《2019高考數(shù)學二輪復習 專題七 概率與統(tǒng)計 第三講 正態(tài)分布、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例學案 理.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019高考數(shù)學二輪復習 專題七 概率與統(tǒng)計 第三講 正態(tài)分布、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例學案 理.doc（27頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
第三講 正態(tài)分布、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例
考點一 正態(tài)分布
1．正態(tài)曲線的性質
(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線關于直線x＝μ對稱，且在x＝μ處達到峰值．
(2)曲線與x軸之間的面積為1.
(3)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．
2．正態(tài)分布X～N(μ，σ2)的三個常用數(shù)據(jù)
(1)P(μ－σ
P(X≤σ1)，故B錯；
當t為任意正數(shù)時，由題圖可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，
∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，
故C正確，D錯．
[答案] C
2．某校組織了“2017年第15屆希望杯數(shù)學競賽(第一試)”，已知此次選拔賽的數(shù)學成績X服從正態(tài)分布N(72,121)(單位：分)，此次考生共有500人，估計數(shù)學成績在72分到83分之間的人數(shù)約為(參數(shù)數(shù)據(jù)：P(μ－σ6.635，所以有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異．
(1)求回歸直線方程的關鍵
①正確理解計算，的公式和準確的計算，其中線性回歸方程必過樣本中心點(，)．
②在分析兩個變量的相關關系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，若具有線性相關關系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值．
(2)獨立性檢驗的關鍵
根據(jù)22列聯(lián)表準確計算K2，若22列聯(lián)表沒有列出來，要先列出此表．K2的觀測值k越大，對應假設事件H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大．
[對點訓練]
1．[角度1]某地隨著經濟的發(fā)展，居民收入逐年增長，該地一建設銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額)如下表：
年份x
2011
2012
2013
2014
2015
儲蓄存款y/千億元
5
6
7
8
10
為了研究計算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進行了處理，令t＝x－2010，z＝y(tǒng)－5得到下表：
時間代號t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
(1)求z關于t的線性回歸方程；
(2)通過(1)中的方程，求出y關于x的回歸方程；
(3)用所求回歸方程預測到2020年年底，該地儲蓄存款額可達多少？
(附：對于線性回歸方程＝x＋，其中＝，＝－)
[解] (1)令z關于t的線性回歸方程為＝t＋，
∵＝3，＝2.2，izi＝45，＝55，
＝＝1.2，＝－＝2.2－31.2＝－1.4，
∴＝1.2t－1.4.
(2)將t＝x－2010，z＝y(tǒng)－5，代入＝1.2t－1.4，
得－5＝1.2(x－2010)－1.4，即＝1.2x－2408.4.
(3)∵＝1.22020－2408.4＝15.6(千億元)，
∴預測到2020年年底，該地儲蓄存款額可達15.6千億元．
2．[角度2]某市調研考試后，某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學考試成績進行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀．統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機抽取1人成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為.
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
合計
甲班
10
乙班
30
合計
110
(1)請完成上面的列聯(lián)表；
(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按99.9%的可靠性要求，能否認為“成績是否優(yōu)秀與班級有關系”．
參考公式與臨界值表：K2＝.
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
[解] (1)
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
合計
甲班
10
50
60
乙班
20
30
50
合計
30
80
110
(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到
K2＝≈7.486<10.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能認為“成績是否優(yōu)秀與班級有關系”.
1．(2017全國卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖：
根據(jù)該折線圖，下列結論錯誤的是( )
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)
[解析] 折線圖呈現(xiàn)出的是一個逐漸上升的趨勢，但是并不是每個月都在增加，故A說法錯誤；折線圖中按照年份進行劃分，可以看出每年的游客量都在逐年增加，故B說法正確；折線圖中每年的高峰出現(xiàn)在每年的7,8月，故C說法正確；每年的1月至6月相對于7月至12月的波動性更小，變化的幅度較小，說明變化比較平穩(wěn)，故D說法正確．
[答案] A
2．(2017山東卷)為了研究某班學生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關系，從該班隨機抽取10名學生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系，設其回歸直線方程為＝x＋，已知i＝225，i＝1600，＝4.該班某學生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為( )
A．160 B．163 C．166 D．170
[解析] 由題意可得＝22.5，＝160，∴＝160－422.5＝70，即＝4x＋70.當x＝24時，＝424＋70＝166，故選C.
[答案] C
3．(2018江蘇卷)已知5位裁判給某運動員打出的分數(shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分數(shù)的平均數(shù)為________．
[解析] 5位裁判打出的分數(shù)分別為89,89,90,91,91，則這5位裁判打出的分數(shù)的平均數(shù)為(89＋89＋90＋91＋91)＝90.
[答案] 90
4．(2017全國卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下：
(1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg”，估計A的概率；
(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關：
箱產量<50 kg
箱產量≥50 kg
舊養(yǎng)殖法
新養(yǎng)殖法
(3)根據(jù)箱產量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01)．
附：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2＝.
[解] (1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg”．
由題意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．
舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50 kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)5＝0.62，
故P(B)的估計值為0.62.
新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50 kg的頻率為(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)5＝0.66，
故P(C)的估計值為0.66.
因此，事件A的概率估計值為0.620.66＝0.4092.
(2)根據(jù)箱產量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表
箱產量<50 kg
箱產量≥50 kg
舊養(yǎng)殖法
62
38
新養(yǎng)殖法
34
66
K2＝≈15.705.
由于15.705>6.635，故有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關．
(3)因為新養(yǎng)殖法的箱產量頻率分布直方圖中，箱產量低于50 kg的直方圖面積為(0.004＋0.020＋0.044)5＝0.34<0.5，箱產量低于55 kg的直方圖面積為(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)5＝0.68>0.5，故新養(yǎng)殖法箱產量的中位數(shù)的估計值為50＋≈52.35(kg)．
1.統(tǒng)計與統(tǒng)計案例在選擇或填空題中的命題熱點主要集中在隨機抽樣、用樣本估計總體以及變量間的相關性判斷等，難度較低，常出現(xiàn)在3～4題的位置．
2．統(tǒng)計的解答題多在第18或19題的位置，多以交匯性的形式考查，交匯點主要有兩種：頻率分布直方圖、莖葉圖擇一與隨機變量的分布列、數(shù)學期望、方差、正態(tài)分布相交匯考查；頻率分布直方圖、莖葉圖擇一與線性回歸或獨立性檢驗相交匯來考查，難度中等．
熱點課題19 概率與統(tǒng)計的交匯問題
[感悟體驗]
(2018河北衡水中學調研)某同學在研究性學習中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產產量(單位：萬盒)的數(shù)據(jù)如下表所示：
x(月份)
1
2
3
4
5
y(萬盒)
4
4
5
6
6
(1)該同學為了求出y關于x的線性回歸方程＝x＋，根據(jù)表中數(shù)據(jù)已經正確計算出＝0.6，試求出的值，并估計該廠6月份生產的甲膠囊產量數(shù)；
(2)若某藥店現(xiàn)有該制藥廠今年二月份生產的甲膠囊4盒和三月份生產的甲膠囊5盒，小紅同學從中隨機購買了3盒甲膠囊，后經了解發(fā)現(xiàn)該制藥廠今年二月份生產的所有甲膠囊均存在質量問題．記小紅同學所購買的3盒甲膠囊中存在質量問題的盒數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．
[解] (1)由題可得，＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝(4＋4＋5＋6＋6)＝5.∵線性回歸方程＝x＋過點(，)，∴＝－＝5－0.63＝3.2.∴該廠6月份生產的甲膠囊的產量數(shù)為＝0.66＋3.2＝6.8(萬盒)．
(2)由題意知，X＝0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P
則E(X)＝0＋1＋2＋3＝.
專題跟蹤訓練(三十)
一、選擇題
1．(2018長春市第一次質量監(jiān)測)已知某班級部分同學一次測驗的成績統(tǒng)計如圖所示，則其中位數(shù)和眾數(shù)分別為( )
A.95,94 B．92,86
C．99,86 D．95,91
[解析] 由題中莖葉圖可知，此組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17個，故中位數(shù)為92，出現(xiàn)次數(shù)最多的為眾數(shù)，故眾數(shù)為86，故選B.
[答案] B
2．(2018黔東南州第一次聯(lián)考)近年呼吁高校招生改革的呼聲越來越高，在贊成高校招生改革的市民中按年齡分組，得到樣本頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡在區(qū)間[30,40)內的有2500人，在區(qū)間[20,30)內的有1200人，則m的值為( )
A．0.013 B．0.13 C．0.012 D．0.12
[解析] 由題意，得年齡在區(qū)間[30,40)內的頻率為0.02510＝0.25，則贊成高校招生改革的市民有＝10000(人)，因為年齡在區(qū)間[20,30)內的有1200人，所以m＝＝0.012.
[答案] C
3．已知變量x與y正相關，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)＝3，＝3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是( )
A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4
[解析] 變量x與y正相關，且樣本中心點為(3,3.5)，應用排除法可知選項A符合要求．故選A.
[答案] A
4．(2018太原模擬)某小區(qū)有1000戶，各戶每月的用電量近似服從正態(tài)分布N(300,102)，則用電量在320度以上的戶數(shù)約為(參考數(shù)據(jù)：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝99.74%)( )
A．17 B．23 C．34 D．46
[解析] P(ξ>320)＝[1－P(280<ξ<320)]
＝(1－95.44%)＝0.0228，
0．02281000＝22.8≈23，
∴用電量在320度以上的戶數(shù)約為23.故選B.
[答案] B
5．(2018廣東省百校聯(lián)盟第二次聯(lián)考)下表是我國某城市在2017年1月份至10月份期間各月最低溫度與最高溫度(單位：℃)的數(shù)據(jù)一覽表.
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最高溫
度/℃
5
9
9
11
17
24
27
30
31
21
最低溫
度/℃
－12
－3
1
－2
7
17
19
23
25
10
已知該城市的各月最低溫與最高溫具有相關關系，根據(jù)該一覽表，則下列結論錯誤的是( )
A．最低溫度與最高溫度為正相關
B．每月最高溫度與最低溫度的平均值在前8個月逐月增加
C．月溫差(最高溫度減最低溫度)的最大值出現(xiàn)在1月
D．1月至4月的月溫差(最高溫度減最低溫度)相對于7月至10月，波動性更大
[解析] 將最高溫度、最低溫度、溫差列表如下，
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最高溫
度/℃
5
9
9
11
17
24
27
30
31
21
最低溫
度/℃
－12
－3
1
－2
7
17
19
23
25
10
溫差
度/℃
17
12
8
13
10
7
8
7
6
11
由表格可知，最低溫度大致隨最高溫度的增大而增大，A正確；每月最高溫度與最低溫度的平均值在前8個月不是逐月增加，B錯；月溫差的最大值出現(xiàn)在1月，C正確；1月至4月的月溫差相對于7月至10月，波動性更大，D正確．故選B.
[答案] B
6．(2018贛州一模)以下四個命題中是真命題的為( )
①從勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每20分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數(shù)的絕對值越接近于1；③在回歸直線方程＝0.2x＋12中，當解釋變量x每增加一個單位時，預報變量y平均增加0.2個單位；④對分類變量X與Y，它們的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關系”的把握程度越大．
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
[解析] ①為系統(tǒng)抽樣，故①不正確；②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數(shù)的絕對值越接近于1，故②正確；③由0.2(x＋1)＋12－0.2x－12＝0.2知③正確；④對分類變量X與Y，它們的隨機變量K2的觀測值k來說，k越大，“X與Y有關系”的把握程度越大，故④不正確．故選D.
[答案] D
二、填空題
7．(2018懷化二模)某校高三(1)班共有48人，學號依次為1,2,3，…，48，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為6的樣本，已知學號為3,11,19,35,43的同學在樣本中，則還有一個同學的學號應為________．
[解析] 根據(jù)系統(tǒng)抽樣的規(guī)則——“等距離”抽取，則抽取的號碼差相等，易知相鄰兩個學號之間的差為11－3＝8，所以在19與35之間還有27.
[答案] 27
8．(2018安徽淮北模擬)某單位員工按年齡分為A，B，C三組，其人數(shù)之比為5∶4∶1，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本，已知C組中甲、乙二人均被抽到的概率是，則該單位員工總數(shù)為________．
[解析] ∵員工按年齡分為A，B，C三組，其人數(shù)之比為5∶4∶1，∴從中抽取一個容量為20的樣本，則抽取的C組人數(shù)為20＝20＝2，設C組員工總數(shù)為m，則甲、乙二人均被抽到的概率為＝＝，即m(m－1)＝90，解得m＝10.設員工總數(shù)為x，則由＝＝，可得x＝100.
[答案] 100
9．某公司為確定明年投入某產品的廣告支出，對近5年的年廣告支出m與年銷售額t(單位：百萬元)進行了初步統(tǒng)計，得到下列表格中的數(shù)據(jù)：
年廣告支出m
2
4
5
6
8
年銷售額t
30
40
p
50
70
經測算，年廣告支出m與年銷售額t滿足線性回歸方程＝6.5m＋17.5，則p＝________.
[解析] 由于回歸直線過樣本點的中心，＝5，＝，代入＝6.5m＋17.5，解得p＝60.
[答案] 60
三、解答題
10．(2018河南新鄉(xiāng)一模)為了了解甲、乙兩個工廠生產的輪胎的寬度是否達標，從兩廠各隨機選取了10個輪胎，將每個輪胎的寬度(單位：mm)記錄下來并繪制出如下的折線圖：
(1)分別計算甲、乙兩廠提供的10個輪胎寬度的平均值；
(2)若輪胎的寬度在[194,196]內，則稱這個輪胎是標準輪胎．試比較甲、乙兩廠分別提供的10個輪胎中所有標準輪胎寬度的方差的大小，根據(jù)兩廠的標準輪胎寬度的平均水平及其波動情況，判斷這兩個工廠哪個的輪胎相對更好．
[解] (1)甲廠10個輪胎寬度的平均值：
甲＝(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝195(mm)，
乙廠10個輪胎寬度的平均值：乙＝(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194(mm)．
(2)甲廠10個輪胎中寬度在[194,196]內的數(shù)據(jù)為195,194,196,194,196,195，
平均數(shù)：1＝(195＋194＋196＋194＋196＋195)＝195，
方差；s＝[(195－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2]＝，
乙廠10個輪胎中寬度在[194,196]內的數(shù)據(jù)為195,196,195,194,195,195，
平均數(shù)：2＝(195＋196＋195＋194＋195＋195)＝195，
方差：s＝[(195－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2＋(194－195)2＋(195－195)2＋(195－195)2]＝，
∵兩廠標準輪胎寬度的平均數(shù)相等，但乙廠的方差更小，
∴乙廠的輪胎相對更好．
11．(2018河北石家莊二模)隨著網絡的發(fā)展，網上購物越來越受到人們的喜愛，各大購物網站為增加收入，促銷策略越來越多樣化，促銷費用也不斷增加，下表是某購物網站2017年1～8月促銷費用x(萬元)和產品銷量y(萬件)的具體數(shù)據(jù)：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
促銷費用x
2
3
6
10
13
21
15
18
產品銷量y
1
1
2
3
3.5
5
4
4.5
(1)根據(jù)數(shù)據(jù)可知y與x具有線性相關關系，請建立y關于x的回歸方程＝x＋(系數(shù)精確到0.01)；
(2)已知6月份該購物網站為慶祝成立1周年，特制訂獎勵制度：用z(單位：件)表示日銷量，若z∈[1800,2000)，則每位員工每日獎勵100元；若z∈[2000,2100)，則每位員工每日獎勵150元；若z∈[2100，＋∞)，則每位員工每日獎勵200元．現(xiàn)已知該網站6月份日銷量z服從正態(tài)分布N(2000,10000)，請你計算某位員工當月獎勵金額總數(shù)大約為多少元．(當月獎勵金額總數(shù)精確到百分位)
參考數(shù)據(jù)：xiyi＝338.5，x＝1308，其中xi，yi分別為第i個月的促銷費用和產品銷量，i＝1,2,3，…，8.
參考公式：①對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝，＝－.
②若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ
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2019高考數(shù)學二輪復習
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正態(tài)分布、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例學案
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