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2019版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第24章 圓 24.1.4 圓周角同步 檢測(cè)題（含解析）（新版）新人教版 一、夯實(shí)基礎(chǔ) 1.(xx泰安中考)如圖,點(diǎn)A,B,C在☉O上,∠ABO=32,∠ACO=38,則∠BOC等于(　　) A.60　　　　B.70　　　　C.120　　　　D.140 【解析】選D.延長(zhǎng)CO交AB于D,則∠BOC=∠ODB+∠B=∠A+∠C+∠B,又因?yàn)? ∠BOC=2∠A,即2∠A=∠A+∠C+∠B,2∠A=∠A+32+38,所以∠A=70,所以 ∠BOC=140. 2.(xx珠海中考)如圖,?ABCD的頂點(diǎn)A,B,D在☉O上,頂點(diǎn)C在☉O的直徑BE上,∠ADC=54,連接AE,則∠AEB的度數(shù)為(　　) A.36 B.46 C.27 D.63 【解析】選A.∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴∠B=∠ADC=54. ∵BE是☉O的直徑,∴∠BAE=90, ∴∠AEB=90-∠B=90-54=36. 3.如圖,兩圓相交于A,B兩點(diǎn),小圓經(jīng)過大圓的圓心O,點(diǎn)C,D分別在兩圓上,若 ∠ADB=100,則∠ACB的度數(shù)為(　　) A.35 B.40 C.50 D.80 【解析】選B.連接OA,OB, ∵四邊形AOBD內(nèi)接于圓,∠ADB=100, ∴∠AOB=180-100=80. ∵∠ACB=12∠AOB,∴∠ACB=1280=40. 二、填空題(每小題4分,共12分) 4.(xx青海中考)如圖,在☉O中直徑CD垂直弦AB,垂足為E,若∠AOD=52,則∠DCB=　　　　. 【解析】∵CD是直徑,CD⊥AB,∴AD=BD, ∴∠DCB=12∠AOD=1252=26. 答案:26 【方法技巧】同一圓中證明兩角相等、兩弧相等的“兩種方法” (1)證明兩角相等 ①同弧或者等弧所對(duì)的圓心角相等; ②同弧或者等弧所對(duì)的圓周角相等(在同圓或者等圓中,同弧或者等弧所對(duì)的圓周角都等于這條弧所對(duì)圓心角的一半). (2)證明兩弧相等 ①垂徑定理及其推論中弧、弦、圓心角三者之間的關(guān)系; ②在同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧也相等. 即有弧找角、有角找弧是證明弧相等或者角相等常用的思維方法. 5.(xx株洲中考)如圖AB是☉O的直徑,∠BAC=42,點(diǎn)D是弦AC的中點(diǎn),則∠DOC的度數(shù)是　　　　度. 【解析】方法一:∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90, ∴∠A+∠B=90,∴∠B=90-∠A=48, ∴∠AOC=2∠B=96, ∵OA=OC,AD=CD,∴∠DOC =12∠AOC=48. 方法二:∵AD=CD,∴OD⊥AC, ∴∠CDO=90,∴∠DOC+∠ACO=90, ∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=42, ∴∠DOC =90-∠A=48. 答案:48 6.如圖,AB是半圓O的直徑,C,D是AB上兩點(diǎn),∠ADC=120,則∠BAC的度數(shù)是 　　度. 【解析】∵∠ADC=120, ∴∠B=180-∠ADC=60. ∵AB是直徑,∴∠ACB=90,∴∠BAC=90-60=30. 答案:30 【拓展延伸】同一條弧所對(duì)的四類角及兩關(guān)系 四類角: (1)圓心角:頂點(diǎn)在圓心的角. (2)圓周角:頂點(diǎn)在圓上,兩邊和圓相交的角. (3)圓內(nèi)角:頂點(diǎn)在圓內(nèi),兩邊和圓相交的角. (4)圓外角:頂點(diǎn)在圓外,兩邊和圓相交的角. 兩關(guān)系: (1)一條弧所對(duì)的圓周角是其所對(duì)的圓心角的一半. (2)一條弧對(duì)的圓內(nèi)角>該弧對(duì)的圓周角>該弧對(duì)的圓外角. 二、能力提升 7.(8分)如圖,AB是☉O的直徑,BD是☉O的弦,延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C,使DC=BD,連接AC交☉O于點(diǎn)F,點(diǎn)F不與點(diǎn)A重合. (1)AB與AC的大小有什么關(guān)系?為什么? (2)按角的大小分類,請(qǐng)你判斷△ABC屬于哪一類三角形,并說明理由. 【解析】(1)AB=AC.連接AD,∵AB是直徑, ∴∠ADB=90, 又∵DC=BD,∴AB=AC. (2)△ABC是銳角三角形. 由(1)知,∠B=∠C<90,連接BF,則∠AFB=90, ∴∠A<90,∴△ABC是銳角三角形. 【方法技巧】有直徑時(shí),常常添加輔助線,構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角,由此轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì),可判斷線段或角相等. 8.(8分)(xx溫州中考)如圖,AB為☉O的直徑,點(diǎn)C在☉O上,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D,使DC=CB.延長(zhǎng)DA與☉O的另一 個(gè)交點(diǎn)為E,連接AC,CE. (1)求證:∠B=∠D. (2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的長(zhǎng). 【解析】(1)∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90, ∴AC⊥BC,∵DC=CB,∴AD=AB,∴∠B=∠D. (2)設(shè)BC=x,則AC=x-2. 在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2, ∴(x-2)2+x2=16, 解得x1=1+7,x2=1-7(舍去), ∵∠B=∠E,∠B=∠D,∴∠D=∠E, ∴CD=CE,∵CD=CB,∴CE=CB=1+7. 三、課外拓展 9.(10分)如圖,☉O的直徑AB的長(zhǎng)為6,弦AC的長(zhǎng)為2,∠ACB的平分線交☉O于點(diǎn)D,求四邊形ADBC的面積. 【解析】∵AB是直徑,∴∠ACB=∠ADB=90. 在Rt△ABC中,AB=6,AC=2, ∴BC=AB2-AC2=62-22=42. ∵∠ACB的平分線交☉O于點(diǎn)D, ∴∠DCA=∠BCD,∴AD=DB,∴AD=BD, ∴在Rt△ABD中,AD=BD=22AB=32, ∴四邊形ADBC的面積=S△ABC+S△ABD =12ACBC+12ADBD =12242+12(32)2=9+42. 四、中考鏈接 答案 1.(xx泰安中考)如圖,點(diǎn)A,B,C在☉O上,∠ABO=32,∠ACO=38,則∠BOC等于(　　) A.60　　　　B.70　　　　C.120　　　　D.140 【解析】選D.延長(zhǎng)CO交AB于D,則∠BOC=∠ODB+∠B=∠A+∠C+∠B,又因?yàn)? ∠BOC=2∠A,即2∠A=∠A+∠C+∠B,2∠A=∠A+32+38,所以∠A=70,所以 ∠BOC=140. 2.(xx珠海中考)如圖,?ABCD的頂點(diǎn)A,B,D在☉O上,頂點(diǎn)C在☉O的直徑BE上,∠ADC=54,連接AE,則∠AEB的度數(shù)為(　　) A.36 B.46 C.27 D.63 【解析】選A.∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴∠B=∠ADC=54. ∵BE是☉O的直徑,∴∠BAE=90, ∴∠AEB=90-∠B=90-54=36. 3.如圖,兩圓相交于A,B兩點(diǎn),小圓經(jīng)過大圓的圓心O,點(diǎn)C,D分別在兩圓上,若 ∠ADB=100,則∠ACB的度數(shù)為(　　) A.35 B.40 C.50 D.80 【解析】選B.連接OA,OB, ∵四邊形AOBD內(nèi)接于圓,∠ADB=100, ∴∠AOB=180-100=80. ∵∠ACB=12∠AOB,∴∠ACB=1280=40. 二、填空題(每小題4分,共12分) 4.(xx青海中考)如圖,在☉O中直徑CD垂直弦AB,垂足為E,若∠AOD=52,則∠DCB=　　　　. 【解析】∵CD是直徑,CD⊥AB,∴AD=BD, ∴∠DCB=12∠AOD=1252=26. 答案:26 【方法技巧】同一圓中證明兩角相等、兩弧相等的“兩種方法” (1)證明兩角相等 ①同弧或者等弧所對(duì)的圓心角相等; ②同弧或者等弧所對(duì)的圓周角相等(在同圓或者等圓中,同弧或者等弧所對(duì)的圓周角都等于這條弧所對(duì)圓心角的一半). (2)證明兩弧相等 ①垂徑定理及其推論中弧、弦、圓心角三者之間的關(guān)系; ②在同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧也相等. 即有弧找角、有角找弧是證明弧相等或者角相等常用的思維方法. 5.(xx株洲中考)如圖AB是☉O的直徑,∠BAC=42,點(diǎn)D是弦AC的中點(diǎn),則∠DOC的度數(shù)是　　　　度. 【解析】方法一:∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90, ∴∠A+∠B=90,∴∠B=90-∠A=48, ∴∠AOC=2∠B=96, ∵OA=OC,AD=CD,∴∠DOC =12∠AOC=48. 方法二:∵AD=CD,∴OD⊥AC, ∴∠CDO=90,∴∠DOC+∠ACO=90, ∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=42, ∴∠DOC =90-∠A=48. 答案:48 6.如圖,AB是半圓O的直徑,C,D是AB上兩點(diǎn),∠ADC=120,則∠BAC的度數(shù)是 　　度. 【解析】∵∠ADC=120, ∴∠B=180-∠ADC=60. ∵AB是直徑,∴∠ACB=90,∴∠BAC=90-60=30. 答案:30 【拓展延伸】同一條弧所對(duì)的四類角及兩關(guān)系 四類角: (1)圓心角:頂點(diǎn)在圓心的角. (2)圓周角:頂點(diǎn)在圓上,兩邊和圓相交的角. (3)圓內(nèi)角:頂點(diǎn)在圓內(nèi),兩邊和圓相交的角. (4)圓外角:頂點(diǎn)在圓外,兩邊和圓相交的角. 兩關(guān)系: (1)一條弧所對(duì)的圓周角是其所對(duì)的圓心角的一半. (2)一條弧對(duì)的圓內(nèi)角>該弧對(duì)的圓周角>該弧對(duì)的圓外角. 二、能力提升 7.(8分)如圖,AB是☉O的直徑,BD是☉O的弦,延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C,使DC=BD,連接AC交☉O于點(diǎn)F,點(diǎn)F不與點(diǎn)A重合. (1)AB與AC的大小有什么關(guān)系?為什么? (2)按角的大小分類,請(qǐng)你判斷△ABC屬于哪一類三角形,并說明理由. 【解析】(1)AB=AC.連接AD,∵AB是直徑, ∴∠ADB=90, 又∵DC=BD,∴AB=AC. (2)△ABC是銳角三角形. 由(1)知,∠B=∠C<90,連接BF,則∠AFB=90, ∴∠A<90,∴△ABC是銳角三角形. 【方法技巧】有直徑時(shí),常常添加輔助線,構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角,由此轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì),可判斷線段或角相等. 8.(8分)(xx溫州中考)如圖,AB為☉O的直徑,點(diǎn)C在☉O上,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D,使DC=CB.延長(zhǎng)DA與☉O的另一 個(gè)交點(diǎn)為E,連接AC,CE. (1)求證:∠B=∠D. (2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的長(zhǎng). 【解析】(1)∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90, ∴AC⊥BC,∵DC=CB,∴AD=AB,∴∠B=∠D. (2)設(shè)BC=x,則AC=x-2. 在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2, ∴(x-2)2+x2=16, 解得x1=1+7,x2=1-7(舍去), ∵∠B=∠E,∠B=∠D,∴∠D=∠E, ∴CD=CE,∵CD=CB,∴CE=CB=1+7. 三、課外拓展 9.(10分)如圖,☉O的直徑AB的長(zhǎng)為6,弦AC的長(zhǎng)為2,∠ACB的平分線交☉O于點(diǎn)D,求四邊形ADBC的面積. 【解析】∵AB是直徑,∴∠ACB=∠ADB=90. 在Rt△ABC中,AB=6,AC=2, ∴BC=AB2-AC2=62-22=42. ∵∠ACB的平分線交☉O于點(diǎn)D, ∴∠DCA=∠BCD,∴AD=DB,∴AD=BD, ∴在Rt△ABD中,AD=BD=22AB=32, ∴四邊形ADBC的面積=S△ABC+S△ABD =12ACBC+12ADBD =12242+12(32)2=9+42.