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2019-2020年初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo) 第十六講《質(zhì)數(shù)與合數(shù)》教案1 北師大版 　　我們知道，每一個自然數(shù)都有正因數(shù)(因數(shù)又稱約數(shù))．例如，1有一個正因數(shù)；2，3，5都有兩個正因數(shù)，即1和其本身；4有三個正因數(shù)：1，2，4；12有六個正因數(shù)：1，2，3，4，6，12．由此可見，自然數(shù)的正因數(shù)，有的多，有的少．除了1以外，每個自然數(shù)都至少有兩個正因數(shù)．我們把只有1和其本身兩個正因數(shù)的自然數(shù)稱為質(zhì)數(shù)(又稱素數(shù))，把正因數(shù)多于兩個的自然數(shù)稱為合數(shù)．這樣，就把全體自然數(shù)分成三類：1，質(zhì)數(shù)和合數(shù)． 　　2是最小的質(zhì)數(shù)，也是唯一的一個既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)．也就是說，除了2以外，質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，小于100的質(zhì)數(shù)有如下25個：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97． 　　質(zhì)數(shù)具有許多重要的性質(zhì)： 　　性質(zhì)1 一個大于1的正整數(shù)n，它的大于1的最小因數(shù)一定是質(zhì)數(shù)． 　　性質(zhì)2 如果n是合數(shù)，那么n的最小質(zhì)因數(shù)a一定滿足a2≤n． 　　性質(zhì)3 質(zhì)數(shù)有無窮多個(這個性質(zhì)將在例6中證明)． 　　性質(zhì)4(算術(shù)基本定理)每一個大于1的自然數(shù)n，必能寫成以下形式： 　　這里的P1，P2，…，Pr是質(zhì)數(shù)，a1，a2，…，ar是自然數(shù)．如果不考慮p1，P2，…，Pr的次序，那么這種形式是唯一的． 　　關(guān)于質(zhì)數(shù)和合數(shù)的問題很多，著名的哥德巴赫猜想就是其中之一．哥德巴赫猜想是：每一個大于2的偶數(shù)都能寫成兩個質(zhì)數(shù)的和．這是至今還沒有解決的難題，我國數(shù)學(xué)家陳景潤在這個問題上做了到目前為止最好的結(jié)果，他證明了任何大于2的偶數(shù)都是兩個質(zhì)數(shù)的和或一個質(zhì)數(shù)與一個合數(shù)的和，而這個合數(shù)是兩個質(zhì)數(shù)的積(這就是通常所說的1+2)．下面我們舉些例子． 　　例1 設(shè)p，q，r都是質(zhì)數(shù)，并且 p+q=r，p＜q． 　　求p． 　　解 由于r=p+q，所以r不是最小的質(zhì)數(shù)，從而r是奇數(shù)，所以p，q為一奇一偶．因為p＜q，故p既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)，于是p=2． 　　例2 設(shè)p(≥5)是質(zhì)數(shù)，并且2p+1也是質(zhì)數(shù)．求證：4p+1是合數(shù)． 　　證 由于p是大于3的質(zhì)數(shù)，故p不會是3k的形式，從而p必定是3k+1或3k+2的形式，k是正整數(shù)． 　　若p=3k+1，則 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1) 是合數(shù)，與題設(shè)矛盾．所以p=3k+2，這時 4p+1=4(3k+2)+1=3(4k＋3) 是合數(shù)． 　　例3 設(shè)n是大于1的正整數(shù)，求證：n4+4是合數(shù)． 　　證 我們只需把n4+4寫成兩個大于1的整數(shù)的乘積即可． n4+4=n4+4n2+4-4n2＝(n2+2)2-4n2 ＝(n2-2n+2)(n2+2n+2)， 　　因為 n2+2n＋2＞n2-2n+2=(n-1)2+1＞1， 　　所以n4+4是合數(shù)． 　　例4 是否存在連續(xù)88個自然數(shù)都是合數(shù)？ 　　解 我們用n！表示123…n.令 a=123…89=89！， 　　那么，如下連續(xù)88個自然數(shù)都是合數(shù)： a+2，a+3，a+4，…，a+89． 　　這是因為對某個2≤k≤89，有 a+k=k(2…(k-1)(k+1)…89+1) 　　是兩個大于1的自然數(shù)的乘積． 　　說明 由本例可知，對于任意自然數(shù)n，存在連續(xù)的n個合數(shù)，這也說明相鄰的兩個素數(shù)的差可以任意的大． 　　用(a，b)表示自然數(shù)a，b的最大公約數(shù)，如果(a，b)=1，那么a，b稱為互質(zhì)(互素)． 　　例5 證明：當(dāng)n＞2時，n與n！之間一定有一個質(zhì)數(shù)． 　　證 首先，相鄰的兩個自然數(shù)是互質(zhì)的．這是因為 (a，a-1)=(a，1)＝1， 　　于是有(n！，n！-1)=1． 　　由于不超過n的自然數(shù)都是n！的約數(shù)，所以不超過n的自然數(shù)都與n！-1互質(zhì)(否則，n！與n！-1不互質(zhì))，于是n！-1的質(zhì)約數(shù)p一定大于n，即n＜p≤n！-1＜n?。? 　　所以，在n與n！之間一定有一個素數(shù)． 　　例6 證明素數(shù)有無窮多個． 　　證 下面是歐幾里得的證法． 　　假設(shè)只有有限多個質(zhì)數(shù)，設(shè)為p1，p2，…，pn.考慮p1p2…pn+1，由假設(shè)，p1p2…pn+1是合數(shù)，它一定有一個質(zhì)約數(shù)p．顯然，p不同于p1，p2，…，pn，這與假設(shè)的p1，p2，…，pn為全部質(zhì)數(shù)矛盾． 　　例7 證明：每一個大于11的自然數(shù)都是兩個合數(shù)的和． 　　證 設(shè)n是大于11的自然數(shù)． 　　(1)若n=3k(k≥4)，則 n＝3k=6+3(k-2)； 　　(2)若n=3k+1(k≥4)，則 n=3k+1=4+3(k-1)； 　　(3)若n=3k+2(k≥4)，則 n=8+3(k-2)． 　　因此，不論在哪種情況下，n都可以表為兩個合數(shù)的和． 　　例8 求不能用三個不同合數(shù)的和表示的最大奇數(shù)． 　　解 三個最小的合數(shù)是4，6，8，它們的和是18，于是17是不能用三個不同的合數(shù)的和表示的奇數(shù)． 　　下面證明大于等于19的奇數(shù)n都能用三個不同的合數(shù)的和來表示． 　　由于當(dāng)k≥3時，4，9，2k是三個不同的合數(shù)，并且4+9+2k≥19，所以只要適當(dāng)選擇k，就可以使大于等于19的奇數(shù)n都能用4，9，2k(k=n-13/2)的和來表示． 　　 綜上所述，不能表示為三個不同的合數(shù)的和的最大奇數(shù)是17． 練習(xí)十六 　　1．求出所有的質(zhì)數(shù)p，使p+10，p+14都是質(zhì)數(shù)． 　　2．若p是質(zhì)數(shù)，并且8p2+1也是質(zhì)數(shù)，求證：8p2-p+2也是質(zhì)數(shù)． 　　3．當(dāng)m＞1時，證明：n4+4m4是合數(shù)． 　　4．不能寫成兩個合數(shù)之和的最大的自然數(shù)是幾？ 　　5．設(shè)p和q都是大于3的質(zhì)數(shù)，求證：24｜p2-q2． 　　6．設(shè)x和y是正整數(shù)，x≠y，p是奇質(zhì)數(shù)，并且 　　求x+y的值．