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單元測(cè)試(六) [范圍:圓　限時(shí):45分鐘　滿分:100分] 一、選擇題(每題5分,共35分) 1.若正三角形的外接圓半徑為3,則這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)是 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 2.如圖D6-1,☉O的直徑AB=6,若∠BAC=50,則劣弧AC的長(zhǎng)為 (　　) 圖D6-1 A.2π B.8π3 C.3π4 D.4π3 3.如圖D6-2,AB是☉O的直徑,C是☉O上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作☉O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若∠A=30,則sinE的值為(　　) 圖D6-2 A.12 B.22 C.32 D.33 4.如圖D6-3,AB是圓錐的母線,BC為底面直徑,已知BC=6 cm,圓錐的側(cè)面積為15π cm2,則sin∠ABC的值為 (　　) 圖D6-3 A.34 B.35 C.45 D.53 5.[xx重慶A卷] 如圖D6-4,已知AB是☉O的直徑,點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上,PD與☉O相切于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)B作PD的垂線交PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.若☉O的半徑為4,BC=6,則PA的長(zhǎng)為 (　　) 圖D6-4 A.4 B.23 C.3 D.2.5 6.如圖D6-5,已知圓內(nèi)接正三角形的面積為3,則該圓的內(nèi)接正六邊形的邊心距是 (　　) 圖D6-5 A.2 B.1 C.3 D.32 7.將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒,水平放置在桌面上,水杯的底面如圖D6-6所示,已知水杯內(nèi)徑(圖中小圓的直徑)是8 cm,水的最大深度是2 cm,則杯底有水部分的面積是 (　　) 圖D6-6 A.(163π-43) cm2 B.(163π-83) cm2 C.(83π-43) cm2 D.(43π-23) cm2 二、填空題(每題5分,共30分) 8.如圖D6-7,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),若∠A=n,則∠DCE=　　　　. 圖D6-7 9.一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為120的扇形,若該圓錐的底面圓的半徑為4 cm,則圓錐的母線長(zhǎng)為　　　　. 10.如圖D6-8,☉O是△ABC的外接圓,∠A=45,BC=4,則☉O的直徑為　　　　. 圖D6-8 11.如圖D6-9,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(20,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(16,0),點(diǎn)C,D在以O(shè)A為直徑的半圓M上,且四邊形OCDB是平行四邊形,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為　　　　. 圖D6-9 12.已知△ABC的三邊a,b,c滿足a+b2+|c-6|+28=4a-1+10b,則△ABC的外接圓半徑=　　　　. 13.如圖D6-10,在扇形AOB中,∠AOB=90,正方形CDEF的頂點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),點(diǎn)D在OB上,點(diǎn)E在OB的延長(zhǎng)線上,當(dāng)正方形CDEF的邊長(zhǎng)為22時(shí),陰影部分的面積為　　　　. 圖D6-10 三、解答題(共35分) 14.(11分)在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課中,某數(shù)學(xué)小組探究求環(huán)形花壇(如圖D6-12①所示)面積的方法.現(xiàn)有以下工具: ①卷尺;②直棒EF;③T型尺(CD所在的直線垂直平分線段AB). (1)在圖D6-12中,請(qǐng)你畫(huà)出用T型尺找大圓圓心的示意圖(保留畫(huà)圖痕跡,不寫(xiě)畫(huà)法); (2)如圖D6-11,小華說(shuō):“我只用一根直棒和一個(gè)卷尺就可以求出環(huán)形花壇的面積,具體做法如下:將直棒放置到與小圓相切,用卷尺量出此時(shí)直棒與大圓兩交點(diǎn)M,N之間的距離,就可求出環(huán)形花壇的面積.”如果測(cè)得MN=10 cm,請(qǐng)你求出這個(gè)環(huán)形花壇的面積. 圖D6-11 圖D6-12 15.(12分)如圖D6-13,在Rt△ABC中,∠C=90,BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E,作ED⊥EB交AB于點(diǎn)D,☉O是△BED的外接圓. (1)求證:AC是☉O的切線; (2)已知☉O的半徑為2.5,BE=4,求BC,AD的長(zhǎng). 圖D6-13 16.(12分)如圖D6-14,在四邊形ABCD中,∠B=60,∠D=30,AB=BC. (1)求∠A+∠C的度數(shù); (2)連結(jié)BD,探究AD,BD,CD三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由; (3)若AB=1,點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部運(yùn)動(dòng),且滿足AE2=BE2+CE2,求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度. 圖D6-14 參考答案 1.B 2.D　[解析] 連結(jié)OC,∵∠BAC=50,∴∠AOC=80, ∴l(xiāng)AC=803π180=4π3,故選D. 3.A　[解析] 連結(jié)OC, ∵CE是☉O的切線, ∴OC⊥CE. ∵∠A=30, ∴∠BOC=2∠A=60, ∴∠E=90-∠BOC=30, ∴sinE=sin30=12. 故選A. 4.C　[解析] ∵圓錐側(cè)面積為15π,則母線長(zhǎng)L=215π6π=5,利用勾股定理可得OA=4,故sin∠ABC=45. 5.A　[解析] 如圖,連結(jié)OD. ∵PC切☉O于點(diǎn)D, ∴OD⊥PC. ∵☉O的半徑為4, ∴PO=PA+4,PB=PA+8. ∵OD⊥PC,BC⊥PD, ∴OD∥BC,∴△POD∽△PBC, ∴ODBC=POPB,即46=PA+4PA+8,解得PA=4. 故選A. 6.B　[解析] 如圖,設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a,則S△ABC=34a2, ∴34a2=3, 解得a=2或a=-2(舍),∴BC=2. ∵∠BAC=60,BO=CO, ∴∠BOC=120,則∠BCO=30. ∵OH⊥BC,∴BH=12BC=1, 在Rt△BOH中,BO=BHcos30=233, ∴圓的半徑r=233. 如圖,正六邊形內(nèi)接于圓O,且半徑為233,可知∠EOF=60,OF=233. 在△EOF中,OE=OF,OD⊥EF,∴∠FOD=30. 在Rt△DOF中,OD=OFcos30=23332=1, ∴邊心距為1. 7.A　[解析] 連結(jié)OA,OB,作OD⊥AB于C,交☉O于點(diǎn)D,則CD=2,AC=BC, ∵OA=OD=4,CD=2, ∴OC=2, 在Rt△AOC中,sin∠OAC=OCOA=12, ∴∠OAC=30,∴∠AOB=120, AC=OA2-OC2=23, ∴AB=43, ∴杯底有水部分的面積=S扇形AOB-S△AOB=120π42360-12432=163π-43(cm2). 故選A. 8.n　[解析] 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),所以∠BCD=180-∠A,而B(niǎo),C,E三點(diǎn)在一條直線上,則∠DCE=180-∠BCD,所以∠DCE=∠A=n. 9.12 cm　[解析] 設(shè)母線長(zhǎng)為R,由“圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面圓的周長(zhǎng)”得,120πR180=2π4,解得R=12,即圓錐的母線長(zhǎng)為12 cm. 10.42　[解析] 解法一:如圖①,過(guò)點(diǎn)B作直徑BD,連結(jié)DC,則∠BCD=90. ∵∠A=45,∴∠D=45,∴△BDC是等腰直角三角形. ∵BC=4,∴根據(jù)勾股定理得直徑BD=42. 解法二:如圖②,連結(jié)OB,OC. ∵∠A=45,∴∠O=90,∴△OBC是等腰直角三角形. ∵BC=4,∴根據(jù)勾股定理得半徑OB=22, ∴☉O的直徑為42. 11.(2,6)　[解析] 過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CD,垂足為點(diǎn)N,連結(jié)CM,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA,垂足為點(diǎn)E, 因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(20,0),所以CM=OM=10. 因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)是(16,0),所以CD=OB=16. 由垂徑定理可知,CN=12CD=8, 在Rt△CMN中,CM=10,CN=8, 由勾股定理可知MN=6, 所以CE=MN=6,OE=OM-EM=10-8=2, 所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,6). 12.258　[解析] 原式整理得:b2-10b+25+a-1-4a-1+4+|c-6|=0, (b-5)2+(a-1)2-4a-1+4+|c-6|=0, (b-5)2+(a-1-2)2+|c-6|=0. ∵(b-5)2≥0,(a-1-2)2≥0,|c-6|≥0, ∴b=5,c=6,a=5,∴△ABC為等腰三角形. 如圖所示,作CD⊥AB, 設(shè)O為外接圓的圓心,則OA=OC=R. ∵AC=BC=5,AB=6, ∴AD=BD=3,∴CD=AC2-AD2=4, ∴OD=CD-OC=4-R, 在Rt△AOD中,R2=32+(4-R)2, 解得R=258. 13.2π-4　[解析] 連結(jié)OC,∵在扇形AOB中,∠AOB=90,正方形CDEF的頂點(diǎn)C是AB的中點(diǎn), ∴∠COD=45, ∴OC=(22)2+(22)2=4, ∴陰影部分的面積=扇形BOC的面積-三角形ODC的面積, 即S陰影=45360π42-12(22)2=2π-4. 14.解:(1)如圖①,點(diǎn)O即為所求. (2)如圖②,設(shè)切點(diǎn)為C,連結(jié)OM,OC. ∵M(jìn)N是切線, ∴OC⊥MN, ∴CM=CN=5, ∴OM2-OC2=CM2=25, ∴S圓環(huán)=πOM2-πOC2=25π. ∴這個(gè)環(huán)形花壇的面積是25π cm2. 15.[解析] (1)連結(jié)OE,利用圓的半徑相等得到∠OEB=∠OBE,利用BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E得到∠CBE=∠OBE,進(jìn)而得到∠OEB=∠CBE,最后利用OE∥BC得到∠OEA=90,從而得到AC是☉O的切線; (2)由(1)知∠CBE=∠OBE,可以證明△BCE∽△BED,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可以得到BC的長(zhǎng),再由OE∥BC得到△AOE∽△ABC,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可以得到AD的長(zhǎng). 解:(1)證明:如圖所示,連結(jié)OE, ∵OE=OB, ∴∠OEB=∠OBE. ∵BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E, ∴∠CBE=∠OBE, ∴∠OEB=∠CBE, ∴OE∥BC, ∴∠OEA=∠C=90, ∴OE⊥AC, ∴AC是☉O的切線. (2)∵ED⊥EB,∠C=90, ∴∠BED=∠C=90, 由(1)知∠CBE=∠OBE, ∴△BCE∽△BED,∴BCBE=BEBD. ∵☉O的半徑為2.5,BE=4, ∴BC4=422.5,∴BC=165. ∵OE∥BC,∴△AOE∽△ABC,∴OEBC=AOAB, ∵OE=2.5,BC=165,AO=AD+OD=AD+2.5,AB=AD+BD=AD+5, ∴2.5165=AD+2.5AD+5,∴AD=457. 16.[解析] (1)根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360,結(jié)合已知條件即可求出答案;(2)將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,得到△BAD,連結(jié)DD(如圖),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的判定得△BDD是等邊三角形,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)根據(jù)角的計(jì)算可得△DAD是直角三角形,根據(jù)勾股定理得AD2+AD2=DD2,即AD2+CD2=BD2;(3)將△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,得到△BAE,連結(jié)EE(如圖),由等邊三角形的判定得△BEE是等邊三角形,結(jié)合已知條件和等邊三角形的性質(zhì)可得AE2=EE2+AE2,即 ∠AEE=90,從而得出∠BEA=∠BEC=150,從而得出點(diǎn)E是在以O(shè)為圓心,OB為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)軌跡為BC,根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出答案. 解:(1)∵在四邊形ABCD中,∠B=60,∠D=30, ∴∠A+∠C=360-∠B-∠D=270. (2)AD2+CD2=BD2. 理由:如圖,將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,得△BAD,連結(jié)DD. ∵BD=BD,CD=AD,∠DBD=60,∠BAD=∠C,∴△BDD是等邊三角形,∴DD=BD. 又∠BAD+∠C=270, ∴∠BAD+∠BAD=270, ∴∠DAD=90. ∴AD2+AD2=DD2,即AD2+CD2=BD2. (3)如圖,將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得△BEA,連結(jié)EE. ∵BE=BE,∠EBE=60,∠BEC=∠BEA, ∴△BEE是等邊三角形.∴∠BEE=60,BE=EE. ∵AE2=BE2+CE2,CE=AE, ∴AE2=EE2+AE2. ∴∠AEE=90.∴∠BEA=150.∴∠BEC=150. ∴點(diǎn)E在以BC為弦,優(yōu)弧BC所對(duì)的圓心角為300的圓弧上. 以BC為邊在BC下方作等邊三角形BCO,則O為圓心,半徑BO=1. ∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑為BC,BC的長(zhǎng)=60π1180=π3.