1)2＋y2＝2 [快速審題]　看到圓的方程，想到圓心與半徑，看到含參數(shù)的直線方程，想到直線是否過(guò)定點(diǎn)． 　求圓的方程的兩種方法 (1)幾何法：通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，從而求得圓的基本量和方程． (2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)，從而求得圓的方程，一般采用待定系數(shù)法． 考點(diǎn)三　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 1．判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法 (1)代數(shù)法：將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來(lái)組成方程組，利用判別式Δ來(lái)討論位置關(guān)系：Δ>0?相交；Δ＝0?相切；Δ<0?相離． (2)幾何法：把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：dr?相離． 2．與圓的切線有關(guān)的結(jié)論 (1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2. (2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，則過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線方程為x0x＋y0y＝r2. [解析]　(1)由題意知：圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑為2，則△AOB的邊長(zhǎng)為2，所以△AOB的高為，即圓心到直線x－y－a＝0的距離為，所以＝，解得a＝. (2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，明顯滿足題意，此時(shí)直線l的方程為x＝1.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y－5＝k(x－1)，再由圓心到直線的距離等于半徑，得＝2，解得k＝－，所以直線l的方程為4x＋3y－19＝0. 綜上，直線l的方程為x＝1或4x＋3y－19＝0. (3)直線l的方程為y＝kx＋1，圓心C(2,3)到直線l的距離d＝＝， 由R2＝d2＋2 得1＝＋， 解得k＝2或， 所求直線l的方程為y＝2x＋1或y＝x＋1. [答案]　(1)B　(2)x＝1或4x＋3y－19＝0　(3)y＝2x＋1或y＝x＋1 [探究追問1]　在本例(3)中若把條件“|MN|＝”，改為＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MN|＝________. [解析]　設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由題意得直線l的方程為y＝kx＋1， 代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1， 整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， ＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8， 由題設(shè)可知＋8＝12，解得k＝1， 所以直線l的方程為y＝x＋1， 故圓心C在直線l上，所以|MN|＝2. [答案]　2 [探究追問2]　在本例(3)中若圓C的方程不變，且過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是________． [解析]　由題意知直線l的方程為y＝kx＋1，要使直線l上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，只需直線l與圓C′：(x－2)2＋(y－3)2＝4有公共點(diǎn)，所以≤2，即≤2，解得k≥0. [答案]　[0，＋∞) 　直線(圓)與圓的位置關(guān)系的解題思路 (1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量． (2)直線與圓相切時(shí)利用“切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，求切線方程主要選擇點(diǎn)斜式． (3)弦長(zhǎng)用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，l＝2(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2018福建福州一模)已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，則a的取值范圍為(　　) A．(－3，3) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C．(－2，2) D．[－3，3] [解析]　由圓的方程可知圓心為O(0,0)，半徑為2，因?yàn)閳A上的點(diǎn)到直線l的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，所以圓心到直線l的距離d

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