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2019年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 1.5 公因數(shù)與最大公因數(shù)教案 滬教版五四制 知識(shí)精要： 一、課前思考： 1.現(xiàn)在小麗家要裝修新房子，小麗房間長(zhǎng)3.6米，寬2米。要求給房間鋪正方形的地磚，為了美觀，請(qǐng)問(wèn)有幾種選擇方法？用磚塊數(shù)最少時(shí)是多少塊？（提示：磚塊有這9種規(guī)格供選擇） 若改為剪紙游戲，將長(zhǎng)為36cm,寬為20cm的長(zhǎng)方形，裁成若干個(gè)正方形，要求沒(méi)有制片剩余，最少可裁處多少個(gè)正方形？ 二．公因數(shù)與最大公因數(shù)的概念： 其實(shí)我們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)涉及到公因數(shù)，只是沒(méi)有進(jìn)行歸納。 概念：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，就叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大一個(gè)稱為這些數(shù)的最大公因數(shù). 例1、下列各組數(shù)的最大公因數(shù)： ①17和51 ②23和32 ③24和60 ④13和52 ⑤4和9 通過(guò)上面的運(yùn)算，我們可以發(fā)現(xiàn)：⑴ 像①、②和④，如果其中一個(gè)數(shù)為素?cái)?shù)，他們的最大公因數(shù)要么是1，要么是這個(gè)素?cái)?shù)本身，道理很好理解。也就是說(shuō)只要另外一個(gè)數(shù)能整除這個(gè)素?cái)?shù)，那么他們的最大公因數(shù)就是這個(gè)素?cái)?shù)，不然，最大公因數(shù)就是1. ⑵ 像③和⑤這樣兩個(gè)數(shù)都是合數(shù)的，情況又不一樣。通過(guò)列舉⑤比較好列舉，但是像③的話，比較復(fù)雜,用列舉法比較容易遺漏。下面介紹另外兩種方法： 方法一：分別把24和60分解素因數(shù)得：24= 60= 則他們的最大公因數(shù)是這些公素因數(shù)的乘積，即=12 使用這個(gè)方法時(shí)注意把相同的素因數(shù)對(duì)齊。 方法二：用短除法， 2|24 60 、、、、、、用公有的素因數(shù)2除 2|12 30 、、、、、、再用第一次商公有的素因數(shù)2除 3|6 15 、、、、、、再用上一步商公有的素因數(shù)3除 2 5 、、、、、、除到兩個(gè)商的最大公因數(shù)為1為止 把所有的除數(shù)乘起來(lái)，就得到24和60的最大公因數(shù)，為=12。 互素的概念:公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)叫互素。 互素的要點(diǎn)：1、互素是指兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，與素?cái)?shù)沒(méi)有互為因果的聯(lián)系，也就是說(shuō) 兩個(gè)數(shù)不一定都是素?cái)?shù)； 例1、下列說(shuō)法中，正確的是（ ） ①2是4和6的一個(gè)公因數(shù)； ②12是24和36的最大公因數(shù) ③如果兩個(gè)數(shù)互素，那么這兩個(gè)數(shù)一定是素?cái)?shù)；④1和任何正整數(shù)互素。 1、在以下四種情況下可以直接判斷兩個(gè)數(shù)互素：①兩個(gè)不同的素?cái)?shù)互素；②1和任何整數(shù)都互素；③兩個(gè)相鄰的數(shù)互素；④一個(gè)素?cái)?shù)與一個(gè)合數(shù)如果沒(méi)有倍數(shù)的關(guān)系，則他們互素。 例2、判斷下列各組數(shù)是否互素？ 9和12；27和28；7和22；11和121；13和29 例3、1,11,14,16能組成幾對(duì)互素？ 求最大公因數(shù)的方法：①分別列出兩個(gè)數(shù)的因數(shù)，再?gòu)闹姓页龉驍?shù)中最大的一個(gè)。缺點(diǎn)計(jì)算量大，且容易漏情況； ②分解素因數(shù)法：把兩個(gè)數(shù)分解素因數(shù)，把他們相同的素因數(shù)相乘，及最大公因數(shù)； ③短除法：用兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)去除，除到商互素為止，所有除數(shù)的乘積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。 ④特征法：如果兩個(gè)數(shù)互素，那么他們的的最大公因數(shù)為1；如果較小的數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)，則其最大公因數(shù)是較小的數(shù) 例3、求18和42的最大公因數(shù)。 例4、求25與50的最大公因數(shù)。 精解名題 例1、用短除法求下列各數(shù)的最大公因數(shù)： (1) 12和30 (2) 24和36 (3)39和78 (4)72和84 (5)45和60 (6)45和75 例2、用某數(shù)去除218，170，290都余2，問(wèn)某數(shù)最大是多少？ 例3、有一個(gè)長(zhǎng)方體大塊，長(zhǎng)60厘米，寬40厘米，高24厘米，如果要切成同樣大小的小正方體，這些正方體的棱長(zhǎng)最長(zhǎng)是多少厘米？ 備選例題 例1、有一個(gè)質(zhì)數(shù),是兩個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù),兩個(gè)數(shù)字之和是8,兩個(gè)數(shù)字之差是2,那么這個(gè)質(zhì)數(shù)是幾? 鞏固練習(xí)： 一、選擇： 1.下列各組數(shù)中，不是互素的是：（ ） A．12和25 ； B.63和30 ； C.101和100 ； D.53和61. 2.8是32和48的 （ ） A.最大公因數(shù) ； B.最小公倍數(shù) ； C.公因數(shù) ； D.互素. 3.甲數(shù)是乙數(shù)的15倍，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是 （ ） A．15 ； B.甲數(shù) ； C.乙數(shù) ； D.甲數(shù)乙數(shù). 4.幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是12，這些數(shù)的全部公因數(shù)是（ ） A．1，2，3，12 ； B.2，3，4，6； C.2，3，4，6，12； D.1，2，3，4，6，12. 二、填空： 1.12和18的全部公因數(shù)有： ，最大公因數(shù)為： . 2.A=，B=，A和B的最大公因數(shù)是： . 3.2,3,16,18四個(gè)數(shù)可以組成 對(duì)互素. 4.先分別把下面兩個(gè)數(shù)分解素因數(shù)，再求他們的最大公因數(shù). 21= ；39= .21和39的最大公因數(shù)為： . 5.甲數(shù)=，乙數(shù)=，甲數(shù)和乙數(shù)最大的公因數(shù)是21，則A最小可取 ，B= . 2 | A B 6.根據(jù)短除法計(jì)算并填空： 5 | 15 4 3 A和B分別是 ；A和B的最大公因數(shù)是 . 三、簡(jiǎn)答： 1.求出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)，并指出哪些是互素. ①2和6 ②12和18 ③27和51 ④28和14 ⑤32和56 ⑥17和32 2.有A，B，C，D四個(gè)數(shù)，已知A、C的最大公因數(shù)是72，B、D的最大公因數(shù)是90，這四個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是多少？ 3、已知兩個(gè)數(shù)的和是60，它們的最大公因數(shù)是15，試求這兩個(gè)數(shù). 應(yīng)用題 例1、有三根鐵絲，一根長(zhǎng)18米，一根長(zhǎng)24米，一根長(zhǎng)30米?，F(xiàn)在要把它們截成同樣長(zhǎng)的小段。每段最長(zhǎng)可以有幾米？一共可以截成多少段？ 例2、一張長(zhǎng)方形紙，長(zhǎng)60厘米，寬36厘米，要把它截成同樣大小的長(zhǎng)方形，并使它們的面積盡可能大，截完后又正好沒(méi)有剩余，正方形的邊長(zhǎng)可以是多少厘米？能截多少個(gè)正方形？ 例3、用96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束.若每個(gè)花束里的紅玫瑰花的朵數(shù)相同，白玫瑰花的朵數(shù)也相同，最多可以做多少個(gè)花束？每個(gè)花束里至少要有幾朵花？ 三、探究題： 1.如果正整數(shù)n能使也是整數(shù)，那么這樣的正整數(shù)n有多少個(gè)？ 自我檢測(cè)： 1.請(qǐng)用至少兩種辦法求下列各組數(shù)的最大公因數(shù). ①8和9 ②9和18 ③17和51 ④7和13 ⑤27和9 ⑥14和15 2.求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)： ①8，12和24 ②14，21和35 ③18,20和28 ④17,51和102 3.下列每一組數(shù)有沒(méi)有公因數(shù)2？有沒(méi)有公因數(shù)3？有沒(méi)有公因數(shù)5？ （1）9和15 （2）12和24 （3）18和54 （4）60和75 4.幼兒園的大班有36個(gè)小朋友，中班有48個(gè)小朋友，小班有54個(gè)小朋友。按班分組，三個(gè)班的各組人數(shù)一樣多，問(wèn)每組最多有（ ）個(gè)小朋友. 5.蔣老師家的電話號(hào)碼為一個(gè)7位數(shù)，從左到右7個(gè)號(hào)碼依次是： ①最小的素?cái)?shù)； ②最小的正數(shù)； ③最小的奇素?cái)?shù)； ④偶素?cái)?shù) ⑤因數(shù)只有3個(gè)的偶數(shù)；⑥6和12的最大公因數(shù)；⑦最小的自然數(shù). 蔣老師的電話號(hào)碼是 . 6.附加題 小李家裝修新房子，廚房是長(zhǎng)為4米，寬為2.4米的長(zhǎng)方形，準(zhǔn)備用整塊的方形地磚鋪滿廚房地面。市場(chǎng)上地磚有2030（單價(jià)：3.0元/塊），3030（單價(jià)：4.8元/塊），4040（單價(jià)：7.4元/塊），6060（單價(jià)：厘米厘米）的四種尺寸，小李家既想選用較大尺寸的，還希望價(jià)廉物美，你能幫助他挑選最合適的一種嗎？ 小學(xué)教育資料 好好學(xué)習(xí)，天天向上！ 第 6 頁(yè) 共 6 頁(yè)