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提分專練(四)　二次函數(shù)小綜合 |類型1|　二次函數(shù)與其他函數(shù)的綜合 1.如圖T4-1,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),二次函數(shù)y=ax2+bx(a≠0),一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)以及反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,其中一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象還交于另一點(diǎn)B,且一次函數(shù)的圖象與x軸,y軸分別交于點(diǎn)C,D.若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=2,有下列結(jié)論:①b=-4a;②a+b>k;③8a+4b>k;④a+2b>4k.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 (　　) 圖T4-1 A.1 B.2 C.3 D.4 2.如圖T4-2,曲線BC是反比例函數(shù)y=kx(4≤x≤6)圖象的一部分,其中B(4,1-m),C(6,-m),拋物線y=-x2+2bx的頂點(diǎn)記作A. (1)求k的值. (2)判斷點(diǎn)A是否可與點(diǎn)B重合. (3)若拋物線與曲線BC有交點(diǎn),求b的取值范圍. 圖T4-2 |類型2|　二次函數(shù)與幾何圖形綜合 3.[xx岳陽(yáng)] 已知拋物線F:y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,且與x軸另一交點(diǎn)為-33,0. (1)求拋物線F的表達(dá)式. (2)如圖T4-3①,直線l:y=33x+m(m>0)與拋物線F相交于點(diǎn)A(x1,y1)和點(diǎn)B(x2,y2)(點(diǎn)A在第二象限),求y2-y1的值(用含m的式子表示). (3)在(2)中,若m=43,設(shè)點(diǎn)A是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn),如圖T4-3②. ①判斷△AAB的形狀,并說(shuō)明理由. ②平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A,B,A,P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 圖T4-3 4.[xx益陽(yáng)] 如圖T4-4,已知拋物線y=12x2-32x-n(n>0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊),與y軸交于點(diǎn)C. (1)如圖①,若△ABC為直角三角形,求n的值; (2)如圖①,在(1)的條件下,點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上,若以BC為邊,以點(diǎn)B,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)P的坐標(biāo); (3)如圖②,過(guò)點(diǎn)A作直線BC的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E,若AE∶ED=1∶4,求n的值. 圖T4-4 5.[xx張家界] 如圖T4-5,已知二次函數(shù)y=ax2+1(a≠0,a為實(shí)數(shù))的圖象過(guò)點(diǎn)A(-2,2),一次函數(shù)y=kx+b(k≠0,k,b為實(shí)數(shù))的圖象l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0,2). (1)求a的值并寫出二次函數(shù)的表達(dá)式; (2)求b的值; (3)設(shè)直線l與二次函數(shù)的圖象交于M,N兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作MC垂直x軸于點(diǎn)C,試證明:MB=MC; (4)在(3)的條件下,請(qǐng)判斷以線段MN為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由. 圖T4-5  參考答案 1.B　[解析] 對(duì)稱軸為直線x=-b2a=2, ∴b=-4a,故結(jié)論①正確; ∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A, ∴x=1時(shí),a+b=k,故結(jié)論②錯(cuò)誤; 由圖象可知,4a+2b>k2,∴8a+4b>k,故結(jié)論③正確; a+2b=-b4+2b=74b,4k=4(a+b)=4-b4+b=3b,∵二次函數(shù)圖象開口向下,∴a<0,∴b=-4a>0,∴74b<3b,∴a+2b<4k,故結(jié)論④錯(cuò)誤. 2.解:(1)∵B(4,1-m),C(6,-m)在反比例函數(shù)y=kx的圖象上, ∴k=4(1-m)=6(-m),∴解得m=-2,∴k=4[1-(-2)]=12. (2)∵m=-2,∴B(4,3), ∵拋物線y=-x2+2bx=-(x-b)2+b2,∴A(b,b2). 若點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,則有b=4,且b2=3,顯然不成立,∴點(diǎn)A不與點(diǎn)B重合. (3)當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,3)時(shí),有3=-42+2b4,解得b=198, 顯然拋物線右半支經(jīng)過(guò)點(diǎn)B; 當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(6,2)時(shí),有2=-62+2b6,解得b=196, 這時(shí)仍然是拋物線右半支經(jīng)過(guò)點(diǎn)C. 故b的取值范圍為198≤b≤196. 3.[解析] (1)將(0,0)和-33,0代入y=x2+bx+c,解出b和c即可. (2)首先聯(lián)立y=33x+m與y=x2+33x,解出x1和x2,然后將x1和x2分別代入y=33x+m,解出y1和y2,進(jìn)而得出結(jié)果. (3)①首先根據(jù)題意得出A的坐標(biāo),進(jìn)而得出AB的長(zhǎng)度,根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)得出OA的長(zhǎng)度,進(jìn)而得出AA,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義得出sinA,進(jìn)而得出∠A的度數(shù),進(jìn)而得出△AAB的形狀; ②分別以AA,AB和AB為菱形的對(duì)角線,根據(jù)菱形的性質(zhì)得出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可. 解:(1)根據(jù)題意,得 c=0,13-33b+c=0,解得b=33,c=0, ∴拋物線F的表達(dá)式為y=x2+33x. (2)聯(lián)立y=33x+m與y=x2+33x, 解得x1=-m,x2=m, ∴y1=33x1+m=-3m3+m,y2=33x2+m=3m3+m, ∴y2-y1=3m3+m--3m3+m=23m3. (3)①△AAB是等邊三角形.理由:當(dāng)m=43時(shí),x1=-233,x2=233, ∴y1=23,y2=2, ∴A-233,23,B233,2. ∵點(diǎn)A與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, ∴A233,-23, ∴AB=2--23=83. ∵OA=(-233)2+(23)2=43, ∴OA=43, ∴AA=83, ∴AB=AA. ∵點(diǎn)A到BA的距離d=233+233=433, ∴sinA=dAA=43383=32, ∴∠A=60, ∴△AAB是等邊三角形. ②存在. 若以AA為菱形的對(duì)角線,則點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為-233,-2; 若以AB為菱形的對(duì)角線,則點(diǎn)P為將點(diǎn)A向右移動(dòng)2d個(gè)單位長(zhǎng)度得到的點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為23,23; 若以AB為菱形的對(duì)角線,則點(diǎn)P為將點(diǎn)A向上移動(dòng)AB個(gè)單位長(zhǎng)度得到的點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為-233,103. 綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為-233,-2或23,23或-233,103. 4.[解析] (1)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可求出n的值; (2)因?yàn)橐訠C為邊,所以PQ∥BC,PQ∥BC可分為點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè)和點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)兩種情況; (3)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸,垂足為F,構(gòu)造△ADF∽△BCO,利用三角形相似,結(jié)合點(diǎn)A和點(diǎn)D在拋物線上列方程組求解. 解:(1)若△ABC為直角三角形,則OC2=OAOB. 由拋物線y=12x2-32x-n(n>0),可得 OC=n,OAOB=2n, ∴n2=2n,解得n1=2,n2=0(舍去), ∴n=2. (2)由(1)可知拋物線的表達(dá)式為y=12x2-32x-2,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=32. 令y=0,得x1=-1,x2=4, ∴A(-1,0),B(4,0). 設(shè)點(diǎn)Pm,12m2-32m-2, 當(dāng)直線PQ∥BC,點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)(如圖所示), △BOC平移到△QNP的位置時(shí),四邊形PQBC為平行四邊形, 此時(shí)NQ=OB,即32-m=4,則m=-52, 則12m2-32m-2=398, 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為-52,398; 當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)(如圖所示), 同理可得m-32=4,即m=112, 則12m2-32m-2=398, 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為112,398. 綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為-52,398,112,398. (3)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸,垂足為F.如圖, 則AO∶OF=AE∶ED=1∶4. 設(shè)A(a,0),B(b,0), 則AO=-a,OF=-4a. ∵AD∥BC, ∴∠OBC=∠DAO. ∵∠BOC=∠AFD=90, ∴△BOC∽△AFD, ∴OCDF=BOAF, 即nDF=b-4a-a, ∴nDF=b-5a. 由題意得ab=-2n,∴nb=-a2, ∴DF=-5anb=-5a-a2=52a2. ∵點(diǎn)A,D在拋物線上, ∴12a2-32a-n=0,1216a2-32(-4a)-n=52a2, 解得a=-32,n=278, ∴n的值為278. 5.[解析] (1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的表達(dá)式,即可求出a的值,進(jìn)而得到二次函數(shù)的表達(dá)式. (2)將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的表達(dá)式,即可求出b的值. (3)過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E,設(shè)Mx,14x2+1,進(jìn)而用含x的式子分別表示MB和MC. (4)過(guò)點(diǎn)N作ND⊥x軸于點(diǎn)D,取MN的中點(diǎn)為P,過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)N作NH⊥MC于點(diǎn)H,交PF于點(diǎn)G.根據(jù)(3)知NB=ND,通過(guò)等量代換,得出PF=12MN. 解:(1)根據(jù)題意,得2=a(-2)2+1, 解得a=14,∴y=14x2+1. (2)根據(jù)題意,得2=k0+b,解得b=2. (3)證明:如圖,過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E. 設(shè)Mx,14x2+1,則MC=14x2+1, ∴ME=|x|,EB=14x2+1-2=14x2-1. ∵M(jìn)B=ME2+EB2=x2+(14x2-1)2=x2+116x4-12x2+1 =116x4+12x2+1=14x2+1, ∴MB=MC. (4)相切.理由如下: 如圖,過(guò)點(diǎn)N作ND⊥x軸于D,取MN的中點(diǎn)為P,過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)N作NH⊥MC于點(diǎn)H,交PF于點(diǎn)G. 由(3)知NB=ND, ∴MN=NB+MB=ND+MC. ∵PG=12MH,ND=GF=HC,PF=PG+GF, ∴2PF=2PG+2GF =MH+ND+HC =ND+MC, ∴PF=12MN, ∴以線段MN為直徑的圓與x軸相切.