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xx中考數(shù)學試題分類匯編：考點31 弧長和扇形面積 一．選擇題（共17小題） 1．（xx?臺灣）如圖，△ABC中，D為BC的中點，以D為圓心，BD長為半徑畫一弧交AC于E點，若∠A=60，∠B=100，BC=4，則扇形BDE的面積為何？（　?。? A． B． C． D． 【分析】求出扇形的圓心角以及半徑即可解決問題； 【解答】解：∵∠A=60，∠B=100， ∴∠C=180﹣60﹣100=20， ∵DE=DC， ∴∠C=∠DEC=20， ∴∠BDE=∠C+∠DEC=40， ∴S扇形DBE==π． 故選：C． 　 2．（xx?黃石）如圖，AB是⊙O的直徑，點D為⊙O上一點，且∠ABD=30，BO=4，則的長為（　?。? A． B． C．2π D． 【分析】先計算圓心角為120，根據(jù)弧長公式=，可得結(jié)果． 【解答】解：連接OD， ∵∠ABD=30， ∴∠AOD=2∠ABD=60， ∴∠BOD=120， ∴的長==， 故選：D． 　 3．（xx?廣安）如圖，已知⊙O的半徑是2，點A、B、C在⊙O上，若四邊形OABC為菱形，則圖中陰影部分面積為（　?。? A．π﹣2 B．π﹣ C．π﹣2 D．π﹣ 【分析】連接OB和AC交于點D，根據(jù)菱形及直角三角形的性質(zhì)先求出AC的長及∠AOC的度數(shù)，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面積，則由S菱形ABCO﹣S扇形AOC可得答案． 【解答】解：連接OB和AC交于點D，如圖所示： ∵圓的半徑為2， ∴OB=OA=OC=2， 又四邊形OABC是菱形， ∴OB⊥AC，OD=OB=1， 在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD==，AC=2CD=2， ∵sin∠COD==， ∴∠COD=60，∠AOC=2∠COD=120， ∴S菱形ABCO=OBAC=22=2， S扇形AOC==， 則圖中陰影部分面積為S菱形ABCO﹣S扇形AOC=π﹣2， 故選：C． 　 4．（xx?自貢）已知圓錐的側(cè)面積是8πcm2，若圓錐底面半徑為R（cm），母線長為l（cm），則R關(guān)于l的函數(shù)圖象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形、扇形面積公式列出關(guān)系式，根據(jù)反比例函數(shù)圖象判斷即可． 【解答】解：由題意得，2πRl=8π， 則R=， 故選：A． 　 5．（xx?淄博）如圖，⊙O的直徑AB=6，若∠BAC=50，則劣弧AC的長為（　?。? A．2π B． C． D． 【分析】先連接CO，依據(jù)∠BAC=50，AO=CO=3，即可得到∠AOC=80，進而得出劣弧AC的長為=． 【解答】解：如圖，連接CO， ∵∠BAC=50，AO=CO=3， ∴∠ACO=50， ∴∠AOC=80， ∴劣弧AC的長為=， 故選：D． 　 6．（xx?德州）如圖，從一塊直徑為2m的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為90的扇形，則此扇形的面積為（　?。? A． 2 B． C．πm2 D．2πm2 【分析】連接AC，根據(jù)圓周角定理得出AC為圓的直徑，解直角三角形求出AB，根據(jù)扇形面積公式求出即可． 【解答】解： 連接AC， ∵從一塊直徑為2m的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為90的扇形，即∠ABC=90， ∴AC為直徑，即AC=2m，AB=BC， ∵AB2+BC2=22， ∴AB=BC=m， ∴陰影部分的面積是=（m2）， 故選：A． 　 7．（xx?成都）如圖，在?ABCD中，∠B=60，⊙C的半徑為3，則圖中陰影部分的面積是（　　） A．π B．2π C．3π D．6π 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以求得∠C的度數(shù)，然后根據(jù)扇形面積公式即可求得陰影部分的面積． 【解答】解：∵在?ABCD中，∠B=60，⊙C的半徑為3， ∴∠C=120， ∴圖中陰影部分的面積是： =3π， 故選：C． 　 8．（xx?綿陽）如圖，蒙古包可近似地看作由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個底面圓面積為25πm2，圓柱高為3m，圓錐高為2m的蒙古包，則需要毛氈的面積是（　　） A．（30+5）πm2 B．40πm2 C．（30+5）πm2 D．55πm2 【分析】利用圓的面積得到底面圓的半徑為5，再利用勾股定理計算出母線長，接著根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形和圓柱的側(cè)面展開圖為矩形計算它們的側(cè)面積，最后求它們的和即可． 【解答】解：設(shè)底面圓的半徑為R， 則πR2=25π，解得R=5， 圓錐的母線長==， 所以圓錐的側(cè)面積=?2π?5?=5π； 圓柱的側(cè)面積=2π?5?3=30π， 所以需要毛氈的面積=（30π+5π）m2． 故選：A． 　 9．（xx?十堰）如圖，扇形OAB中，∠AOB=100，OA=12，C是OB的中點，CD⊥OB交于點D，以O(shè)C為半徑的交OA于點E，則圖中陰影部分的面積是（　?。? A．12π+18 B．12π+36 C．6 D．6 【分析】連接OD、AD，根據(jù)點C為OA的中點可得∠CDO=30，繼而可得△ADO為等邊三角形，求出扇形AOD的面積，最后用扇形AOB的面積減去扇形COE的面積，再減去S空白ADC即可求出陰影部分的面積． 【解答】解：如圖，連接OD，AD， ∵點C為OA的中點， ∴OC=OA=OD， ∵CD⊥OA， ∴∠CDO=30，∠DOC=60， ∴△ADO為等邊三角形，OD=OA=12，OC=CA=6， ∴CD=，6， ∴S扇形AOD==24π， ∴S陰影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形AOD﹣S△COD） =﹣﹣（24π﹣66） =18+6π． 故選：C． 　 10．（xx?遵義）若要用一個底面直徑為10，高為12的實心圓柱體，制作一個底面和高分別與圓柱底面半徑和高相同的圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為（　?。? A．60π B．65π C．78π D．120π 【分析】直接得出圓錐的母線長，再利用圓錐側(cè)面及求法得出答案． 【解答】解：由題意可得：圓錐的底面半徑為5，母線長為： =13， 該圓錐的側(cè)面積為：π513=65π． 故選：B． 　 11．（xx?山西）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為2，以點A為圓心，以AC長為半徑畫弧交AB的延長線于點E，交AD的延長線于點F，則圖中陰影部分的面積為（　?。? A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8 【分析】利用對稱性可知：陰影部分的面積=扇形AEF的面積﹣△ABD的面積． 【解答】解：利用對稱性可知：陰影部分的面積=扇形AEF的面積﹣△ABD的面積=﹣42=4π﹣4， 故選：A． 　 12．（xx?沈陽）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于O，AB=2，則的長是（　?。? A．π B．π C．2π D．π 【分析】連接OA、OB，求出∠AOB=90，根據(jù)勾股定理求出AO，根據(jù)弧長公式求出即可． 【解答】解：連接OA、OB， ∵正方形ABCD內(nèi)接于O， ∴AB=BC=DC=AD， ∴===， ∴∠AOB=360=90， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2， 解得：AO=2， ∴的長為=π， 故選：A． 　 13．（xx?遂寧）已知圓錐的母線長為6，將其側(cè)面沿著一條母線展開后所得扇形的圓心角為120，則該扇形的面積是（　　） A．4π B．8π C．12π D．16π 【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式計算． 【解答】解：該扇形的面積==12π． 故選：C． 　 14．（xx?廣西）如圖，分別以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形是萊洛三角形，若AB=2，則萊洛三角形的面積（即陰影部分面積）為（　?。? A． B． C．2 D．2 【分析】萊洛三角形的面積是由三塊相同的扇形疊加而成，其面積=三塊扇形的面積相加，再減去兩個等邊三角形的面積，分別求出即可． 【解答】解：過A作AD⊥BC于D， ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60， ∵AD⊥BC， ∴BD=CD=1，AD=BD=， ∴△ABC的面積為=， S扇形BAC==π， ∴萊洛三角形的面積S=3π﹣2=2π﹣2， 故選：D． 　 15．（xx?東陽市模擬）已知一個圓錐的底面半徑為3cm，母線長為10cm，則這個圓錐的側(cè)面積為（　　） A．30πcm2 B．50πcm2 C．60πcm2 D．3πcm2 【分析】圓錐的側(cè)面積=底面周長母線長2，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解． 【解答】解：圓錐的側(cè)面積=2π3102=30π． 故選：A． 　 16．（xx?陵城區(qū)二模）一塊等邊三角形的木板，邊長為1，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾（如圖），那么B點從開始至結(jié)束所走過的路徑長度為（　?。? A． B． C．4 D．2+ 【分析】根據(jù)題目的條件和圖形可以判斷點B分別以C和A為圓心CB和AB為半徑旋轉(zhuǎn)120，并且所走過的兩路徑相等，求出一個乘以2即可得到． 【解答】解：如圖：BC=AB=AC=1， ∠BCB′=120， ∴B點從開始至結(jié)束所走過的路徑長度為2弧BB′=2=， 故選：B． 　 17．（xx?明光市二模）如圖，AB與⊙O相切于點B，OA=2，∠OAB=30，弦BC∥OA，則劣弧的長是（　?。? A． B． C． D． 【分析】連接OB，OC，由AB為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到△AOB為直角三角形，根據(jù)30度所對的直角邊等于斜邊的一半，由OA求出OB的長，且∠AOB=60，再由BC與OA平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠OBC=60，又OB=OC，得到△BOC為等邊三角形，確定出∠BOC=60，利用弧長公式即可求出劣弧BC的長． 【解答】解：連接OB，OC， ∵AB為圓O的切線， ∴∠ABO=90， 在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30， ∴OB=1，∠AOB=60， ∵BC∥OA， ∴∠OBC=∠AOB=60， 又OB=OC， ∴△BOC為等邊三角形， ∴∠BOC=60， 則劣弧長為=π． 故選：B． 　 二．填空題（共18小題） 18．（xx?連云港）一個扇形的圓心角是120．它的半徑是3cm．則扇形的弧長為　2π　cm． 【分析】根據(jù)弧長公式可得結(jié)論． 【解答】解：根據(jù)題意，扇形的弧長為=2π， 故答案為：2π 　 19．（xx?郴州）如圖，圓錐的母線長為10cm，高為8cm，則該圓錐的側(cè)面展開圖（扇形）的弧長為　12π　cm．（結(jié)果用π表示） 【分析】根據(jù)圓錐的展開圖為扇形，結(jié)合圓周長公式的求解． 【解答】解：設(shè)底面圓的半徑為rcm， 由勾股定理得：r==6， ∴2πr=2π6=12π， 故答案為：12π． 　 20．（xx?安順）如圖，C為半圓內(nèi)一點，O為圓心，直徑AB長為2cm，∠BOC=60，∠BCO=90，將△BOC繞圓心O逆時針旋轉(zhuǎn)至△B′OC′，點C′在OA上，則邊BC掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為　π　cm2． 【分析】根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出兩個扇形的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)扇形的面積公式進行計算即可得出答案． 【解答】解：∵∠BOC=60，△B′OC′是△BOC繞圓心O逆時針旋轉(zhuǎn)得到的， ∴∠B′OC′=60，△BCO=△B′C′O， ∴∠B′OC=60，∠C′B′O=30， ∴∠B′OB=120， ∵AB=2cm， ∴OB=1cm，OC′=， ∴B′C′=， ∴S扇形B′OB==π， S扇形C′OC==， ∵ ∴陰影部分面積=S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC=S扇形B′OB﹣S扇形C′OC=π﹣=π； 故答案為：π． 　 21．（xx?荊門）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＜AD，∠D=30，CD=4，以AB為直徑的⊙O交BC于點E，則陰影部分的面積為　?。? 【分析】連接半徑和弦AE，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得：∠AEB=90，可得AE和BE的長，所以圖中弓形的面積為扇形OBE的面積與△OBE面積的差，因為OA=OB，所以△OBE的面積是△ABE面積的一半，可得結(jié)論． 【解答】解：連接OE、AE， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠AEB=90， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD=4，∠B=∠D=30， ∴AE=AB=2，BE==2， ∵OA=OB=OE， ∴∠B=∠OEB=30， ∴∠BOE=120， ∴S陰影=S扇形OBE﹣S△BOE， =﹣， =﹣， =﹣， 故答案為：﹣． 　 22．（xx?重慶）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，以點B為圓心，以AB為半徑畫弧，交對角線BD于點E，則圖中陰影部分的面積是　8﹣2π?。ńY(jié)果保留π） 【分析】根據(jù)S陰=S△ABD﹣S扇形BAE計算即可； 【解答】解：S陰=S△ABD﹣S扇形BAE=44﹣=8﹣2π， 故答案為8﹣2π． 　 23．（xx?重慶）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交AB于點E，圖中陰影部分的面積是　6﹣π　（結(jié)果保留π）． 【分析】用矩形的面積減去四分之一圓的面積即可求得陰影部分的面積． 【解答】解：∵矩形ABCD， ∴AD=2， ∴S陰影=S矩形﹣S四分之一圓=23﹣π22=6﹣π， 故答案為：6﹣π 　 24．（xx?聊城）用一塊圓心角為216的扇形鐵皮，做一個高為40cm的圓錐形工件（接縫忽略不計），那么這個扇形鐵皮的半徑是　50　cm． 【分析】設(shè)這個扇形鐵皮的半徑為Rcm，圓錐的底面圓的半徑為rcm，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．和弧長公式得到2πr=，解得r=R，然后利用勾股定理得到402+（R）2=R2，最后解方程即可． 【解答】解：設(shè)這個扇形鐵皮的半徑為Rcm， 圓錐的底面圓的半徑為rcm， 根據(jù)題意得2πr=，解得r=R， 因為402+（R）2=R2，解得R=50． 所以這個扇形鐵皮的半徑為50cm． 故答案為50． 　 25．（xx?煙臺）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，點M為AF中點，以點O為圓心，以O(shè)M的長為半徑畫弧得到扇形MON，點N在BC上；以點E為圓心，以DE的長為半徑畫弧得到扇形DEF，把扇形MON的兩條半徑OM，ON重合，圍成圓錐，將此圓錐的底面半徑記為r1；將扇形DEF以同樣方法圍成的圓錐的底面半徑記為r2，則r1：r2=?。??。? 【分析】根據(jù)題意正六邊形中心角為120且其內(nèi)角為120．求出兩個扇形圓心角，表示出扇形半徑即可． 【解答】解：連OA 由已知，M為AF中點，則OM⊥AF ∵六邊形ABCDEF為正六邊形 ∴∠AOM=30 設(shè)AM=a ∴AB=AO=2a，OM= ∵正六邊形中心角為60 ∴∠MON=120 ∴扇形MON的弧長為： a 則r1=a 同理：扇形DEF的弧長為： 則r2= r1：r2= 故答案為：：2 　 26．（xx?永州）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，1），以點O為旋轉(zhuǎn)中心，將點A逆時針旋轉(zhuǎn)到點B的位置，則的長為　?。? 【分析】由點A（1，1），可得OA==，點A在第一象限的角平分線上，那么∠AOB=45，再根據(jù)弧長公式計算即可． 【解答】解：∵點A（1，1）， ∴OA==，點A在第一象限的角平分線上， ∵以點O為旋轉(zhuǎn)中心，將點A逆時針旋轉(zhuǎn)到點B的位置， ∴∠AOB=45， ∴的長為=． 故答案為． 　 27．（xx?鹽城）如圖，圖1是由若干個相同的圖形（圖2）組成的美麗圖案的一部分，圖2中，圖形的相關(guān)數(shù)據(jù)：半徑OA=2cm，∠AOB=120．則圖2的周長為　　cm（結(jié)果保留π）． 【分析】先根據(jù)圖1確定：圖2的周長=2個的長，根據(jù)弧長公式可得結(jié)論． 【解答】解：由圖1得：的長+的長=的長 ∵半徑OA=2cm，∠AOB=120 則圖2的周長為： = 故答案為：． 　 28．（xx?溫州）已知扇形的弧長為2π，圓心角為60，則它的半徑為　6　． 【分析】根據(jù)弧長公式直接解答即可． 【解答】解：設(shè)半徑為r， 2， 解得：r=6， 故答案為：6 　 29．（xx?香坊區(qū)）如圖，點A、B、C是⊙O上的點，且∠ACB=40，陰影部分的面積為2π，則此扇形的半徑為　3?。? 【分析】先根據(jù)圓周角定理求出∠AOB=80，已知了∠AOB的度數(shù)和陰影部分的面積，可根據(jù)扇形面積公式直接求出扇形的半徑長． 【解答】解：∵在⊙O上，∠ACB=40， ∴∠AOB=2∠ACB=80， ∴此扇形的半徑為： =3． 故答案為：3． 　 30．（xx?白銀）如圖，分別以等邊三角形的每個頂點為圓心、以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為勒洛三角形．若等邊三角形的邊長為a，則勒洛三角形的周長為　πa　． 【分析】首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠C=60，AB=BC=CA=a，再利用弧長公式求出的長=的長=的長==，那么勒洛三角形的周長為3=πa． 【解答】解：如圖．∵△ABC是等邊三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60，AB=BC=CA=a， ∴的長=的長=的長==， ∴勒洛三角形的周長為3=πa． 故答案為πa． 　 31．（xx?黑龍江）用一塊半徑為4，圓心角為90的扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則此圓錐的高為　?。? 【分析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長和弧長公式得到2πr=，然后求出r后利用勾股定理計算圓錐的高． 【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r， 根據(jù)題意得2πr=，解得r=1， 所以此圓錐的高==． 故答案為． 　 32．（xx?揚州）用半徑為10cm，圓心角為120的扇形紙片圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓半徑為　　cm． 【分析】圓錐的底面圓半徑為r，根據(jù)圓錐的底面圓周長=扇形的弧長，列方程求解． 【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，依題意，得 2πr=， 解得r=cm． 故選：． 　 33．（xx?濰坊）如圖，點A1的坐標為（2，0），過點A1作x軸的垂線交直線l：y=x于點B1，以原點O為圓心，OB1的長為半徑畫弧交x軸正半軸于點A2；再過點A2作x軸的垂線交直線l于點B2，以原點O為圓心，以O(shè)B2的長為半徑畫弧交x軸正半軸于點A3；…．按此作法進行下去，則的長是　?。? 【分析】先根據(jù)一次函數(shù)方程式求出B1點的坐標，再根據(jù)B1點的坐標求出A2點的坐標，得出B2的坐標，以此類推總結(jié)規(guī)律便可求出點A2019的坐標，再根據(jù)弧長公式計算即可求解，． 【解答】解：直線y=x，點A1坐標為（2，0），過點A1作x軸的垂線交 直線于點B1可知B1點的坐標為（2，2）， 以原O為圓心，OB1長為半徑畫弧x軸于點A2，OA2=OB1， OA2==4，點A2的坐標為（4，0）， 這種方法可求得B2的坐標為（4，4），故點A3的坐標為（8，0），B3（8，8） 以此類推便可求出點A2019的坐標為（22019，0）， 則的長是=． 故答案為：． 　 34．（xx?蘇州）如圖，88的正方形網(wǎng)格紙上有扇形OAB和扇形OCD，點O，A，B，C，D均在格點上．若用扇形OAB圍成一個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐的底面半徑為r1；若用扇形OCD圍成另個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐的底面半徑為r2，則的值為　?。? 【分析】由2πr1=、2πr2=知r1=、r2=，據(jù)此可得=，利用勾股定理計算可得． 【解答】解：∵2πr1=、2πr2=， ∴r1=、r2=， ∴====， 故答案為：． 　 35．（xx?哈爾濱）一個扇形的圓心角為135，弧長為3πcm，則此扇形的面積是　6π　cm2． 【分析】先求出扇形對應(yīng)的圓的半徑，再根據(jù)扇形的面積公式求出面積即可． 【解答】解：設(shè)扇形的半徑為Rcm， ∵扇形的圓心角為135，弧長為3πcm， ∴=3π， 解得：R=4， 所以此扇形的面積為=6π（cm2）， 故答案為：6π． 　 三．解答題（共1小題） 36．（xx?湖州）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，OC∥BD，交AD于點E，連結(jié)BC． （1）求證：AE=ED； （2）若AB=10，∠CBD=36，求的長． 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠AEO=90，再利用垂徑定理證明即可； （2）根據(jù)弧長公式解答即可． 【解答】證明：（1）∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90， ∵OC∥BD， ∴∠AEO=∠ADB=90， 即OC⊥AD， ∴AE=ED； （2）∵OC⊥AD， ∴， ∴∠ABC=∠CBD=36， ∴∠AOC=2∠ABC=236=72， ∴．