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第三單元 三角函數(shù)、解三角形
小題必刷卷(五) 三角函數(shù)
題組一 真題集訓(xùn)
1.[2017全國卷Ⅱ] 函數(shù)f(x)=sin2x+π3的最小正周期為 ( )
A.4π B.2π C.π D.π2
2.[2014安徽卷] 設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x+π)=f(x)+sin x.當(dāng)0≤x<π時(shí),f(x)=0,則f23π6=( )
A.12 B.32 C.0 D.-12
3.[2015陜西卷] 如圖X5-1,某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sinπ6x+φ+k,據(jù)此函數(shù)可知,這段時(shí)間水深(單位:m)的最大值為 ( )
圖X5-1
A.5 B.6
C.8 D.10
4.[2016浙江卷] 設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+bsin x+c,則f(x)的最小正周期 ( )
A.與b有關(guān),且與c有關(guān) B.與b有關(guān),但與c無關(guān)
C.與b無關(guān),且與c無關(guān) D.與b無關(guān),但與c有關(guān)
5.[2016全國卷Ⅱ] 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖像如圖X5-2所示,則 ( )
圖X5-2
A.y=2sin2x-π6 B.y=2sin2x-π3
C.y=2sinx+π6 D.y=2sinx+π3
6.[2017全國卷Ⅰ] 函數(shù)y=sin2x1-cosx的部分圖像大致為 ( )
圖X5-3
7.[2016北京卷] 將函數(shù)y=sin2x-π3圖像上的點(diǎn)Pπ4,t向左平移s(s>0)個(gè)單位長度得到點(diǎn)P.若P位于函數(shù)y=sin 2x的圖像上,則 ( )
A.t=12,s的最小值為π6 B.t=32,s的最小值為π6
C.t=12,s的最小值為π3 D.t=32,s的最小值為π3
8.[2016四川卷] sin 750= .
9.[2016全國卷Ⅰ改編] 將函數(shù)y=2sin2x+π6的圖像向右平移14個(gè)周期后,所得圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為 .
題組二 模擬強(qiáng)化
10.若點(diǎn)sin5π6,cos5π6在角α的終邊上,則sin α的值為 ( )
A.-32 B.-12 C.12 D.32
11.[2017東莞四校聯(lián)考] 已知cos(α-π)=-513,且α為第四象限角,則sin α為 ( )
A.-1213 B.1213
C.1213 D.512
12.[2017吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬] 已知sinα-π12=13,則cosα+5π12的值等于 ( )
A.13 B.223
C.-13 D.-223
13.[2017商丘九校聯(lián)考] 下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,π)上單調(diào)遞增的是 ( )
A.y=tan x B.y=cos(-x)
C.y=-sinπ2-x D.y=|tan x|
14.[2017遼寧莊河四模] 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的圖像過點(diǎn)0,12,若f(x)≤fπ12對x∈R恒成立,則ω的最小值為 ( )
A.2 B.4
C.10 D.16
15.[2017廣州二模] 已知函數(shù)f(x)=2sinωx+π4(ω>0)的圖像在區(qū)間[0,1]上恰有3個(gè)最高點(diǎn),則ω的取值范圍為 ( )
A.19π4,27π4 B.9π2,13π2
C.17π4,25π4 D.[4π,6π)
16.[2017邢臺(tái)一中月考] 將y=f(x)圖像上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2,再將其圖像沿x軸向左平移π6個(gè)單位長度,得到的曲線與y=sin 2x的圖像相同,則f(x)的解析式為( )
A.y=sin4x-π3 B.y=sinx-π6
C.y=sin4x+π3 D.y=sinx-π3
17.[2017衡陽三模] 已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像與直線y=a(0
0,φ∈-π2,π2的最小正周期為π,且其圖像關(guān)于直線x=π12對稱,對于函數(shù)f(x)有下面四個(gè)結(jié)論:
①圖像關(guān)于點(diǎn)π4,0對稱;②圖像關(guān)于點(diǎn)π3,0對稱;
③在0,π6上是增函數(shù);④在-π6,0上是增函數(shù),
那么所有正確結(jié)論的編號為 .
小題必刷卷(六) 三角恒等變換、解三角形
題組一 真題集訓(xùn)
1.[2017全國卷Ⅲ] 已知sin α-cos α=43,則sin 2α= ( )
A.-79 B.-29
C.29 D.79
2.[2017全國卷Ⅲ] 函數(shù)f(x)=15sin x+π3+cos x-π6的最大值為 ( )
A.65 B.1
C.35 D.15
3.[2016全國卷Ⅲ] 在△ABC中,B=π4,BC邊上的高等于13BC,則cos A= ( )
A.31010 B.1010
C.-1010 D.-31010
4.[2017山東卷] 在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC為銳角三角形,且滿足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,則下列等式成立的是 ( )
A.a=2b B.b=2a
C.A=2B D.B=2A
5.[2017全國卷Ⅰ] △ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,則C= ( )
A.π12 B.π6
C.π4 D.π3
6.[2017江蘇卷] 若tanα-π4=16,則tan α=.
7.[2015四川卷] sin 15+sin 75的值是 .
8.[2017全國卷Ⅰ] 已知α∈0,π2,tan α=2,則cosα-π4= .
9.[2017全國卷Ⅱ] △ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B= .
10.[2015湖北卷] 如圖X6-1,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上,行駛600 m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75的方向上,仰角為30,則此山的高度CD= m.
圖X6-1
題組二 模擬強(qiáng)化
11.[2017泉州模擬] 已知sin 2α=13,則cos2α-π4= ( )
A.-13 B.13
C.-23 D.23
12.[2017撫州七校聯(lián)考] 若cos x=sin 63cos 18+cos 63cos 108,則cos 2x等于 ( )
A.-12 B.-34
C.0 D.12
13.[2018山東濰坊七中模擬] 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=π3,則△ABC的面積為 ( )
A.3 B.932
C.332 D.33
14.[2017大連二模] 已知△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,則角A等于 ( )
A.π6 B.π4
C.π3 D.2π3
15.[2017吉林三模] 在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,若a=1,b=3,B=60,則△ABC的面積為 ( )
A.12
B.32
C.1
D.3
16.[2017泉州三模] 已知a,b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊,若a2-c2=2b,sin B=4cos Asin C,則b= ( )
A.14
B.12
C.2
D.4
17.[2017太原二模] 已知sinπ2-α=-35,0<α<π,則sin 2α= .
18.已知tanx+π4=2, 則tanxtan2x的值為 .
19.某艦艇在A處測得一艘遇險(xiǎn)漁船在其北偏東45的方向距離A處10海里的C處,此時(shí)得知,該漁船正沿南偏東75的方向以每小時(shí)9海里的速度向一小島靠近,若艦艇的時(shí)速為21海里,則艦艇追上漁船的最短時(shí)間是 小時(shí).
20.[2017哈爾濱三中二模] 在△ABC中,已知c=2,若sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C,則a+b的取值范圍為 .
解答必刷卷(二) 三角函數(shù)、解三角形
題組一 真題集訓(xùn)
1.[2017北京卷] 已知函數(shù)f(x)=3cos2x-π3-2sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求證:當(dāng)x∈-π4,π4時(shí),f(x)≥-12.
2.[2017全國卷Ⅰ] △ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為a23sinA.
(1)求sin Bsin C;
(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周長.
3.[2017全國卷Ⅱ] △ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B2.
(1)求cos B;
(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b.
題組二 模擬強(qiáng)化
4.[2017臨沂二模] 已知向量m=(sin x-3cos x,1),n=sinπ2+x,32,f(x)=mn.
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)己知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=3,fA2+π12=12,sin C=2sin B,求A,c,b的值.
5.[2017江西百所重點(diǎn)高中聯(lián)考] 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知atan B=2bsin A.
(1)求B;
(2)若b=3,A=5π12,求△ABC的面積.
6.[2017榆林三模] 在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且(a+b+c)(a+b-c)=3ab.
(1)求角C的值;
(2)若c=2,且△ABC為銳角三角形,求a+b的取值范圍.
小題必刷卷(五)
1.C [解析] 函數(shù)f(x)=sin2x+π3的最小正周期為T=2π2=π.
2.A [解析] 由已知可得,f23π6=f17π6+sin17π6=f11π6+sin11π6+sin17π6 =f5π6+sin5π6+sin11π6+sin17π6=2sin 5π6+sin-π6=sin5π6=12.
3.C [解析] 據(jù)圖可知,-3+k=2,得k=5,所以ymax=3+5=8.
4.B [解析] 若b=0,則f(x)=sin2x+c=1-cos2x2+c=-12cos 2x+12+c的最小正周期是π;
若b≠0,則f(x)=sin2x+bsin x+c的最小正周期是2π.故選B.
5.A [解析] 由圖知,A=2,最小正周期T=π,所以ω=2ππ=2,所以y=2sin(2x+φ).又因?yàn)閳D像過點(diǎn)π3,2,所以2sin2π3+φ=2,即2π3+φ=2kπ+π2(k∈Z),當(dāng)k=0時(shí),得φ=-π6,所以y=2sin2x-π6.
6.C [解析] 令f(x)=sin2x1-cosx,因?yàn)閒(-x)=sin(-2x)1-cos(-x)=-sin2x1-cosx=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),可以排除B.又f(l)=sin21-cos1>0,所以可以排除A.而f(π)=sin2π1-cos π=0,所以可以排除D.故選C.
7.A [解析] 因?yàn)镻π4,t在函數(shù)y=sin2x-π3的圖像上,所以t=sin2π4-π3=sinπ6=12.因?yàn)閟>0,y=sin2x-π3=sin 2x-π6,所以函數(shù)y=sin2x-π3的圖像至少向左平移π6個(gè)單位長度可以得到函數(shù)y=sin 2x的圖像,所以s的最小值為π6.
8.12 [解析] sin 750=sin(2360+30)=sin 30=12.
9.y=2sin2x-π3 [解析] 函數(shù)y=2sin2x+π6的周期為2π2=π,將函數(shù) y=2sin2x+π6的圖像向右平移14個(gè)周期,即平移π4個(gè)單位,所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為y=2sin2x-π4+π6=2sin2x-π3.
10.A [解析] 根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義,得sin α=cos56π1=-32.
11.A [解析] ∵cos(α-π)=-513,∴-cos α=-513,cos α=513,∵α為第四象限角,∴sin α=-1-cos2α=-1213.
12.C [解析] cosα+5π12=cosα-π12+π2=-sinα-π12=-13,故選C.
13.C [解析] 對于A,y=tan x是奇函數(shù),不符合題意;對于B,y=cos(-x)=cos x在(0,π)上單調(diào)遞減,不符合題意;對于C,∵y=-sinπ2-x=-cos x,∴y=-sinπ2-x是偶函數(shù),且在(0,π)上單調(diào)遞增,符合題意;對于D,y=|tan x|的定義域?yàn)閤x≠π2+kπ,k∈Z,不符合題意.故選C.
14.B [解析] 由函數(shù)圖像過點(diǎn)0,12,得sin φ=12,又|φ|<π2,所以φ=π6.由f(x)≤fπ12對x∈R恒成立可得π12ω+π6=2kπ+π2(k∈Z),解得ω=24k+4(k∈Z).令k=0,可得ωmin=4.
15.C [解析] 函數(shù)f(x)=2sinωx+π4(ω>0).∵x∈[0,1],∴ωx+π4∈π4,ω+π4.∵f(x)的圖像在區(qū)間[0,1]上恰有3個(gè)最高點(diǎn),∴9π2≤ω+π4<6π+π2,解得17π4≤ω<25π4.
16.D [解析] 由題意可得,把y=sin 2x的圖像沿x軸向右平移π6個(gè)單位長度,可得y=sin 2x-π6=sin2x-π3的圖像,再把所得圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變,可得f(x)=sinx-π3 的圖像.
17.D [解析] 由f(x)的圖像與直線y=b(00,所以2sin B=sin A,再根據(jù)正弦定理得2b=a,故選A.
5.B [解析] 因?yàn)閟in B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=(sin A+cos A)sin C=0,所以sin A=-cos A,得A=34π.又由正弦定理asinA=csinC,得2sin3π4=2sinC,解得sin C=12,所以C=π6.
6.75 [解析] tan α=tanα-π4+π4=tanα-π4+tanπ41-tanα-π4tanπ4=16+11-161=75.
7.62 [解析] sin 15+sin 75=sin 15+cos 15=2sin(15+45)=2sin 60=62.
8.31010 [解析] 因?yàn)棣痢?,π2,tan α=2,所以sin α=25,cos α=15,于是cosα-π4=22(cos α+sin α)=31010.
9.π3 [解析] 因?yàn)?bcos B=acos C+ccos A,由正弦定理有2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,所以cos B=12,得B=π3.
10.1006 [解析] 依題意,在△ABC中,AB=600,∠BAC=30,∠ACB=75-30=45.由正弦定理得BCsin∠BAC=ABsin∠ACB,即BCsin30=600sin45,所以BC=3002.在△BCD中,∠CBD=30,CD=BCtan∠CBD=3002tan 30=1006.
11.D [解析] cos2α-π4=1+cos2α-π22=12sin 2α+12=23.故選D.
12.C [解析] ∵cos x=sin 63cos 18-cos 63sin 18=sin 45=22,∴cos 2x=2cos2x-1=212-1=0.
13.C [解析] 由余弦定理可知c2=a2+b2-2abcos C.∵c2=(a-b)2+6=a2+b2-2ab+6,C=π3,∴a2+b2-2ab+6=a2+b2-2abcosπ3,即6=2ab-2ab12, ∴ab=6,∴△ABC的面積S=12absin C=126sinπ3=332.故選C.
14.C [解析] ∵(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,∴由正弦定理可得(a-b)(a+b)=(c-b)c,可化為b2+c2-a2=bc.由余弦定理可得cos A=12,又A∈(0,π),∴A=π3.
15.B [解析] ∵a=1,b=3,B=60,∴由正弦定理可得sin A=asinBb=1323=12,∵a
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三角函數(shù)、解三角形測評
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