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第五章相似原理與量綱分析流動相似相似準則模型試驗量綱分析,5－1流動相似幾何相似運動相似動力相似初始條件和邊界條件的相似,原型：流體實際流動的實物。模型：通常把原型（實物）按一定比例關系縮?。ɑ蚍糯螅┑拇砦?，稱為模型。模型試驗：依據相似原理把流體流動原型按一定比例縮小制成模型，模擬與實際情況相似的流體進行觀測和分析研究，然后將模型試驗的成果換算和應用到原型中，分析判斷原型的情況。關鍵問題：模型流體和原型流體保持流動相似。流動相似：兩個流動的相應點上的同名物理量（如速度、壓強、各種作用力等）具有各自的固定比例關系，則這兩個流動就是相似的。模型和原型保證流動相似，應滿足：幾何相似運動相似動力相似初始條件和邊界條件相似,一、幾何相似幾何相似是指原型與模型的外形相似，其各對應角相等，而且對應部分的線尺寸均成一定比例。對應角相等θp=θm以角標p表示原型(prototype)，m表示模型(model)。線性尺寸成比例,式中λl——長度比尺；lp——原型某一部位長度；lm——模型對應部位的長度。,面積比尺,由上式可知，幾何相似是通過長度比尺λl來表示的。只要任一對應長度都維持固定的比尺關系λl，就保證了流動的幾何相似。,體積比尺,二、運動相似運動相似是指原型與模型兩個流動的流速場和加速度場相似。要求兩個流場中所有對應的速度和加速度的方向對應一致，大小都維持固定的比例關系。,速度比尺,時間比尺,則,加速度比尺,由上可知，運動相似是通過長度比尺λl和時間比尺λt來表示的。長度比尺已由幾何相似定出。因此，運動相似就規(guī)定了時間比尺，只要對任一對應點的流速和加速度都維持固定的比尺關系，也就是固定了長度比尺λl和時間比尺λt，就保證了運動相似。,由于各相應點速度成比例，所以相應斷面平均流速有同樣的速度比尺，即,三、動力相似動力相似是指原型與模型兩個流動的力場幾何相似。要求兩個流場中所有對應點的各種作用力的方向對應一致，大小都維持固定比例關系。,即,式中Fp——原型某點上的作用力；Fm——模型對應點上的作用力。,由牛頓第二定律：F=ma=ρVa,則力的比尺為,因為,則,即,上式可寫成,上式說明，兩個流動動力相似，它們的牛頓數相等；反之兩個流動的牛頓數相等，則兩個流動動力相似。在相似原理中，兩個動力相似流動中的無量綱數，如牛頓數，稱為相似準數。動力相似條件（相似準數相等）稱為相似準則。,——無量綱數,在相似原理中稱為牛頓數Ne,∴,,四、初始條件和邊界條件的相似初始條件：適用于非恒定流。邊界條件：有幾何、運動和動力三個方面的因素。如固體邊界上的法線流速為零，自由液面上的壓強為大氣壓強等。五、流動相似的含義幾何相似是運動相似和動力相似的前提與依據；動力相似是決定兩個流體運動相似的主導因素；運動相似是幾何相似和動力相似的表現；凡流動相似的流動，必是幾何相似、運動相似和動力相似的流動。,5－2相似準則雷諾準則佛汝德準則歐拉準則,5－2相似準則在模型實驗中，只要使其中起主導作用外力滿足相似條件，就能夠基本上反映出流體的運動狀態(tài)。一、雷諾準則作用在流體上的力主要是粘性力。牛頓內摩擦定律粘性力,粘性力比尺,由于作用力僅考慮粘性力，F=T，即,于是,上式說明，若作用在流體上的力主要是粘性力時，兩個流動動力相似，它們的雷諾數應相等。反之，兩個流動的雷諾數相等，則這兩個流動一定是在粘性力作用下動力相似。,化簡后,或者,——無量綱數,即雷諾數,上式說明，若作用在流體上主要是重力，兩個流動動力相似，它們的佛汝德數相等，反之，兩個流動的佛汝德數相等，則這兩個流動一定是在重力作用下動力相似。,二、佛汝德準則作用在流體上的力主要是重力。即：重力G=mg=ρVg重力比尺,由于作用力F中僅考慮重力G，因而F=G，即λf=λG,于是,化簡得：,或,——無量綱量,佛汝德數,所以,上式說明，若作用在流體上的力主要是壓力，兩個流動動力相似，則它們的歐拉數應相等。反之，兩個流動的歐拉數相等，則這兩個流動一定是在壓力作用下動力相似。,三、歐拉準則作用在流體上的力主要是壓力P。即：壓力P=pA,由于作用力F中只考慮壓力P，因而F=P，即,壓力比尺,于是可得,化簡得,則,——無量綱數,歐拉數,所以,5－3模型試驗模型律的選擇模型設計,5－3模型試驗模型的設計，首先要解決模型與原型各種比尺的選擇問題，即所謂模型律的問題。,一、模型律的選擇在進行模型設計時，根據原型的物理量確定模型的量值，這就是模型律的選擇，模型律的選擇應依據相似準則來確定?，F在僅考慮粘性力與重力同時滿足相似。由雷諾準則,則,（1）,由佛汝德準則,通常λg=1，則上式為,（2）,二、模型設計模型設計首先定出長度比尺，再以選定的比尺縮小（或放大）原型的幾何尺度，得出模型流動的幾何邊界。通常，模型和原型采用同一種類流體，則，然后按所選用的相似準則確定相應的速度比尺，再按下式計算出模型流的流量：,按以上步驟，便可實現原型、模型流動在相應準則控制下的流動相似。,或,例1：一橋墩長lp=24m，墩寬bp=4.3m，水深hp=8.2m，河中水流平均流速vp=2.3m/s，兩橋臺的距離Bp=90m。取=50來設計水工模型試驗，試求模型各幾何尺寸和模型中的平均流速和流量。,水深,由給定的=50直接計算,解：（1）模型的各幾何尺寸,橋墩長,橋墩寬,橋臺距離,（2）模型平均流速與流量對一般水工建筑物的流動，起主要作用的是重力，所以模型試驗只需滿足佛汝德準則。即,所以,在此λg=1，則，模型的流速為,模型流量為,因為,由于，,例2：汽車高hp=1.5m，最大行速為108km/h，擬在風洞中測定其阻力。風洞的最大風速為45m/s，問模型的最小高度為多少？若模型中測得阻力為1.50kN，試求原型汽車所受的阻力。解：（1）求模型的最小高度hm對于分析氣體阻力問題，可按雷諾準則計算。雷諾準則為,故,此處，，,（2）求原型汽車所受的阻力由在推導牛頓數得到的力的比尺為,故,則,5－4量綱分析量綱和量綱和諧原理量綱分析法,一、量綱(dimension)和量綱和諧原理1、量綱表示物理量的種類，稱為這個物理量的量綱（或稱因次）。同一物理量，可以用不同的單位來度量，但只有唯一的量綱。在物理量的代表符號前面加“dim”表示量綱，例如速度v的量綱表示為dimv。量綱可分為基本量綱和導出量綱?；玖烤V必須具有獨立性，不能從其它基本量綱推導出來，而且可以用它來參與表示其它各物理量的量綱。在流體力學中常用長度、時間、質量（L、T、M）作為基本量綱。由基本量綱推導出來的量綱，稱導出量綱。它可用三個基本量綱的指數乘積形式來表示。對于任何一個物理量x，其量綱可寫作,（1）,導出量綱速度dimv=LT-1加速度dima=LT-2密度dimρ=ML-3力dimF=MLT-2壓強dimp=ML-1T-2,物理量x的性質可由量綱指數α，β，γ來反映?！袢绂?，β，γ有一個不為零，則x為有量綱量?！袢绂?，β，γ均為零，即dimx=L0T0M0=1,則稱x為無量綱量，也稱純數?！窕玖颗c導出量適當組合可以組合成無量綱量。無量綱量有如下特點：①量綱表達式中的指數均為零；②沒有單位；③量值與所采用的單位制無關?！裼捎诨玖渴潜舜嘶ハ嗒毩⒌?，故它們之間不能組成無量綱量。,2、無量綱量量綱公式,問題1：運動粘度的量綱是：A.L/T2；B.L/T3C.L2/T；D.L3/T。問題2：速度v，長度l，重力加速度g的無量綱集合是：A.B.C.D.問題3：速度v,密度ρ,壓強p的無量綱集合是：A.B.C.D.,(C),(D),(D),3、量綱和諧量綱和諧原理：一個完整正確的物理方程，不僅其等號兩邊的數值相等，而且其中各項的量綱也一定相同。由于物理方程的量綱具有一致性，可以用任意一項去除方程兩邊，使方程每一項變?yōu)闊o量綱量，這樣原方程就變?yōu)闊o量綱方程。例如，動能方程,量綱分析法就是應用量綱和量綱和諧來探求物理現象的函數關系，即建立物理方程的一種方法。,可改寫為,又如，理想流體能量方程：,也可改寫成,量綱和諧原理的重要性：①一個方程在量綱上應是和諧的，所以可用來檢驗經驗公式的正確性和完整性。②量綱和諧原理可用來確定公式中物理量的指數。③可用來建立物理方程式的結構形式。,式中k——無量綱數；k1，k2，k3，…，kn——待定指數。設A、B、C為基本量綱，則各因素的量綱為,二、量綱分析法1、瑞利法某一物理現象，各物理量間的函數關系為,式中x1、x2、x3、…、xn和y為影響物理現象的因素。,對上式進行量綱分析，以找出諸因素之間的數學表達式。上式可寫成如下指數形式：,(i=1,2,3,…,n),dimy=AaBbCc,上式為量綱和諧方程組，解這個方程組便得到指數k1，k2，k3，…，kn的數值，但因方程組中的方程數只有三個，當待定指數kn中的指數個數n＞3時，則有（n－3）個指數需要用其它指數值的函數來表示。,,量綱表達式,由量綱和諧原理可知，等號兩邊的基本量綱的指數必須一致，所以有,A：,B：,C：,例：根據觀察、實驗和理論分析，認為總流邊界單位面積上的平均切應力τ0與流體密度ρ、動力粘度μ、平均流速v、水力半徑R以及固體表面凸出的平均高度Δ有關。若令沿程阻力系數，可得。,各物理量的量綱dimτ=ML-1T-2（dimF=MLT-2）dimρ=ML-3dimμ=ML-1T-1（μ的單位N﹒s/m2）dimv=LT-1dimR=LdimΔ=L,解：由已知條件有,指數乘積式,,,將上述指數代入原指數乘積式，得,,量綱表達式,量綱和諧方程組M：1=k1+k2L:–1=–3k1–k2+k3+k4+k5T:–2=–k2–k3,以上方程組有五個未知數，三個方程。選定k3、k5為待定。,聯立解上述方程組得k2=2–k3k1=k3–1k4=-2+k3–k5,瑞利法適用于比較簡單的物理問題。,∵μ=ρν∴,又,則可得,若令,并代入上式得,2、π定理其內容為：若物理方程f(x1，x2，…，xn)=0，含有n個物理量，其中涉及到m個基本量綱，則這個物理方程可用（n–m）個無量綱的π項的關系式來表示，即F（π1，π2，…，πn-m）=0因為這些無量綱量用π表示，所以就把這個定理稱為π定理。它首先由布金漢提出，也稱布金漢定理。,現以實例來具體說明π定理的推演過程。設影響圓球在液體中運動的阻力FD與液體的密度ρ和動力粘度μ，圓球直徑d、相對速度v等因素有關，則可得如下函數關系FD=f(ρ，v，d，μ)上式兩邊除以ρ，得,上式左邊已無質量的量綱M，由量綱和諧原理知，右邊也必須無質量的量綱M。上式可寫成,（dimFD=MLT-2,dimμ=ML-1T-1）,注：左邊量綱：[L4T-2],進一步可使上式左邊無時間量綱T，兩邊除以v2得,則π1=f(π2)或F(π1，π2)=0上式說明n=5個變量利用m=3個包含基本量綱量的乘除變換，消除m個基本量綱，便得n–m=2個無量綱的π項。,由量綱和諧原理，上式右邊也無時間的量綱。則上式可寫成,同理，可使上式無長度量綱L，得,上式中兩邊均為無量綱量，分別以π1和π2表示，即,注：左邊的量綱：[L2],應用π定理的兩點說明：（1）m個基本量綱是從n個物理量中選取m個基本物理量來代表的。一般取三個基本物理量，即m=3，要求這三個基本物理量不能組合成一個無量綱量。如用量綱公式表示基本物理量x1，x2，x3，則,三個基本物理量一般取幾何長度、流速v、密度ρ含有M、T及L量綱。,因此，x1，x2，x3不能組合成無量綱量的條件是量綱公式中指數行列式不等于零。即,（2）π項的組合除了三個基本物理量以外，每次輪換取一個物理量，組合而成。即,,式中ai、bi、ci——各π項的待定指數。這樣一共可寫出（n–3）個π項，因為各π項是無量綱量，dimπ=L0T0M0，因此，可由量綱和諧原理求出各π項的指數值。,……………………,M：0=c1+1L：0=a1+b1–3c1–1T：0=–b1–1,,例1：以上例為例，求FD的表達式。解：函數關系,或,取d、v、ρ為基本物理量，它們不能組合成一個無量綱量。μ和FD為導出量，將它們分別與基本量進行適當組合。n=5,m=3,n–m=2,有二個π項。,（1）,（2）,式（1）量綱表達式為,比較兩邊的量綱，于是有,式中CD——阻力系數，CD=f3(Re)。A——圓球與速度方向垂直的迎流投影面面積，m2,解得a2=–2，b2=–2，c2=–1。則,代入F（π1，π2）=0得,或,（）,故,上式說明阻力等于某一系數乘ρv2d2，而該系數是Re的函數。,通常,（N）,例2：實驗觀察與理論分析指出，恒定有壓管流的壓強損失Δp與管長l、直徑d、管壁粗糙度Δ、動力粘度μ、密度ρ、流速v等因素有關。試用定理求出計算壓強損失Δp的公式及沿程損失hf的公式。解：寫出函數關系式,其中,選取d、v、ρ為基本量，上述七個物理量可組合成n–m=7–3=4個無量綱π項，即π1、π2、π3和π5，且有關系式：,解方程得：a1=–2，b1=0，c1=–1a2=–1，b2=–1，c2=–1a3=0，b3=–1，c3=0a4=0，b4=–1，c4=0,量綱表達式為,則,原函數關系式可寫成,或,上式即為有壓管流中計算壓強損失的公式，如以沿程水頭hf表示，則可寫成,由大量實驗得知，Δp與管長l成正比，與管徑d成反比，因此可從函數式中提出，上式可寫成,則,令，,稱為沿程阻力系數。,π定理的解題步驟：1、選取參變量，寫出函數關系；2、選取基本量；3、寫出π的表達式；4、列出指數指數方程；5、求解指數方程；6、代入π表達式；7、組合、整理。,本章教學要求1、掌握幾何、運動、動力相似的概念的量綱、無量綱量和量綱和諧概念。2、正確理解相似準則，重點掌握佛汝德和雷諾準則。3、掌握模型試驗計算。4、掌握瑞利法和π定理的分析方法。,