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全等三角形中的兩大輔助線技巧 突破點(diǎn)1倍長(zhǎng)中線 　　倍長(zhǎng)中線法:延長(zhǎng)三角形一邊的中線至一點(diǎn),使所延長(zhǎng)的部分與該中線相等,并連接該點(diǎn)與這條邊的一個(gè)頂點(diǎn),得到兩個(gè)全等的三角形.這種方法主要用于構(gòu)造全等三角形或證明對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系. 倍長(zhǎng)中線——常用輔助線添加方法(倍長(zhǎng)中線等中線,等量關(guān)系一大片) 敘述 圖示 結(jié)論 基本圖形:在△ABC中,AD為BC邊上的中線. 倍長(zhǎng)中線:延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使ED=AD,連接BE. ①△ACD≌△EBD; ②根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到: AD<12(AB+AC). 倍長(zhǎng)中線的變形 作法一:M為AB上一點(diǎn),連接MD并延長(zhǎng)到點(diǎn)N,使ND=MD,連接CN; 作法二:過(guò)點(diǎn)C作CN∥AB,與過(guò)點(diǎn)D的直線交于點(diǎn)N,該直線與AB交于點(diǎn)M. △BDM≌△CDN 如圖,在△ABC中,AD是中線,∠BAC=∠BCA,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,CE=AB,連接AE.求證:AE=2AD. 思路分析　見(jiàn)到中線,試一下倍長(zhǎng)中線的輔助線作法,得到相等的線段,再利用三角形全等和等量代換進(jìn)行證明. 自主解答　 1.如圖,在△ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是　　　　. (第1題)　(第2題) 2.如圖,在△ABC中,點(diǎn)E,F分別在AB,AC上,點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn),DE⊥DF,則BE+CF與EF的大小關(guān)系為　　　　. 3.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,點(diǎn)E是AD上一點(diǎn),且BE=AC,延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F.求證:AF=EF. 4.如圖,在△ABC中,AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn), EF∥AD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)G,已知BG=CF,求證:AD為△ABC的角平分線. 突破點(diǎn)2旋轉(zhuǎn) 　　圖形的旋轉(zhuǎn)是近幾年河南中考必考的內(nèi)容.運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的全等變換,證明線段相等、和差倍分關(guān)系以及角相等、和差倍分關(guān)系都是近幾年中考常見(jiàn)的類型. 旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì): ①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等; ②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角; ③旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等. 旋轉(zhuǎn)的基本圖形 圖形旋轉(zhuǎn)的要點(diǎn) 利用旋轉(zhuǎn)作輔助線的基本思路 如圖,將∠AOB旋轉(zhuǎn)至∠AOB,則∠AOA=∠BOB. 1.找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)中的“變”與“不變”; 2.找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)前后的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”; 3.充分挖掘旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段之間的關(guān)系; 4.找旋轉(zhuǎn)點(diǎn),得等邊、等角; 5.證全等或相似; 6.利用全等或相似得到邊、角關(guān)系. 1.以等邊三角形為背景的旋轉(zhuǎn)60(遇60旋轉(zhuǎn)60); 2.以正方形為背景的旋轉(zhuǎn)90(遇90旋轉(zhuǎn)90); 3.將分散的條件通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換集中在一塊“形成合力”破解難題(若條件是分散的,則試試看把圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、翻折). 如圖,將△AOB旋轉(zhuǎn)至△AOB,連接AA,BB,則△AOA∽△BOB. 如圖,在☉O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD= 60,點(diǎn)C為BD的中點(diǎn),則AC的長(zhǎng)是　　　　 . 思路分析　∵四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠ABC+∠ADC=180,又∵點(diǎn)C為BD的中點(diǎn),∴BC=CD.將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至△EDC,則A,D,E三點(diǎn)共線,這樣就把分散的條件集中在一塊了,旋轉(zhuǎn)變換后的圖形是等腰三角形,再利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出AC的值即可.(利用旋轉(zhuǎn)時(shí),一般要滿足兩個(gè)條件:①有相等的邊,②兩角之和為180) 5.如圖,點(diǎn)P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn),且點(diǎn)P到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的距離分別為1,2,3,則△ABC的面積為　　　　. (第5題)　(第6題) 6.如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E為BC上一點(diǎn),點(diǎn)F為CD上一點(diǎn),BE+DF=EF,則∠EAF的度數(shù)為　　　　. 7.如圖,在△ABC中,∠C=90,點(diǎn)D,E,F分別在邊CA,AB,BC上,且四邊形CDEF是正方形,已知BE=2.2,EA=4.1,則△BFE和△AED的面積之和為　　　　. 8.如圖,OA=OD,OA⊥OD,OB=OC,OB⊥OC,經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線l分別交AB,CD于點(diǎn)E,F. (1)試說(shuō)明:S△OAB=S△OCD; (2)若直線l平分CD,求證:OF=12AB. 9.如圖,點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點(diǎn),DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F. (1)當(dāng)∠MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),求證:DE=DF; (2)若AB=2,求四邊形DECF的面積. 10.如圖,等腰三角形ABC繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到△A1BC1的位置,AB與A1C1相交于點(diǎn)D,AC與A1C1,BC1分別相交于點(diǎn)E,F. (1)求證:△BCF≌△BA1D; (2)當(dāng)∠C=α?xí)r,判斷四邊形A1BCE的形狀并說(shuō)明理由. 一線三直角模型 1.[模型說(shuō)明] 一線三直角是一個(gè)常見(jiàn)的相似模型,指的是有三個(gè)直角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形,有些地區(qū)稱“三垂直模型”,也有稱“K形圖”或“M形圖”.(一線三等角不僅可以是直角,也可以是銳角或鈍角.本專題主要研究一線三直角模型) 2.[識(shí)別方法] (1)查找圖形中已知的直角,順著這個(gè)直角的頂點(diǎn)尋找或者構(gòu)造模型中的“一線”; (2)構(gòu)造其他直角,構(gòu)造的直角的頂點(diǎn)必須在“同一條直線”上, “這條直線”可能在已知角的外部,也可能“穿過(guò)”這個(gè)角. 3.[構(gòu)造一線三直角的基本步驟] 做題過(guò)程中,若出現(xiàn)一直角的頂點(diǎn)在一條直線上的形式,就可以構(gòu)造兩側(cè)的直角三角形,利用全等三角形或相似三角形解決相關(guān)問(wèn)題.綜合性題目往往就會(huì)把全等和相似的轉(zhuǎn)化作為出題的一種形式.本質(zhì)就是找角、定線、構(gòu)相似. 一線三直角的基本圖形 一般結(jié)論 一線三直角的應(yīng)用 △ACD∽△BAE. 特殊地,當(dāng)AB=AC時(shí),△ACD≌△BAE. ①圖形中已經(jīng)存在“一線三直角”,直接應(yīng)用模型解題; ②圖形中存在“一線兩直角”,補(bǔ)上“一直角”構(gòu)造此模型; ③圖形中只有直線上的一個(gè)直角,補(bǔ)上“兩直角”構(gòu)造此模型; ④圖形中只有一個(gè)直角,過(guò)該直角頂點(diǎn)補(bǔ)上“一線”,再補(bǔ)上“兩直角”,構(gòu)造此模型; ⑤對(duì)坐標(biāo)系中在x軸或y軸(也可以是平行于x軸或y軸的直線)上構(gòu)造“一線三等角”是解決問(wèn)題的關(guān)鍵. 突破點(diǎn)1三角形中運(yùn)用一線三直角進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算 如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,∠AEB=135,BE=32,DE⊥BE交AB于點(diǎn)D,若DE=2,則AE的長(zhǎng)為　　　　. 思路分析　觀察題圖,有兩個(gè)直角:∠DEB和∠C,有“一條線”:直線AC,過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線,即可構(gòu)造一線三直角模型,然后配合題中的條件用“相似+勾股”進(jìn)行證明和計(jì)算. 突破點(diǎn)2四邊形中運(yùn)用一線三直角求線段長(zhǎng) 如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn),將△ABE沿AE折疊,使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)的點(diǎn)F處,連接CF,則CF的長(zhǎng)為　　　　. 思路分析　題圖中的直角有很多,與CF聯(lián)系緊密且易于構(gòu)造一線三直角模型的直角是∠AFE,過(guò)直角頂點(diǎn)F用豎直的線(作矩形ABCD的邊AD邊垂線),可構(gòu)造一線三直角模型,再配合題中的條件用“相似+勾股”進(jìn)行相關(guān)計(jì)算. 突破點(diǎn)3一線三直角在二次函數(shù)中的運(yùn)用 拋物線y=x2-4x+3與坐標(biāo)軸交于A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上,PE⊥BC于點(diǎn)E,若PE=2CE,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　. 思路分析　圖形中與點(diǎn)P相關(guān)的直角頂點(diǎn)是E,可過(guò)點(diǎn)E作x軸或y軸的平行線(也可以是平行于x軸或y軸的直線),構(gòu)造一線三直角模型,然后利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算. 1.在四邊形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90,AB=AD,AC=4BC,若CD的長(zhǎng)為5,則四邊形ABCD的面積為　　　　. (第1題)　(第2題) 2.如圖,已知∠ABC=90,AD=BC,CE=BD,AE與CD相交于點(diǎn)M,則∠AMD=　　　　. 3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,等腰直角三角形OAB的一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)處,∠ABO=90,OB=AB,已知點(diǎn)A(2,4),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為　　　　. (第3題)　(第4題) 4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(0,23),點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)C在第一象限內(nèi),若△ABC為等邊三角形,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為　　　　. 5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,把矩形OABC的頂點(diǎn)O放在原點(diǎn)處,把其邊OA,OC分別放在x軸的正半軸、y軸的正半軸上,點(diǎn)D在OC邊上,把△BDC沿直線BD翻折,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在x軸上的點(diǎn)E處,已知B(10,8),則直線BD的解析式為　　　　. (第5題)　(第6題) 6.如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45,則BD的長(zhǎng)為　　　　. 7.在四邊形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90,∠ACD=45,AB=3,AD=4,則BC的長(zhǎng)為　　　　. (第7題)　(第8題) 8.如圖,已知拋物線y=-12x2與直線AB交于A(-2,-4),B兩點(diǎn),連接AO,BO,若∠AOB=90,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為　　　　. 參考答案 高分突破微專項(xiàng)1　全等三角形中的兩大輔助線技巧 例1　證明:如圖,延長(zhǎng)AD至點(diǎn)F,使DF=DA,連接CF. 在△ABD和△FCD中, AD=FD,∠ADB=∠FDC,BD=CD, ∴△ABD≌△FCD, ∴AB=FC,∠B=∠DCF. ∵CE=AB,∠BAC=∠BCA,∠ACE=∠BAC+∠B, ∴CF=CE,∠ACE=∠BCA+∠DCF=∠ACF, 在△ACF和△ACE中, AC=AC,∠ACF=∠ACE,CF=CE, ∴△ACF≌△ACE, ∴AE=AF=2AD. 強(qiáng)化訓(xùn)練 1.1AE,且EC-AC2AD,AB-AC<2AD,∴2<2AD<8,∴1EF　如圖,延長(zhǎng)ED至點(diǎn)P,使DP=DE,連接FP,CP, ∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),∴BD=CD,又∵∠EDB=∠CDP,∴△BDE≌△CDP,∴BE=CP.∵DE⊥DF,DE=DP,∴EF=FP.又∵在△CFP中,CP+CF=BE+CF>FP,∴BE+CF>EF. 3.證明:如圖,延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G,使得DG=AD,連接BG. ∵AD是BC邊上的中線, ∴DC=DB. 在△ADC和△GDB中,AD=DG,∠ADC=∠GDB,DC=DB, ∴△ADC≌△GDB, ∴∠CAD=∠G,BG=AC. ∵BE=AC, ∴BE=BG, ∴∠BED=∠G, 又∵∠BED=∠AEF, ∴∠AEF=∠CAD, ∴AF=EF. 4.證明:如圖,過(guò)點(diǎn)C作CH∥AB,交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H, 則∠B=∠ECH,∠BGE=∠H. ∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn), ∴BE=CE. 在△BEG和△CEH中, ∠B=∠ECH,∠BGE=∠CHE,BE=CE, ∴△BEG≌△CEH, ∴BG=CH, 又∵BG=CF, ∴CH=CF, ∴∠F=∠H. ∵EF∥AD, ∴∠F=∠CAD,∠BGE=∠BAD, 又∵∠BGE=∠H, ∴∠BAD=∠CAD, ∴AD為△ABC的角平分線. 例2　833　如圖,將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)至△EDC,則△ABC≌△EDC,∴AB=ED,AC=EC,∠ABC=∠EDC.∵四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠ABC+∠ADC=180,∴∠EDC+∠ADC=180,∴A,D,E三點(diǎn)共線,∴AE=AD+ED=8.∵∠BAD= 60,點(diǎn)C為BD的中點(diǎn),∴∠CAE=12∠BAD=30.過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F,則AF=12AE=4.在Rt△ACF中,cos∠CAF=AFAC,即32=4AC,解得AC=833. 強(qiáng)化訓(xùn)練 5.32+334　如圖,將△ABP以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,得△ACD,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接PD,易得△ABP≌△ACD,AP=AD,BP=CD,∠PAD=∠BAC=60,∴△ADP為等邊三角形,∴AP=PD.在△CDP中,DP=1,CD=2,PC=3,∴PD2+CD2=PC2,∴△CDP是直角三角形,且∠CDP=90,∴∠CDP+∠ADP=150,∴∠ADE=30.在Rt△ADE中,AE=12AD=12,ED=3AE=32,∴CE=CD+DE=2+32,AC2=3+6,∴S△ABC=34AC2=32+334. 6.45　如圖,將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至△ADG的位置,得∠EAG=90,△ABE≌△ADG,∴BE=DG,AE=AG,又∵BE+DF=EF,∴FG=EF,∴△AEF≌△AGF,∴∠EAF=∠GAF,∴∠EAF=12∠EAG=45. 7.4.51　方法一:如圖(1),將△BEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到△GED的位置,易得EG⊥AE,△BEF≌△GED,∴GE=BE=2.2,∴S△BFE+S△AED=S△AEG=12AEEG=122.24.1=4.51.方法二:如圖(2),將△AED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到△GEF的位置,則EG⊥AE,△AED≌△GEF,∴GE=AE=4.1,∴S△BFE+S△AED=S△GBE=12BEEG=122.24.1=4.51. 圖(1)　圖(2) 8.(1)證明:∵OA=OD, ∴可將△AOB以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)至△DOG的位置,如圖所示,則△AOB≌△DOG, ∴S△OAB=S△ODG,∠AOB=∠DOG,OB=OG. ∵OA⊥OD,OB=OC,OB⊥OC, ∴∠COD+∠AOB=∠COD+∠DOG=180,OC=OG, ∴C,O,G三點(diǎn)共線,OD為△CDG中CG邊上的中線, ∴S△ODG=S△OCD, ∴S△OAB=S△OCD. (2)證明:∵直線l平分CD, ∴CF=DF. 由(1)可知,OC=OG, ∴OF為△CDG的中位線, ∴OF=12DG, 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得DG=AB, ∴OF=12AB. 9.(1)證明:連接DC, ∵點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點(diǎn), ∴CD⊥AB,CD=DA,CD平分∠BCA, ∴∠ECD=∠DCA=45. ∵DM⊥DN, ∴∠EDN=90, 又∠CDA=90, ∴∠CDE=∠FDA. 在△CDE和△ADF中, ∠DCE=∠A,CD=AD,∠CDE=∠FDA, ∴△CDE≌△ADF, ∴DE=DF. (2)∵△CDE≌△ADF, ∴S△CDE=S△ADF, ∴S四邊形DECF=S△ACD=12CDAD=12. 10.(1)證明:∵△ABC是等腰三角形, ∴AB=BC,∠A=∠C. ∵將等腰三角形ABC繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到△A1BC1的位置, ∴A1B=AB=BC,∠A1=∠A=∠C,∠A1BD=∠CBC1. 在△BCF與△BA1D中, ∠A1=∠C,A1B=BC,∠A1BD=∠CBF, ∴△BCF≌△BA1D. (2)當(dāng)∠C=α?xí)r,四邊形A1BCE是菱形. 理由:由題易得∠A1=∠A. 又∵∠ADE=∠A1DB, ∴∠AED=∠A1BD=α, ∴∠DEC=180-α. ∵∠C=α, ∴∠A1=α, ∴∠A1BC=360-∠A1-∠C-∠A1EC=180-α, ∴∠A1=∠C,∠A1BC=∠A1EC, ∴四邊形A1BCE是平行四邊形, 又∵A1B=BC, ∴四邊形A1BCE是菱形. 高分突破微專項(xiàng)2　一線三直角模型 例1　3　如圖,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.∵∠AEB=135,∴∠CEB=45,∴△CEB是等腰直角三角形.又∵BE=32,∴BC=CE=3.根據(jù)一線三直角模型,可得△EFD∽△BCE,∴∠FED=∠FDE=45.又DE=2,∴EF=DF=1.易證△AFD∽△ACB,∴AFAC=DFBC.設(shè)AF=a,則aa+4=13,解得a=2,∴AE=AF+EF=2+1=3. 例2　185　如圖,過(guò)點(diǎn)F作AD的垂線,交AD于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,則∠FMA=∠ENF=90.∵BC=6,點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn),∴BE=12BC=3.由折疊的性質(zhì)可知,EF=BE=3,AF=AB=4,∠AFE=∠B=90.根據(jù)一線三直角模型,可得△AMF∽△FNE,∴FNAM=ENFM=EFAF=34.設(shè)EN=3x,FM=4x,則FN=4-4x,AM=3x+3,∴4-4x3x+3=34,解得x=725,∴NC=EC-EN=3-3x,∴FC=5-5x=5-5725=185. 例3　(133,409)　方法一:如圖(1),過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸,交y軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)P作PG⊥EF,交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.當(dāng)y=0時(shí),x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0),∴OA=1,OB=3.當(dāng)x=0時(shí),y=3,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,3).∴OC=3,∴OB=OC,∴△BOC為等腰直角三角形.又∵EF∥OB,∴△EFC是等腰直角三角形.∵∠CFE=∠EGP=∠CEP=90,∴根據(jù)一線三直角模型,可得△CEF∽△EPG.∵PE=2CE,∴CEPE=CFEG=EFPG=12.設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,易得EG=PG=2m,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3m,3+m).把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=x2-4x+3中,解得m1=139,m2=0(不符合題意,舍去),∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(133,409).方法二:如圖(2),當(dāng)y=0時(shí),x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0),∴OA=1,OB=3.當(dāng)x=0時(shí),y=3,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,3).∴OC=3,∴OB=OC,∴△BOC為等腰直角三角形.過(guò)點(diǎn)B作BF⊥BC,交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H,∵PE⊥BC,∴EP∥BF,∴△CEP∽△CBF.∵PE=2CE,CEPE=CBFB=12.由一線三直角模型可得△BOC∽△FHB,∴BH=FH=2AB=6,∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(9,6).易求出直線CF的解析式為y=13x+3.令x2-4x+3=13x+3,解得x1=0(舍去),x2=133,把x=133代入到y(tǒng)=13x+3,得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(133,409). 圖(1)　圖(2) 強(qiáng)化訓(xùn)練 1.10　如圖,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC,交AC于點(diǎn)E.∵∠BAD=∠ACB=90,AB=AD,∴根據(jù)一線三直角模型,可得△ABC≌△DAE,∴AE=BC,AC=DE.設(shè)BC=AE=a,則CE=3a.在Rt△CDE中,CE2+DE2=CD2,即(3a)2+(4a)2=52,解得a=1(負(fù)值已舍去),∴DE=AC=4a=4,∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=12BCAC+12ACDE=1214+1244=10. 2.45　如圖,過(guò)點(diǎn)A作AN⊥AB,且AN=BD,連接DN,CN.∵AD=BC,∴△DAN≌△CBD,∴∠AND=∠CDB,DN=DC.又∵∠AND+∠NDA=90,∴∠CDB+∠NDA=90,∴∠NDC=90,∴△CDN是等腰直角三角形,∴∠NCD=45.∵AN=DB,CE=BD,∴AN=CE.又∵AN∥CE,∴四邊形ANCE是平行四邊形,∴CN∥AE,∴∠AMD=∠NCD=45. 3.(3,1)　如圖,過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線,垂足為F,過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線,垂足為E,兩線交于點(diǎn)D,則∠ADB=∠BFO=90.∵∠ABO=90,AB=OB,∴根據(jù)一線三直角模型,可得△ABD≌△BOF,∴AD=BF,BD=OF.設(shè)AD=BF=a,BD=OF=b.∵A(2,4),∴AE=2,DF=4,∴a+2=b,a+b=4,解得a=1,b=3.∴OF=3,BF=1,故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1). 4.(5,33)　如圖,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作y軸的垂線,垂足為E,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥ED,交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.∵點(diǎn)A(0,23),點(diǎn)B(4,0),∴OA=23,OB=4.∵△ABC為等邊三角形,∴CD=3AD.易知DE為△AOB的中位線,∴DE=12OB=2,AE=12OA=3.根據(jù)一線三直角模型,可得△ADE∽△DCF,∴AEDF=DECF=ADCD=13,解得DF=3,CF=23,∴EF=DE+DF=5,CF+OE=33,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,33). 5.y=12x+3　在矩形OABC中,∵B(10,8),∴OC=AB=8,OA=BC=10.由折疊的性質(zhì)可知DE=CD,BE=BC=10.在Rt△ABE中,AE=BE2-AB2=6,∴OE=OA-AE=10-6=4.根據(jù)一線三直角模型可知,△DOE∽△EAB,∴ODOE=AEAB,即OD4=68,解得OD=3,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,3).設(shè)直線BD的解析式為y=ax+3,將B(10,8)代入,解得a=12,故直線BD的解析式為y=12x+3. 6.41　如圖,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD,交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.在Rt△CDF中,∵∠ADC=45,∴CD=2DF=2CF,∴CF=DF=322,AF=AD-DF=4-322.∵∠CFA=∠CAB=∠AEB=90,AC=AB,∴根據(jù)一線三直角模型,可得△ACF≌△BAE,∴AE=CF=322,BE=AF=4-322,∴DE=AD+AE=4+322.在Rt△BDE中,BD=DE2+BE2=41. 7.2+7　方法一:如圖(1),過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線,分別交BC,AD于點(diǎn)G,H,則四邊形ABGH是矩形.∵∠ACD=45,∴△DCE為等腰直角三角形,∴DE=CE.∵∠DHE=∠EGC=∠DEC=90,∴根據(jù)一線三直角模型,可得△DEH≌△ECG,∴EH=CG,DH=EG.設(shè)DH=EG=m, 則CG=EH=3-m,AH=4-m,BC=CG+AH=7-2m.易知△CEG∽△CAB,∴EGBA=CGCB,即m3=3-m7-2m,解得m1=5+72(不合題意,舍去),m2=5-72,∴BC=7-2m=2+7.方法二:如圖(2),過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.∵∠ACD=45,則△ACE為等腰直角三角形,∴AC=AE.∵∠EAC=∠EFA=∠ABC=90,∴根據(jù)一線三直角模型,可得△AEF≌△CAB.∴AF=BC,EF=BA=3.設(shè)AF=BC=a,過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H,則四邊形EFBH為矩形,∴EH=BF=a+3,CH=BC-BH=BC-EF=a-3,DG=AD-AG=4-EF=1.∵∠ABC=∠BAD=90,∴DG∥CH,∴△EGD∽△EHC,∴EGEH=DGCH,即aa+3=1a-3,解得a1=2+7,a2=2-7(不合題意,舍去).故BC的長(zhǎng)為2+7. 圖(1)　圖(2) 8.(1,-12)　如圖,分別過(guò)A,B兩點(diǎn)作AD⊥x軸于點(diǎn)D,BC⊥x軸于點(diǎn)C.∵∠ADO=∠OCB=∠AOB=90,∴根據(jù)一線三直角模型,可得△AOD∽△OBC,∴ODAD=BCOC.∵A(-2,-4),∴OD=2,AD=4,∴ODAD=BCOC=12,∴OC=2BC.設(shè)BC=a,則OC=2a,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2a,-a),代入y=-12x2,得-a=-12(2a)2,解得a1=12,a2=0(不符合題意,舍去),故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,-12).