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.,第3章 正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法,【本章內(nèi)容提要】 正弦電路的基本概念； 正弦量的相量表示及正弦電路的相量分析法； 正弦電路的功率及功率因數(shù)； 串聯(lián)諧振與并聯(lián)諧振； 三相電路； 互感電路與理想變壓器。,.,（1）正弦量的三要素； （2）正弦量的相量表示方法及相量圖； （3）R、L、C各元件VCR的相量形式； （4）正弦電路的相量分析法； （5）正弦電路的功率及功率因數(shù)的提高； （6） 對稱三相電源及對稱三相電路的計算。,本章內(nèi)容提要,重點：,（1）幾個同頻率正弦電壓、電流的合成只滿足相量形式合成、 瞬時值（解析式）合成，而不滿足有效值合成； （2）諧振電路的諧振條件及諧振電路的諧振特征。,難點：,.,3.1 基爾霍夫定律及支路電流分析法,正弦量：正弦電壓、電流統(tǒng)稱正弦量。 正弦量的瞬時值：一個周期內(nèi)，正弦量在不同瞬間具有不同的值，將此稱為正弦量的瞬時值，一般用小寫字母如i（t）、u（t）或i、u來表示時刻正弦電流、電壓的瞬時值。 正弦量的解析式：表示正弦量的瞬時值隨時間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式叫做正弦量的瞬時值表達(dá)式，也叫解析式，用i（t），u（t）或i、u表示。 正弦波：表示正弦量的瞬時值隨時間變化規(guī)律的圖像叫正弦量的波形。 正弦電壓u（t）、正弦電流i（t）的解析式可寫為,,,,3.1.1 正弦量的三要素,.,,設(shè)正弦交流電瞬時值的一般表達(dá)式為(即解析式),可見，每個正弦量都包含三個基本要素：最大值或幅值（Um、Im）、角頻率ω和初相位（ ψu(yù) 、 ψi ）。它們分別反映了正弦量的大小、變化的快慢及初始值三方面的特征。,u=Um sin(ωt+ψu(yù)),i=Im sin(ωt+ψi),表示正弦量的瞬時值隨時間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)式叫做正弦量的瞬時值表達(dá)式,.,是正弦量瞬時值中最大的值。一般用大寫字母加下標(biāo)m 表示。 即U m或I m,設(shè)正弦交流電流：,正弦量的三要素,正弦量瞬時值中的最大值叫振幅，也叫峰值，振幅用來反映正弦量的幅度大小。有時提及的峰-峰值是指電壓正負(fù)變化的最大范圍，即等于2U m。必須注意，振幅總是取絕對值，即正值。,1、最大值（幅值）,.,與交流電熱效應(yīng)相等的直流電定義為交流電的有效值。用大寫字母 I、U 表示。正弦量的有效值是根據(jù)它的熱效應(yīng)確定的。以正弦電流i（t）為例，流過電阻R，如果在一個周期T內(nèi)產(chǎn)生的熱量與一個直流電流i在同一電阻上產(chǎn)生的熱量相同，則定義該直流電流值為正弦電壓i（t）的有效值。據(jù)此定義有：,1）電流的有效值,W2=I 2RT,2、交流電的有效值,設(shè)電流 i(t)=Imsin(? t+?i),.,電壓的有效值：正弦電壓u（t）是定義為加在電阻R兩端的電壓，如果在一個周期T內(nèi)產(chǎn)生的熱量與一個直流電壓U加在同一電阻上產(chǎn)生的熱量相同，則定義該直流電壓值為正弦電壓u（t）的有效值。據(jù)此定義有：,2) 電壓的有效值,設(shè)：u（t）= Umsin（ωt + ? u ），則其有效值U為,.,周期:就是交流電完成一個循環(huán)所需要的時間，用字母T表示，電位為秒（s）。,2、正弦量的周期、頻率及角頻率：,頻率:單位時間內(nèi)交流電循環(huán)的次數(shù)稱為頻率，用f 表示。,由定義可知，頻率與周期互為倒數(shù)關(guān)系。,頻率的單位為1/秒，又稱赫茲（Hz），常用的單位還有kHz、MHz及GHz,角頻率ω ：角頻率ω是正弦量單位時間內(nèi)變化的電角度，單位是弧度/秒（ rad/s ）。正弦量每變化一個周期T 的電角度相當(dāng)于2π電弧度，因此角頻率ω與周期T 及頻率f 的關(guān)系如下：,.,3、相位(ωt+ψi)、初相位ψ和相位差φ ：,1)相位差φ：兩個同頻率正弦量的相位之差。如：u、i 的初相位分別為ψu(yù) 、ψi ，則 u、i 的相位差為:,初相位ψ：表示正弦量在t=0時刻的相角。其值與計時起點有關(guān)，一般用 π>ψ ≧ - π的角度來表示。規(guī)定|? |≤π。初相反映了正弦量在t = 0 時的狀態(tài)。,(ωt+ψu(yù))- (ωt+ψi)= ψu(yù) - ψi = φ,如果 φ>0,稱u超前i，或i滯后u；,設(shè)u=Um sin(ωt+ψu(yù)),,i=Im sin(ωt+ψi),φ= (ωt+ψu(yù))- (ωt+ψi)= ψu(yù) - ψi,如果φ<0,稱i超前u，或u滯后I;,則相位差:,如果φ=0,稱i與u，同相位.,注:,1、兩同頻率的正弦量之間相位差為常數(shù)，與計時起點的選擇無關(guān)。,.,φ =ψu(yù) –ψi >0電壓超前電流 ?,φ=ψu(yù) –ψi =-900 電流超前電壓900,φ=ψu(yù) –ψi =00電壓與電流同相,φ=ψu(yù) –ψi =1800電壓超前電流1800，即電壓與電流反向,幾種常見情況,.,工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如設(shè)備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。,測量中，電磁式交流電壓、電流表讀數(shù)均為有效值。,* 區(qū)分電壓、電流的瞬時值、最大值、有效值的符號。,我國和世界上大多數(shù)國家，電力工業(yè)的標(biāo)準(zhǔn)頻率即所謂的“工頻”是f = 50 Hz，其周期為0.02 s，少數(shù)國家（如美國、日本）的工頻為60 Hz。,* 有線通訊頻率：300 - 5000 Hz,* 無線通訊頻率： 30 kHz - 3×104 MHz,在其他技術(shù)領(lǐng)域中也用到各種不同的頻率，如聲音信號的頻率為20～20k Hz，廣播中頻段載波頻率為535～1605Hz，電視用的頻率以MHz計，高頻爐的頻率為200～300kHz，目前無線電波中頻率最高的是激光，其頻率可達(dá)106MHz（即1GHz）以上。,.,下圖所示給出了幾種不同計時起點的正弦電流的波形。由波形可以看出在一個周期內(nèi)正弦量的瞬時值兩次為零。,,規(guī)定：靠近計時起點最近的，并且由負(fù)值向正值變化所經(jīng)過的那個零值叫做正弦量的零值，簡稱正弦零值。正弦量初相的絕對值就是正弦零值到計時起點（坐標(biāo)原點）之間的電角度。,初相的正負(fù)這樣判斷：看正弦零值與計時起點的位置，若正弦零值在計時起點之左，則初相為正，如圖（a）所示；,若在右邊，則為負(fù)值，如圖（b）所示；,若正弦零值與計時起點重合，則初相為零，如圖（c）所示。,.,例：圖所示給出一正弦電壓的波形，試根據(jù)所給條件確定該正弦電壓的三要素，并寫出其三角函數(shù)式 。,假定此電流的為 i（t）= 20sin（50πt + ?i ）A 由圖可知正弦電流在t = 5 ms時，i = 0， 即 20sin（50π×0.005 + ?i ）= 0 因此 50π×0.005 + ? i = 0,解: 由波形圖可知：,T = (25 – 5)×2 = 40 ms = 0.04 s,角頻率,Im = 20 A,電流振幅,周期,解析式,結(jié)論,.,解： 電壓u（t）與電流i1（t）的相位差為 ? = （-180o）-（- 45o ）= - 135o＜0 所以u（t）滯后i1（t）135o 。 電壓u（t）與電流i2（t）的相位差為 ? = -180o - 60o= - 240o 如右圖所示 由于規(guī)定|?|≤π，所以u（t）與i2（t）的相位差應(yīng)為? = - 240o + 360o = 120o＞0，因此u（t）超前i2（t）120o 。,例： 已知正弦電壓、電流的解析式為 u（t）= 311sin（70 t -180o ）V i1（t）= 5 sin（70 t - 45o ）A i2（t）= 10 sin（70 t + 60o ）A 試求電壓u（t）與電流i1(t）和i2(t）的相位差并確定其超前滯后關(guān)系,,.,3.2 正弦量的相量表示,解析式（三角函數(shù)表示法）,正弦量的波形圖（正弦曲線表示法）,上面兩種表示方法都反映了正弦量的三要素，表示出正弦量的瞬時值隨時間變化的關(guān)系。,正弦量表示方法（相量表示法 ）,實際中采用的是復(fù)數(shù)表示形式,即 相量表示法,為什么正弦量可以用矢量表示？,設(shè)正弦量:,若:矢量長度 = U m,矢量與橫軸夾角 = 初相位y,則:該旋轉(zhuǎn)矢量每一瞬時在縱軸上的投影即表示相應(yīng)時刻正弦量的瞬時值。,且以角速度ω按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，,即在平面坐標(biāo)上的一個旋轉(zhuǎn)矢量可以表示出正弦量的三要素。,.,復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點一一對應(yīng)，此時復(fù)數(shù)可用點的橫縱坐標(biāo)，即復(fù)數(shù)的實部、虛部來描述；復(fù)數(shù)與復(fù)平面上帶方向的線段（復(fù)矢量）也具有一一對應(yīng)關(guān)系，此時復(fù)數(shù)可用該線段的長度和方向角，即復(fù)數(shù)的模和幅角來描述。如圖右所示直角坐標(biāo)系中，實軸（+1）和虛軸（+j）組成一個復(fù)平面，該復(fù)平面內(nèi)，點A的坐標(biāo)為（a，b），復(fù)矢量 的長度、方向角分別為r、?，則它們之間的關(guān)系為,3.2.1 復(fù)數(shù)的表示形式及運(yùn)算規(guī)則,復(fù)平面如左圖所示,下面復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)的有關(guān)知識,.,矢量可以用復(fù)數(shù)表示，所以用矢量表示的正弦量也可以用復(fù)數(shù)表示。采用復(fù)數(shù)坐標(biāo)，實軸與虛軸構(gòu)成的平面稱為復(fù)平面。,圖示中實數(shù) A=a+jb，a 為實部，b 為虛部。,3.2.1 復(fù)數(shù)的表示形式及運(yùn)算規(guī)則,其中a、b 叫做復(fù)數(shù)的實部、虛部；r、? 叫做復(fù)數(shù)的模、幅角，規(guī)定幅角|?|≤π。,a = r cos? ， b = r sin ?,.,,,,（3） 指數(shù)形式,（4）極坐標(biāo)形式,由根據(jù)歐拉公式,1、復(fù)數(shù)的表示形式,（2） 三角函數(shù)形式 A = rcos? + j rsin?,（1）代數(shù)形式 A = a + jb,其中j 叫做虛數(shù)單位，且 j2 = -1，,.,ejp/2 =j , e-jp/2 = -j, ejp= –1 故 +j, –j, -1 都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。,幾種不同? 值時的旋轉(zhuǎn)因子：,,,,I? ejq 相當(dāng)于I逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度q ，而模不變。故把 ejq 稱為旋轉(zhuǎn)因子。,.,2、復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則,復(fù)數(shù)相加或相減時，一般采用代數(shù)形式，實部、虛部分別相加減。即 A±B = （a1±a2）+（b1±b2） 復(fù)數(shù)相加或相減后，與復(fù)數(shù)相對應(yīng)的矢量亦相加或相減。在復(fù)平面上進(jìn)行加減時，其矢量滿足“平行四邊形”或“三角形”法則。,1）復(fù)數(shù)的加減法,A+B,.,復(fù)數(shù)相乘或相除時，以指數(shù)形式和極坐標(biāo)形式進(jìn)行較為方便。兩復(fù)數(shù)相乘時，模相乘，幅角相加；復(fù)數(shù)相除時，模相除，幅角相減。以極坐標(biāo)形式為例：,2）復(fù)數(shù)的乘除法,.,[例] 已知 A1=10+j5 , A2=3+j4 . 求 A1·A2 和,解：方法一,.,已知 A1=10+j5 , A2=3+j4 . 求 A1·A2 和,解：方法二,.,,,一個復(fù)數(shù)可用極坐標(biāo)形式表示為：A =,3.2.2 正弦量的相量表示,不難看出，該復(fù)數(shù)的虛部即是一個正弦電壓的解析式，而且包含了正弦電壓的三要素。因此，將其稱為對應(yīng)于正弦量的相量，表示為 。,1、正弦量的相量表示形式,則：,設(shè),可見，相量用大寫字母上面加一點表示，電壓相量用 表示，電流相量用 表示，對應(yīng)的模用有效值U和I，而一般不用振幅表示。所以，一個正弦電壓u（t），電流i（t）的解析式與其對應(yīng)的相量形式有以下關(guān)系,.,關(guān)于正弦量的相量表示，需注意以下幾點：,（3）后面關(guān)于正弦電路的分析都是采用的相量分析法。所謂相量分析法，就是把電路中的電壓、電流用相量表示，參數(shù)用復(fù)數(shù)表示，然后用相量形式進(jìn)行運(yùn)算的方法。由前面分析可知，相量分析法實際上利用了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算。,（2）若已知一個正弦量的解析式，可以由有效值及初相角兩個要素寫出其相量形式，這時角頻率 是一個已知的要素，但 不直接出現(xiàn)在相量表達(dá)式中。,.,,,,,,,正弦量的相量用復(fù)平面上一條帶方向的線段（復(fù)矢量）來表示。把畫在同一復(fù)平面上表示正弦量相量的圖稱為相量圖。,2、相量圖,2）相位的幅角以逆時針方向角度為正，順時針方向角度為負(fù)。,1）只有同頻率的正弦量，其相量圖才能畫在同一復(fù)平面上。,相量圖規(guī)定如下：,正弦量的相量表示,稱 為正弦量 i(t) 對應(yīng)的相量。,正弦量的相量表示:,相量的幅角表示正弦量的初相位,.,加一個小圓點是用來和普通的復(fù)數(shù)相區(qū)別(強(qiáng)調(diào)它與正弦量的聯(lián)系)，同時也改用“相量”，而不用“向量”，是因為它表示的不是一般意義的向量，而是表示一個正弦量。,同樣可以建立正弦電壓與相量的對應(yīng)關(guān)系：,解：,試寫出電流的瞬時值表達(dá)式。,.,相量圖相加兩種畫法如下面圖所示,第一種畫法,第二種畫法,在復(fù)平面上進(jìn)行加減時，其矢量滿足“平行四邊形”或“三角形”法則。,.,下面左圖是4個相量相加，可以看出這種頭尾相接的畫法比逐個用平行四邊形相加要好很多。,對電路進(jìn)行分析計算時一般是用相量圖與解析計算相結(jié)合。,相量相加A與B依次相接,相量相減A與相反B依次相接,.,例 寫出下列各正弦量的相量形式，并畫出相量圖。 u1（t）= 10sin（100πt + 60o ）V u2（t）= -6sin（100πt + 135o ）V u3（t）= 5cos（100πt + 60o ）V,,解：,因為 u2（t）= -6sin（100πt + 135o ）,u3（t）= 5cos（100πt + 60o = 5sin（100πt + 60o + 90o ） = 5sin（100πt + 150o ）V,=6sin（100πt + 135o –180o）=6sin（100πt - 45o ）V,其相量圖如圖所示。,.,一、電阻,相量表示：,(3)有效值關(guān)系：UR=RI,(2)相位關(guān)系：u, i 同相,特點：(1)u， i 同頻,或,(1) u, i 關(guān)系,相量圖：,3.3 電阻、電容、電感的相量模型,正弦電路中，元件上電壓與電流關(guān)系包括三個方面：頻率關(guān)系，大小關(guān)系（通常指有效值關(guān)系）和相位關(guān)系。,選取電阻元件的電壓、電流為關(guān)聯(lián)方向，根據(jù)歐姆定律有,.,瞬時功率：,波形圖及相量圖：,瞬時功率以2?交變。但始終大于零，表明電阻始終是吸收（消耗）功率。,(2) 功率,有功功率(平均功率)：,瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值,.,(3) 有效值關(guān)系： U=w LI,(2) 相位關(guān)系：?u=?i +90° (u 超前 i 90°),1) u, i 關(guān)系,特點：(1) u, i同頻,或,3.3.2 電感元件電壓、電流關(guān)系的相量形式,.,,相量形式：,感抗的物理意義：,XL=? L，稱為感抗，單位為? (歐姆),(1) 表示限制電流的能力；,(2) 感抗和頻率成正比, w =0 直流（XL=0) , w??開路；,.,波形圖：,特點： (1) p有正有負(fù),放-,儲+,儲+,放-,(2) p一周期內(nèi)正負(fù) 面積相等,2) 平均功率(有功功率)：,無功功率Q：瞬時功率的最大值,單位：var(乏) kvar,(2) 功率,(3)電感元件有的時刻是吸收電功率，有的時刻發(fā)出電功率。平均功率為零。,結(jié)論：電感元件是儲能元件，不消耗能量，只和電源進(jìn)行能量交換。,1) 瞬時功率,.,,有效值關(guān)系： IC=w CU,相位關(guān)系： i 超前 u 90°,(1) u, i 關(guān)系,3.3.2 電容元件電壓、電流關(guān)系的相量形式,方便起見設(shè)u為零相位,.,相量形式：,相量模型,令XC=1/w C， 稱為容抗，單位為 W(歐姆),頻率和容抗成反比, w ?0， |XC|?? 直流開路(隔直),w ?? ，|XC|?0 高頻短路(旁路作用),.,1) 瞬時功率,2) 平均功率,,與電感元件相似，電容元件有的時刻是吸收電功率，有的時刻發(fā)出電功率。平均功率為零。,（2）電容元件的功率,.,1) p有正有負(fù),2) p一周期內(nèi)正負(fù)面積相等,P = 0,QC=-UI 單位：var(乏) kvar,4)無功功率Q：,有功功率P,3)電容元件有的時刻是充電（吸出電功率） ，有的時刻放電。平均功率為零。,特點：,瞬時功率以2?交變，有正有 負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵消。,.,小結(jié)：,