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第九講：全等三角形的判定（三）HL 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．求證三角形全等的方法（判定定理）：①SAS；②ASA；③AAS；④SSS；⑤HL； 需要三個(gè)邊角關(guān)系；其中至少有一個(gè)是邊； 2．“HL”定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等； 直角三角形除了有證明一般三角形全等的四種方法外，還有特有的 “HL”定理，它其實(shí)是直角三角形所特有的“邊邊角”定理；它的格式是“HL”四行； 在Rt△ABC和Rt△DEF中： ∴△ABC∽△DEF.（HL） 如： 3．“SAS”、“SSS”、“ASA”、“AAS”、“HL”五種基本方法的綜合運(yùn)用.注意學(xué)習(xí)了“HL”后，不要認(rèn)為看到直角三角形就是“HL”. 【例題精講】 例1. 已知：AD⊥AB，BE⊥AB，CD=CE，C為AB的中點(diǎn)， 求證：∠D=∠E. 練習(xí)：如圖，AB=AC，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD、CE交于點(diǎn)F， 求證：AF平分∠BAC. 例2.如圖，在五邊形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，AF⊥CD于點(diǎn)F， 求證：F為CD的中點(diǎn). 練習(xí)：1.如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，過C作AD的垂線交AB于E點(diǎn)，O為垂足，AE=AC，EF∥BC， 求證：CE平分∠DEF. 2.如圖，點(diǎn)E、C在線段BF上，AE⊥BF于點(diǎn)E，DC⊥BF于點(diǎn)F，AE=DC，AB=DF，求證：AF=DB． 例3.如圖，已知點(diǎn)E、C在線段BF上，BE=CF，請(qǐng)?jiān)購南铝兴膫€(gè)等式中：①AB=DE；②AC=DF；③∠A=∠D=90；④∠ACB=∠F；⑤∠B=∠DEF．選出兩個(gè)作為條件，推出△ABC≌△DEF． （1）添加條件①、②構(gòu)成命題一，命題一是 命題； （2）添加條件①、③構(gòu)成命題二，命題二是 命題； （3）添加條件①、④構(gòu)成命題三，命題三是 命題； （4）添加條件①、⑤構(gòu)成命題四，命題四是 命題； （5）添加條件②、③構(gòu)成命題五，命題五是 命題； （6）添加條件②、④構(gòu)成命題六，命題六是 命題； （7）添加條件②、⑤構(gòu)成命題七，命題七是 命題； （8）添加條件③、④構(gòu)成命題八，命題八是 命題； （9）添加條件③、⑤構(gòu)成命題九，命題九是 命題； （10）添加條件④、⑤構(gòu)成命題十，命題十是 命題. 選擇“真”或“假”填入空格. 例4.如圖，矩形ABCD中E為AD的中點(diǎn)，沿BE折疊矩形，使A點(diǎn)落在F點(diǎn)處，延長BF交CD于點(diǎn)G，求證：FG=DG. 練習(xí)：1.如圖，C、D在線段AB上，AC=BD，CE⊥AB于點(diǎn)C，DF⊥AB于點(diǎn)F，AF=BE，連接EF交AB于點(diǎn)P求證P為AB的中點(diǎn) 2.如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，AC⊥AB，求證：AO=OC，OB=OD. 例5.如圖，E為∠BAC的平分線AD上一點(diǎn)，連接BE、CE，DF⊥BE于點(diǎn)F，DG⊥CE于點(diǎn)G，DF=DG，求證：AB=AC． 練習(xí)、如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠D=90，BC=DC，M、N分別為DC、BC延長線上的兩點(diǎn)，AM=AN，求證：∠M=∠N. 【課后作業(yè)】 1．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D. 求證：（1）AD平分∠BAC；（2）D為BC的中點(diǎn). 2．如圖，∠A=∠C=90，AB=BC，求證：AD=CD. 3．如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，AE=BF，求證：CE=CF. 4．已知：如圖，正方形ABCD，BE=CF，求證：(1)AE=BF；（2）AE⊥BF. 5．已知：如圖，∠A=∠B=90，AD=BC，求證：OA=OB. （提示：不能用等腰三角形的性質(zhì)） 6．如圖，AB=CD，AM⊥BD，CN⊥BD，AM=CN，求證：AD=BC. 7．如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE=CD. (1)求證:Rt△ABE≌Rt△CBF； (2)若∠CAE=15，求∠CDE度數(shù).