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專題能力訓(xùn)練10　三角變換與解三角形 一、能力突破訓(xùn)練 1.(2018全國Ⅲ,理4)若sin α=,則cos 2α=(　　) A. B. C.- D.- 2.已知cos(π-2α)sinα-π4=-22,則sin α+cos α等于(　　) A.-72 B.72 C. D.- 3.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,則角B的值為(　　) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 4.在△ABC中,∠ABC=π4,AB=2,BC=3,則sin∠BAC等于(　　) A.1010 B.105 C.31010 D.55 5.已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C對邊分別為a,b,c,C=120,a=2b,則tan A=　　　　　. 6.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=513,a=1,則b=　　　　　. 7.(2018全國Ⅱ,理15)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,則sin(α+β)=　　　　　　. 8.在△ABC中,a2+c2=b2+2ac. (1)求B的大小; (2)求2cos A+cos C的最大值. 9.在△ABC中,∠A=60,c=37a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求△ABC的面積. 10.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btan A,且B為鈍角. (1)證明:B-A=π2; (2)求sin A+sin C的取值范圍. 11.設(shè)f(x)=sin xcos x-cos2x+π4. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若fA2=0,a=1,求△ABC面積的最大值. 二、思維提升訓(xùn)練 12.若0<α<π2,-π2<β<0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,則cosα+β2等于(　　) A.33 B.-33 C.539 D.-69 13.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足csin A=acos C.當(dāng)3sin A-cosB+π4取最大值時,角A的大小為(　　) A.π3 B.π4 C.π6 D.2π3 14.在△ABC中,邊AB的垂直平分線交邊AC于點(diǎn)D,若C=π3,BC=8,BD=7,則△ABC的面積為　　　　　. 15.已知sinπ4+αsinπ4-α=16,α∈π2,π,則sin 4α的值為　　　　　. 16.在銳角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,則tan Atan Btan C的最小值是　　　　　. 17.在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,π30,所以A∈0,π4,于是sin A+sin C=sin A+sinπ2-2A=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2sinA-142+98. 因為00,從而sin C=cos C. 又cos C≠0,所以tan C=1,則C=π4, 所以B=3π4-A. 于是3sin A-cosB+π4=3sin A-cos(π-A)=3sin A+cos A=2sinA+π6. 因為00,tan Btan C>0,所以tan A+2tan Btan C≥22tanAtanBtanC,當(dāng)且僅當(dāng)tan A=2tan Btan C時,等號成立,即tan Atan Btan C≥22tanAtanBtanC,解得tan Atan Btan C≥8,即最小值為8. 17.解 (1)由ba-b=sin2CsinA-sin2C及正弦定理,得sin B=sin 2C,∴B=2C或B+2C=π. 若B=2C,∵π3π(舍去). 若B+2C=π,又A+B+C=π, ∴A=C,∴△ABC為等腰三角形. (2)∵|BA+BC|=2, ∴a2+c2+2accos B=4. 又由(1)知a=c,∴cos B=2-a2a2. 而cos B=-cos 2C,∴12

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